改進閾值函數(shù)的指紋圖像去噪方法

張兆茹，鄧彩霞，岳欣華

摘要：為了使指紋識別技術(shù)更加準(zhǔn)確和識別效率更高，提出了改進的閾值函數(shù)對指紋圖像進行去噪。首先針對指紋圖像的特點，構(gòu)造了一個改進的閾值函數(shù)，該閾值函數(shù)與傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)及某些現(xiàn)有改進閾值函數(shù)相比，具有很好的可調(diào)性，并且是處處可導(dǎo)的，其更好地逼近軟閾值函數(shù)，且在閾值點處的圖像更加光滑，在對圖像去噪時能夠更多的保留其上的真實信息，同時有效的濾除噪聲。仿真實驗表明，改進的閾值函數(shù)處理后的圖像峰值信噪比和結(jié)構(gòu)相似度高、均方根誤差和扭曲程度小且相關(guān)系數(shù)大，能夠更加接近于原圖像，因此改進的閾值函數(shù)具有很好的應(yīng)用價值。

關(guān)鍵詞：閾值函數(shù);指紋圖像去噪;峰值信噪比;結(jié)構(gòu)相似度;均方根誤差

DOI：10.15938/j.jhust.2022.01.008

中圖分類號： TN911.73? ? ? ?文獻標(biāo)志碼： A? ? ? ? ? ? 文章編號： 1007-2683（2022）01-0055-06

Fingerprint Image Denoising Method Based

on Improved Threshold Function

ZHANG Zhaoru，DENG Caixia，YUE Xinhua

（School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：In order to make fingerprint identification technology more accurate and efficient， an improved threshold function is proposed to denoise fingerprint images. First， according to the characteristics of fingerprint images， an improved threshold function is constructed. Compared with traditional soft and hard threshold functions and some existing improved threshold functions， this threshold function has good adjustability， and is adjustable everywhere. It is better to approximate the soft threshold function， and the image at the threshold point is smoother. When denoising the image， it can retain more real information on it and effectively filter out the noise. Simulation experiments show that the improved threshold function has high peak signaltonoise ratio and structure similarity， small root mean square error and distortion degree， and better correlation coefficient， and can be closer to the original image. Therefore， the improved threshold function has good application value.

Keywords：threshold function; fingerprint image denoising; peak signaltonoise ratio; structural similarity; rootmeansquare

0引言

指紋圖像以其具有唯一性、穩(wěn)定性、可采集性、與主體永可分離性等優(yōu)點[1-2]，已成為身份識別的有效手段，被廣泛應(yīng)用于刑事偵查和安全驗證中。然而，采集到的指紋圖像在傳輸過程中經(jīng)常受到噪聲或其他因素的干擾[3]，給快速識別帶來了麻煩。因此，為了保證指紋圖像的清晰、真實，對指紋圖像去噪是需要解決的關(guān)鍵問題[4-5]。

指紋圖像的去噪方法主要有小波變換[6]、雙邊濾波 [7-8]、輪廓波變換和曲波變換等方法[9-10]，并且深度學(xué)習(xí)也逐步應(yīng)用于指紋圖像去噪中[11]。它們適用于某些類型的隨機噪聲，但是在對指紋圖像進行去噪過程中會改變指紋邊緣的灰度值，且在細(xì)節(jié)特征保持上的處理效果不夠理想，不利于圖像應(yīng)用于指紋識別系統(tǒng)。本文針對基于小波變換圖像去噪時易造成圖像細(xì)節(jié)失真的問題，提出了改進的小波閾值函數(shù)去噪方法，并對指紋圖像進行去噪。本文算法針對的噪聲主要是由指紋采集儀器本身和傳輸信道的緣故而產(chǎn)生的高斯噪聲。

