分數階電力系統潮流計算及電壓分析

朱浩昊， 朱繼忠， 李盛林， 范峻偉， 董瀚江， 吳皖莉

(華南理工大學 電力學院，廣東 廣州 510641)

0 引 言

分數階微積分是一個重要的數學分支，其與整數階微積分幾乎同時出現。分數階微積分能更準確地刻畫實際物理現象。21世紀，分數階微積分理論被廣泛應用于電化學、生物醫學、流體力學、量子力學、控制理論、電氣工程、無線傳輸、圖像識別和機器學習等領域。文獻[1-2]介紹了分數階控制器在電力系統中的應用。文獻[3]描述了分數階無線電能傳輸的提出及研究進展。文獻[4-9]提出了分數階線路的建模和應用。實際中的電容和電感均是分數階元件，采用分數階微積分研究電容和電感將能更準確地表述電壓和電流之間的關系。1961年，文獻[10]首次提出了分數階電容模型。隨后，文獻[11]發現整數階微分無法精確地描述電容的特性，并指出實際電感也是分數階的。相量法可以方便地分析正弦穩態電路，文獻[12]同樣地將向量法應用于分數階電路，簡化了分析和計算過程。

潮流計算是研究電力系統穩態運行的基礎，其本質是在給定運行條件下，確定各母線的電壓(幅值和相角)、網絡中的功率分布及功率損耗[13-14]。文獻[15]提出了基于功率潮流分析的電能計量新方法。文獻[16]提出了一種非接地配電系統潮流計算的改進方法。文獻[17-18]討論交直流電力系統潮流的計算。根據我國《電力系統安全穩定導則》，電力系統的電壓穩定性是指電力系統在遭受擾動后，電壓能夠保持或恢復到允許范圍內，系統保持穩定運行的能力。20世紀90年代初首次提出的連續潮流法(continuation power flow，CPF)目前已經成為電力系統靜態穩定性分析的一個基本工具[19-20]。在連續潮流法出現之前，電力系統需要進行大量常規潮流計算得出PV曲線。由于在PV曲線“鼻點”附近，潮流計算的Jacobi矩陣接近奇異，不利于迭代收斂，難以得出完整的PV曲線。文獻[21]提出了基于線路電壓穩定指標的連續潮流計算方法。文獻[22]提出了無平衡節點孤島運行微電網的連續潮流計算。文獻[23]提出求取電壓穩定分歧點的改進步長連續潮流法。然而，目前關于分數階電力系統潮流計算的相關研究很少，而且基于分數階元件模型研究電壓問題目前還沒有人涉及。

針對上述情況，本文提出了分數階元件模型并用于研究電力系統潮流計算和電壓分析。本文的構架如下：第1節介紹分數階微積分原理及方法；第2節討論電力系統中分數階元件及傳輸線路模型；第3節是基于分數階元件模型進行潮流計算與電壓分析；第4節以IEEE 5節點系統和IEEE 30節點系統為例進行仿真計算與分析討論；最后是本文的結論。

1 分數階微積分

經典微積分一般指整數階微積分，如一階微積分、二階微積分和n階微積分等。分數階微積分指非整數階(no-integer)的微分和積分。1695年，Leibniz和L’Hospital在書信往來中提到一個問題，當n=1/2時，dny/dxn表示什么。Leibniz回答道，這是一個悖論，總有一天，人們可以由它推導出一些有用的結論。

在分數階微積分的發展歷史中，不同學者從不同角度給出了相應的定義，但至今沒有一個統一的定義，在工程應用中比較常見的三種定義是Grunwald-Letnikov定義、Riemann-Liouville定義和Caputo定義[24-25]。

Grunwald-Letnikov定義為

(1)

(2)

Riemann-Liouville定義為

(3)

Caputo定義——非零初值為

(4)

分數階Caputo定義具有較明確的物理意義，它被廣泛地運用于工程領域。

2 分數階元件及傳輸線路

2.1 分數階元件

電力系統中實際的電感和電容本質上具有分數階特性，本節應用第2節的分數階微積分原理分析電力系統中的電感和電容元件。分數階電感和分數階電容的電氣符號如圖1所示[3]。