小波變換有利于能量壓縮，故利用小波變換對圖像和噪聲進行分解得到小波系數(shù)，可使噪聲大多集中于高頻部分[12-13]，而圖像本身小波系數(shù)大多集中在低頻部分且幅值較大，則通過構(gòu)造閾值函數(shù)，選取合適閾值，將高頻部分絕對值小于閾值的小波系數(shù)作為噪聲去除，反之則保留[14-15]，最后把低頻系數(shù)與處理后的高頻小波系數(shù)進行小波逆變換得到重構(gòu)圖像，從而達到去噪的效果[16-17]。但傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)都存在一定的缺陷[18]，例如，硬閾值函數(shù)的不連續(xù)，軟閾值函數(shù)的小波系數(shù)在一定程度上與真實圖像的小波系數(shù)存在偏差[19-21]，針對這些問題，人們給出了一些改進方法。黃玉昌[1]提出了可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)的取值來調(diào)整去噪效果的改進的閾值函數(shù)，函數(shù)是連續(xù)的，從而可以消除硬閾值函數(shù)去噪時產(chǎn)生的震蕩效應(yīng)，但去噪效果不夠理想;LU等人[2]提出了一個具有很好連續(xù)性的改進的閾值函數(shù)，其小波系數(shù)的收縮程度比軟閾值函數(shù)的小，但其在閾值點處的圖像不光滑;BACHIR[3]以高斯誤差為基礎(chǔ)，提出了一個圖像介于軟閾值和硬閾值之間的改進閾值函數(shù)，但參數(shù)的調(diào)節(jié)所產(chǎn)生的誤差較大，因此去噪效果不理想。本文給出了一個處處可導(dǎo)且具有可調(diào)性的新閾值函數(shù)，其逐漸逼近軟閾值函數(shù)，并且在閾值點處的圖像更光滑。仿真實驗和客觀評價指標(biāo)峰值信噪比、均方根誤差、結(jié)構(gòu)相似度、相關(guān)系數(shù)及扭曲程度表明，本文給出的新閾值函數(shù)克服了硬閾值函數(shù)去噪時造成的圖像視覺失真以及軟閾值函數(shù)去噪時造成的圖像邊緣不清晰等弊端，可以根據(jù)不同的圖像特征靈活的調(diào)節(jié)參數(shù)的取值，且具有良好的去噪效果。

1傳統(tǒng)的閾值函數(shù)

傳統(tǒng)的閾值函數(shù)主要有硬閾值和軟閾值函數(shù)，表達式如下：

硬閾值函數(shù)的表達式

i，k=ωi，k，|ωi，k|≥T

0，|ωi，k|<T（1）

軟閾值函數(shù)的表達式

i，k=sgn（ωi，k）（|ωi，k|-T），|ωi，k|≥T

0，|ωi，k|<T（2）

其中：ωi，k為小波系數(shù);i，k為一個去噪后獲得的新的小波系數(shù);T為閾值。

硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)的圖像如圖1所示。

這兩種方法雖然取得了較為良好的效果，但都存在一定的缺陷。由于硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性，導(dǎo)致硬閾值法處理的小波系數(shù)連續(xù)性較差。軟閾值方法處理的小波系數(shù)連續(xù)性有很好的效果，但對比處理后和實際的小波系數(shù)有一定程度差異。所以在實際應(yīng)用中，人們給出了一些改進的閾值函數(shù)。

文[1～3]給出的閾值函數(shù)都為（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且在（-∞，-T）∪（-T，T）∪（T，+∞）上可導(dǎo)，而在點ωi，k=±T處連續(xù)，表達式依次為

i，k=sign（ωi，k）（|ωi，k|-Tlg（|ωi，k|t-Tt+10）），|ωi，k|>T

0，|ωi，k|≤T

i，k=sign（ωi，k）{|ωi，k|-Te3[α（|ωi，k|-T）/T]}，|ωi，k|≥T

0，|ωi，k|<T

i，k=ωi，k-T+2Tπ∫βωi，k-TT0e-t2dt，ωi，k>T

0，|ωi，k|≤T

ωi，k+T-2Tπ∫0βωi，k+TTe-t2dt，ωi，k<-T

其中：sign（·）為符號函數(shù);T為閾值，閾值依次為T=σ2lnNi，T=σ2lnNlog2（i+1），T=σ2lnN;i為對應(yīng)的分解層數(shù);σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差;N為圖像的小波系數(shù)總數(shù);t，α（α>0），β（β>0）為調(diào)節(jié)參數(shù);ωi，k為小波系數(shù);i，k為去噪后獲得的新的小波系數(shù)。3種閾值函數(shù)的圖像如圖2所示。

文[1-3]中的閾值函數(shù)當(dāng)滿足|ωi，k|>T時，其圖像都位于軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)之間，且在閾值點處連續(xù)，文[1]中的閾值函數(shù)還逐漸逼近硬閾值函數(shù)，3個閾值函數(shù)都克服了不連續(xù)和恒定偏差的缺點，消除了硬閾值函數(shù)產(chǎn)生的震蕩、偽吉布斯效應(yīng)，降低了軟閾值函數(shù)對圖像造成的邊緣模糊程度。由于文[1-3]中的閾值函數(shù)在閾值點處不可導(dǎo)，因此函數(shù)圖像在閾值點處不光滑，使指紋圖像在去噪過程中丟失了一些細(xì)節(jié)信息。為了解決指紋圖像在去噪過程中細(xì)節(jié)丟失的問題，文本提出了一個處處可導(dǎo)的改進閾值函數(shù)，其函數(shù)圖像逐漸逼近軟閾值函數(shù)且在閾值點處光滑，因此在去噪過程中可以很好地保護指紋圖像的細(xì)節(jié)信息。

2改進的閾值函數(shù)

設(shè)

g*（x）=x-sign（x）α，|x|>βα

sign（x）P（|x|）·V（|x|），γα<|x|≤βα

0，|x|≤γα（3）

其中γ+β=2，α，γ，β>0，β>γ，且

V（x）=g（x-γα）g（x-γα）+g（βα-x）（4）

g（x）=e-1x2，x≠0

0，x=0（5）

P（x）=12α（β-γ）x2-γβ-γx+γ2α2（β-γ）（6）

定理1由式（3）給出的函數(shù)g*（x）為（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且在（-∞，+∞）上可導(dǎo)。

證明：當(dāng)|x|≤γα?xí)r，顯然有

g*（-x）=-g*（x）

當(dāng)γα<|x|≤βα?xí)r，有

g*（-x）=sign（-x）·P（|-x|）·V（|-x|）=-g*（x）

當(dāng)|x|>βα?xí)r，有

g*（-x）=-x-sign（-x）·α=-g*（x）

因此g*（x）為（-∞，+∞）上的奇函數(shù)。

由式（4）-（6）可知P（γα）=P′（γα）=0，P（βα）=βα-α，P′（βα）=1，V（βα）=1，V（γα）=V′（γα）=V′（βα）=0，于是有

limx→（βα）+g*（x）=βα-α

limx→（βα）-g*（x）=limx→（βα）-P（x）·V（x）=βα-α

所以

limx→（βα）+g*（x）=limx→（βα）-g*（x）=βα-α

同理可證

limx→（γα）+g*（x）=limx→（γα）-g*（x）=0

limx→（-βα）+g*（x）=limx→（-βα）-g*（x）=-βα+α

limx→（-γα）+g*（x）=limx→（-γα）-g*（x）=0

因此函數(shù)g*（x）在x=±βα和x=±γα處連續(xù)。

g*′+（βα）=limx→（βα）+x-α-g*（βα）x-βα=1

g*′-（βα）=limx→（βα）-P（x）V（x）-g*（βα）x-βα=1

所以g*′（βα）=g*′+（βα）=g*′-（βα）=1，同理可證g*′（γα）=0，g*′（-βα）=1，g*′（-γα）=0，因此函數(shù)g*（x）在x=±βα和x=±γα處可導(dǎo)。

注意到P（x）和V（x）在（-βα，-γα）∪（γα，βα）上可導(dǎo)。綜上所述，奇函數(shù)g*（x）在（-∞，+∞）上可導(dǎo)。

本文利用式（3）可以構(gòu)造一個新的閾值函數(shù)，即

i，k=ωi，k-sign（ωi，k）·T，|ωi，k|>βT

sign（ωi，k）P（|ωi，k|）·V（|ωi，k|），γT<|ωi，k|≤βT

0，|ωi，k|≤γT（7）

其中：γ和β為調(diào)節(jié)參數(shù)且γ+β=2，γ>0，β>0，γ<β;ωi，k為小波系數(shù)，i，k為去噪后獲得的新的小波系數(shù);T為閾值，閾值選為T=σ2lnN/（i+1）;σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差;N為圖像的小波系數(shù)總數(shù);i為分解尺度。

改進的閾值函數(shù)圖像如圖3所示。改進的閾值函數(shù)具有處處可導(dǎo)性以及可調(diào)性，且逐漸逼近軟閾值函數(shù)，在閾值點處的圖像更加光滑。

3改進閾值函數(shù)的圖像去噪方法

為了更加直觀的表現(xiàn)出改進后的閾值函數(shù)對指紋圖像的去噪效果，本文選取FVC2004指紋數(shù)據(jù)庫中的104_4.tif，102_2.tif，105_7.tif 3幅圖像，對其加入方差為20的高斯噪聲，利用Matlab進行仿真實驗。閾值函數(shù)去噪方法的流程圖如圖4所示。