圖1 分數階電感和分數階電容的電氣符號Fig.1 Electrical symbols for fractional inductance and fractional capacitance

對指數函數求分數階導數，得到

(5)

歐拉方程為

ejω=cosωt+jsinωt。

(6)

分數階電感數學模型為

(7)

由式(7)可知，分數階電感可以等效為整數階電阻ωαLαcos(απ/2)和分數階電感ωαLαsin(απ/2)的串聯組合。

分數階電容的數學模型為

(8)

由式(8)可知，分數階電容可以等效為整數階電導ωβCβcos(βπ/2)和分數階電容ωβCβsin(βπ/2)的并聯組合。

2.2 有損整數階均勻傳輸線

若傳輸線的導體材料、橫截面形狀和尺寸、相對位置及周圍介質沿線都沒有變化，則稱之為均勻傳輸線[26]。由于沿線有感應電勢的存在，導致兩傳輸線間的電壓隨距離x而變化；由于沿線有位移電流的存在，導致傳輸線中的電流隨距離x而變化。整數階均勻傳輸線的分布式電路模型如圖2所示，其中：R表示傳輸線單位長度的電阻，其與傳輸線單位長度的電感L是串聯關系；G表示傳輸線之間單位長度的漏電導，其與傳輸線之間單位長度的電容C是并聯關系。

圖2 有損整數階均勻傳輸線的分布式電路模型Fig.2 Distributed circuit model of lossy integer-order uniform transmission line

根據KCL和KVL定理，有損耗均勻傳輸線方程一般形式為：

(9)

(10)

經過拉普拉斯變換得：

(11)

(12)

2.3 有損整數階均勻傳輸線

有損分數階均勻傳輸線的分布式電路模型如圖3所示，其中α和β分別為分數階電感和分數階電容的階數。其余參數與2.2節有損整數階均勻傳輸線的分布式電路模型一致。

圖3 有損分數階均勻傳輸線的分布式電路模型Fig.3 Distributed circuit model of lossy fractional-order uniform transmission line

同理，根據KCL和KVL，分數階有損耗均勻傳輸線方程一般形式為：

(13)

(14)

經過拉普拉斯變換得：

(15)

(16)

可以看出，分數階電感和分數階電容改變了原有整數階線路的參數。

3 潮流計算與電壓分析

3.1 連續潮流計算

常規電力系統潮流計算模型[27]可以表示為：

(17)

(18)

式中：n是節點個數；PGi和QGi分別是節點i發電機有功功率和無功功率；PLi和QLi分別是節點i負荷有功功率和無功功率；Ui和δi分別是節點i的電壓幅值和電壓相角；Gij和Bij分別是節點導納矩陣的實部和虛部。

基于第2節推導的分數階元件模型，并利用Newton-Raphson進行潮流計算。

電力系統靜態電壓穩定性分析時常采用的方法是連續潮流法。進行連續潮流計算時，發電機出力和負荷都要增加，得出PV曲線，找出對應“鼻點”，即

(19)

式中：下標0表示基態潮流時的發電和負荷水平；kPLi、kQLi、kPGi分別為節點i的發電機有功出力、有功負荷和無功負荷的增長系數。為簡化分析過程，令kLi=kLi=kGi=1，其中λ是負荷參數。則計及發電機出力和負荷增長的潮流方程[19]可表示為：

Bijsinδij)]=0；

(20)

Bijcosδij)]=0。

(21)

PV曲線刻畫了發電機出力和負荷變化下電力系統穩態行為，采用負荷參數λ來表征這些變化，系統參數化后的潮流方程簡寫為

f(x，λ)=0。

(22)

f(δ,U,λ)=0。

(23)

對式(23)取微分可得

(24)

由于參數λ的引入，使得式(22)中未知量個數比方程個數多一個，因此需要再添加一個方程。將式(24)整理成矩陣形式為

(25)

式中ek是單位向量，除了參數λ(不妨設是第k個元素)對應的元素為1或-1，其余所有元素均為0。

(26)

通過式(26)進行相應步長校正，σ為步長，直至潮流收斂，停止迭代，得出PV曲線，即

(27)

3.2 分數階線路功率和電壓損耗計算

從圖4可以得到分數階線路“等效阻抗”為

(28)

式中0<α<1，則ωα<ω，所以分數階線路的“等效電抗”相對整數階線路是減小了。

圖4 分數階兩節點線路等效電路圖Fig.4 Equivalent circuit diagram of 2 nodes transmission lines

圖5 分數階兩節點線路電壓向量圖Fig.5 Phasor diagram of 2 nodes transmission line

電壓降縱分量ΔU2可以表示為

(29)

電壓降橫分量δU2為

(30)

(31)

分數階線路的“等效電抗”相對整數階線路是減小的，因此分數階線路的兩端電壓降落相對整數階線路減小了。

同樣地，分數階線路的功率損耗SL可表示為

(32)

因此，首端復功率為

S1=S2+SL。

(33)

從式(32)可以看出，由于分數階線路的“等效電抗”比整數階線路的電抗小，對應的無功損耗分量就小，因此基于分數階元件模型的電力系統分析可以減少線路的無功損耗。

4 算例計算與分析

首先以兩節點線路等效電路為例，計算分數階元件模型對電力系統中線路有功、無功損耗和電壓損耗的影響。相關參數為：線路電阻R=8.4 Ω；線路電感Lα=0.06 H；末端電壓U2=110 kV；末端功率S2=(15+j8)MVA；頻率f=50 Hz。兩節點線路分數階仿真結果如圖6～圖9所示。

圖6描述了分數階線路“等效阻抗”的變化，其中“等效電阻”約在0.85～0.9階附近取得最大值，“等效電抗”、“等效阻抗”的模以及“等效阻抗角”均隨著階數減小而減小。

圖6 分數階線路等效阻抗Fig.6 Equivalent impedance of fractional-order transmission lines

圖7描述了分數階線路壓降的變化，其中電壓降實部、電壓降虛部、電壓降模值和電壓降相角均隨著階數減小而減小，分數階線路可以減少電壓損耗，有利于提高電力系統電壓穩定性。圖8描述了分數階線路功率損耗的變化，其中有功損耗約在0.85～0.9階附近取得最大值，無功損耗、總損耗的模值以及實部與虛部的相角差均隨著階數減小而減小。圖9描述了線路首端功率變化，其中有功功率約在0.85～0.9階附近取得最大值，無功功率、首端功率模值以及實部與虛部的相角差均隨著階數減小而減小。綜上所述，兩節點輸電線路在0.9階附近，“等效電抗”下降較快，線路總損耗也下降較快，因此后續IEEE 5節點系統和IEEE 30節點系統線路電感采用0.9階，電容仍為整數階。

圖7 分數階線路壓降Fig.7 Voltage drop of fractional-order transmission lines

圖8 分數階線路損耗Fig.8 Branch losses of fractional-order transmission lines

圖9 分數階線路首端功率Fig.9 Head end power of fractional-order transmission lines

4.1 IEEE 5節點系統

圖10是IEEE 5節點系統的拓撲圖。通過Matpower 5.1計算IEEE 30節點系統的整數階潮流、0.95階潮流、0.9階潮流、0.85階潮流和0.8階潮流，其中節點3為平衡節點。表1是整數階、0.95階、0.9階、0.85階和0.8階IEEE 5節點系統支路損耗，可以看出，0.95階、0.9階、0.85階和0.8階的支路有功損耗略大于整數階，然而0.95階、0.9階、0.85階和0.8階的支路無功損耗相對于整數階明顯下降。圖11描述了在不增加發電機出力和負荷的情況下，整數階、0.95階、0.9階、0.85階和0.8階IEEE 5節點系統電壓分布，其中0.95階、0.9階、0.85階和0.8階各節點的電壓均高于整數階與之對應的各節點電壓。另外節點4電壓下降最快。