為了驗證算法的可行性，下面應(yīng)用軟、硬閾值、文[1-3]以及本文方法對含噪圖像進行去噪。由于考慮到人眼的視覺特性會在圖像去噪效果的評價中產(chǎn)生一些主觀性誤差，所以為了更加客觀的評價不同閾值函數(shù)去噪的優(yōu)良性，建立了客觀評價指標(biāo)峰值信噪比

（PSNR）、均方根誤差（MSE）、結(jié)構(gòu)相似度（SSIM）、相關(guān)系數(shù)和扭曲程度對去噪后的圖像進行分析。

峰值信噪比計算公式為

PSNR=10×log（2552MSE）

均方根誤差計算公式為

MSE=1M×N∑Mj=1∑Nl=1（F（j，l）-Q（j，l））2

這里F（j，l）為原圖像，Q（j，l）為檢測后的圖像。通常PSNR和SSIM值越大，MSE值越小，說明圖像去噪效果越好，對原圖像細(xì)節(jié)保護得越好。

結(jié)構(gòu)相似度計算公式為

SSIM=（2μFμQ+D1）（2σFσQ+D2）（μ2F+μ2Q+D1）（σ2F+σ2Q+D2）

其中：F（j，l）為原圖像;Q（j，l）為檢測后的圖像;μF和μQ分別表示F，Q的平均值;σ2F，σ2Q分別表示F，Q的方差;σFσQ為F，Q的協(xié)方差;D1和D2是用于穩(wěn)定的常數(shù)。

相關(guān)系數(shù)反映兩幅圖像的相關(guān)程度，是兩個現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計分析指標(biāo)，其范圍在-1和+1之間。相關(guān)系數(shù)C（F，Q）為負(fù)值、零和正值分別表示兩幅圖像負(fù)相關(guān)、不相關(guān)和正相關(guān)。C（F，Q）的絕對值越大，相關(guān)程度越高，其定義為

C（F，Q）=∑j，l[（F（j，l）-F-）×（Q（j，l）-Q-）]∑j，l（F（j，l）-F-）2×∑j，l（Q（j，l）-Q-）2

其中：F（j，l）為原圖像;Q（j，l）為檢測后的圖像，F(xiàn)-=∑M-1j=0∑N-1l=0F（j，l）M×N和Q-=∑M-1j=0∑N-1l=0Q（j，l）M×N為均值。相關(guān)系數(shù)越接近于1，表示圖像的接近程度越好。

扭曲程度直接反映圖像的失真程度，其定義為

D=1M×N∑Mj=1∑Nl=1|Q（j，l）-F（j，l）|

其中：F（j，l）為原圖像;Q（j，l）為檢測后的圖像，扭曲度越小，失真度越小。

仿真結(jié)果如圖5～7及表1～3。可見，本文改進的閾值函數(shù)克服已有閾值函數(shù)圖像去噪時有偏差、去噪后圖像模糊、紋理不夠清晰或邊緣模糊的缺點，同時還具有能量自適應(yīng)性。由表1、表2及表3所示結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)閾值與文[1-3]方法，應(yīng)用本文改進后的閾值函數(shù)對指紋圖像進行去噪處理得出的PSNR，SSIM和相關(guān)系數(shù)的值更大，MSE和扭曲程度的值更小，故本文改進后的新閾值函數(shù)去噪效果更好，去噪后的圖像失真更小且更加接近于原圖像。

4結(jié)語

由于指紋圖像的提取很容易受到噪聲影響，而在對指紋圖像進行分析與處理時為了得到更加精確的結(jié)果，則需要對指紋圖像進行降噪處理來排除噪聲的干擾。本文在總結(jié)傳統(tǒng)閾值函數(shù)的優(yōu)缺點的基礎(chǔ)上吸取前人改進經(jīng)驗，提出了一個改進閾值函數(shù)的去噪方法，改進的閾值函數(shù)處處可導(dǎo)且具有可調(diào)性，逐漸逼近軟閾值函數(shù)并且在閾值點處的圖像更加光滑。改進閾值函數(shù)對含有方差為20的高斯噪聲的圖像去噪效果更明顯，在去除噪聲的同時能夠較少的損失圖像細(xì)節(jié)信息，并通過峰值信噪比、均方根誤差、結(jié)構(gòu)相似度、相關(guān)系數(shù)和扭曲程度驗證了新算法的有效性與實用性。

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（編輯：王萍）