圖10 IEEE 5節點系統拓撲圖Fig.10 Topology of IEEE 5 bus system

表1 IEEE 5節點系統支路損耗

圖11 IEEE 5節點系統電壓分布Fig.11 Node voltage distribution of IEEE 5 bus system

(34)

圖12 不同負載節點4電壓幅值變化Fig.12 Changes in voltage amplitude of 4th node for different loads

圖13 黃金分割法示意圖Fig.13 Schematic diagram of the golden section method

通過黃金分割法計算得出，當負荷倍數增大到7.534 2時，整數階IEEE 5節點系統潮流計算無法收斂，0.95階、0.9階、0.85階和0.8階IEEE 5節點系統潮流計算仍可以收斂。

4.2 IEEE 30節點系統

圖14是IEEE 30節點系統的拓撲圖。通過Matpower 5.1計算IEEE 30節點系統的整數階潮流、0.95階潮流、0.9階潮流、0.85階潮流和0.8階潮流。表2是整數階和分數階IEEE 30節點系統支路損耗，可以看出，分數階的支路有功損耗略大于整數階，然而分數階的支路無功損耗相對于整數階明顯下降。圖15描述了在發電機出力和負荷均增加至1.7倍的情況下，整數階、0.95階、0.9階、0.85階和0.8階IEEE 30節點系統電壓分布，其中各節點的分數階電壓均高于對應的整數階節點電壓，并且整數階有7個節點電壓均低于0.95，而分數階的所有節點電壓均大于等于0.95。另外，從圖15還可以看出節點8的電壓下降最快。

圖14 IEEE 30 節點系統拓撲圖Fig.14 Topology of IEEE 30 bus system

表2 IEEE 30節點系統支路損耗

圖15 IEEE 30節點系統電壓分布Fig.15 Node voltage distribution of IEEE 30 bus system

圖16表示了不同負載時，IEEE 30節點系統中的第8個節點電壓幅值(pu)的變化。當負荷倍數不斷增加時，IEEE 30節點系統中的第8個節點電壓幅值(pu)不斷下降。從圖16可以看出，負荷增大相同倍數，整數階IEEE 30節點系統中的第8個節點電壓幅值(pu)下降得遠比分數階快。通過黃金分割法計算得出，當負荷倍數增加至5.478 7時，整數階IEEE 30節點系統潮流計算無法收斂，0.95階、0.9階、0.85階和0.8階IEEE 30節點系統潮流計算仍可以收斂。此外，在分數階階數確定的情況下，分數階潮流計算和整數階潮流計算算法本質沒變，均為Newton-Raphson法，所以分數階潮流計算速度沒有顯著變化。在Intel(R)Core(TM)i7-10700F CPU和16G內存臺式機上通過MATLAB R2016b仿真平臺，計算整數階和0.95階IEEE 30節點系統潮流計算均需要約0.12 s。

圖16 不同負載節點8電壓幅值變化Fig.16 Changes in voltage amplitude of 8th node for different loads

上述仿真計算結果表明，基于分數階元件模型的潮流計算比整數階潮流計算更容易收斂，而且電壓穩定性也得到提高。

5 結 論

現有電力系統潮流計算大都采用整數階模型，不能很準確地描述電力系統相關元件的真實物理特性。實際上，所有的電感模型和電容模型都是分數階模型，分數階模型可以更精確地描述元件的物理特性。針對這一問題，本文提出分數階均勻傳輸線的分布式電路模型，并計算分數階電力系統潮流。理論推導和仿真結果均表明分數階的支路有功損耗略大于整數階，然而分數階的支路無功損耗相對于整數階明顯下降，分數階潮流計算的電壓分布優于整數階。在電力系統潮流計算中采用分數階元件模型不僅有助于提高電力系統潮流計算收斂性，還有助于提高電力系統的電壓穩定性。由于分數階的復雜性，本文研究只是初步嘗試分數階電感的仿真分析，下一步研究會同時考慮分數階電容和分數階電感的情形并研究如何計算出最恰當的分數階階數。