導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)圓錐曲線參數(shù)方程中的應(yīng)用

吳玉輝

【摘要】在高中數(shù)學(xué)課本中，導(dǎo)數(shù)是核心知識點(diǎn)之一，并在求圓錐曲線參數(shù)方程中得到了很好的運(yùn)用.導(dǎo)數(shù)加入高中數(shù)學(xué)體系后，使高中數(shù)學(xué)的知識體系得到了極大的延展，也為一些比較難的數(shù)學(xué)問題提供了一種新的解題思路.基于此，本文將通過具體例題來說明導(dǎo)數(shù)在圓錐曲線參數(shù)方程問題中的一些應(yīng)用策略.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù);圓錐曲線;應(yīng)用

【基金項(xiàng)目】本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“大數(shù)據(jù)驅(qū)動的高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)監(jiān)控與精準(zhǔn)干預(yù)行動研究”（課題編號：FJJKXB20-790）系列論文之一.

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的重要工具，學(xué)好導(dǎo)數(shù)可以讓學(xué)生步入大學(xué)時(shí)能夠有一個(gè)良好的開端.目前，在高中數(shù)學(xué)的解題中，導(dǎo)數(shù)的概念得到了極大的完善和運(yùn)用.因此，筆者將著重研究如何在解決圓錐曲線參數(shù)方程問題的過程中應(yīng)用導(dǎo)數(shù).

一、導(dǎo)數(shù)與圓錐曲線的概念

1.導(dǎo)數(shù)定義

導(dǎo)數(shù)（Derivative），也稱為導(dǎo)函數(shù)值，是微積分中一個(gè)重要的基本概念.函數(shù)y=f（x）的自變量x在點(diǎn)x0處產(chǎn)生增量Δx，當(dāng)Δx接近0時(shí)，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量的增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a若存在，則a是函數(shù)y=f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0）或df（x0）dx.

對于可導(dǎo)的函數(shù)f（x），x→f′（x）也是一個(gè)函數(shù)，稱為f（x）的導(dǎo)數(shù).在某個(gè)點(diǎn)上找到已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或其導(dǎo)函數(shù)的過程稱為求導(dǎo).實(shí)際上，求導(dǎo)就是一個(gè)求極限的過程，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則也來自極限的四則運(yùn)算法則.已知的導(dǎo)數(shù)也可以被逆轉(zhuǎn)，從而找到原始函數(shù)，即不定積分.

2.導(dǎo)數(shù)性質(zhì)

單調(diào)性：

①若導(dǎo)數(shù)大于零，則單調(diào)增加;若導(dǎo)數(shù)小于零，則單調(diào)遞減;若導(dǎo)數(shù)等于零，則為函數(shù)駐點(diǎn)，但不一定是極值點(diǎn)，需要代入駐點(diǎn)左右兩側(cè)的值以找到正負(fù)導(dǎo)數(shù)才能確定單調(diào)性.

②若已知函數(shù)是一個(gè)遞增函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)大于或等于零;若已知函數(shù)是一個(gè)遞減函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)小于或等于零.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本定理，對于可導(dǎo)函數(shù)，有如下定義：

若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間中始終大于零（或始終小于零），則函數(shù)在該區(qū)間中單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減），此區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.其中，函數(shù)的駐點(diǎn)定義為導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn).在這些點(diǎn)上，函數(shù)可能會取得極大值或極小值（即極值可疑點(diǎn)）.進(jìn)一步判斷則需要知道導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)附近的符號.

x改變時(shí)，函數(shù)圖象的切線也會發(fā)生改變，其中，切線的斜率為對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值.進(jìn)一步介紹一下函數(shù)的凹凸性：若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則該區(qū)間上的函數(shù)圖象向下凹，否則上凸.如果函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù)，也可以通過其正負(fù)性來判斷，如果在一區(qū)間內(nèi)始終大于零，則該區(qū)間內(nèi)的函數(shù)向下凹，否則上凸.

3.圓錐曲線定義

圓錐曲線是平面截二次錐面獲得的曲線，包括橢圓（圓為橢圓的特例）、拋物線和雙曲線.對圓錐曲線的研究始于2000多年前的古希臘.

4.圓錐曲線定理

圓錐曲線又叫二次曲線，通過直角坐標(biāo)系可與二次方程相對應(yīng)，并由此衍生出很多大家熟知的曲面，如圓柱、橢球面、單葉和雙葉曲面等，這些都證明了圓錐曲線最具代表性的特征便是“焦點(diǎn)—準(zhǔn)線”.

帕普斯定理的詳細(xì)定義如下：圓錐曲線上一點(diǎn)的焦距長度等于從該點(diǎn)到相應(yīng)方向的距離乘偏心率.

帕斯卡定理的詳細(xì)定義如下：圓錐曲線的內(nèi)接六邊形，如果相對的邊不平行，則該六邊形的對邊的延長線的交點(diǎn)是共線的（這也適用于降級的情況）.

布里昂雄（Brianchon）定理的詳細(xì)定義如下：圓錐曲線的外切六邊形在同一點(diǎn)有三條對角線.

當(dāng)?shù)绿m（Dandelin）得出的冰激凌定理的結(jié)論如下：圓錐曲線幾何定義與焦點(diǎn)—準(zhǔn)線定義具有等價(jià)性.

如圖1，若將圓錐的頂點(diǎn)設(shè)為Q，則有一平面π′與其相截可以得到圓錐曲線，作球與平面π′及圓錐體相切，當(dāng)曲線為橢圓或雙曲線時(shí)，平面與球有兩個(gè)切點(diǎn)，而拋物線只有一個(gè)，也就說明了切點(diǎn)就是焦點(diǎn).若球與圓錐之交為橢圓，可設(shè)此橢圓所在平面π與π′之交為直線d，則d是準(zhǔn)線.

雖然該圖僅畫出一個(gè)橢圓，但證明方法適用于拋物線和雙曲線.也就是說，任何一個(gè)切點(diǎn)都可以是焦點(diǎn)，d為準(zhǔn)線.

證明：假設(shè)P是曲線上的一個(gè)點(diǎn)，如圖2所示，連接PQ與圓O交于E，設(shè)球與平面π′的切點(diǎn)為F，令平面π′和π之間的交角為α，圓錐的母線與平面π的交角為β.設(shè)P到平面π的垂足為H，從H到直線d的垂足為R，則PR為從P到d的垂線，又∠PRH=α，其中，由于PE和PF都是球體的切線，所以PE=PF.

因此有PR·sin α=PE·sin β=PF·sin β=PH，

其中PFPR=sin αsin β為常數(shù).

二、用導(dǎo)數(shù)方法求圓錐曲線的切線方程的引理論證

目前，大多教師仍然采用傳統(tǒng)的解題思路進(jìn)行圓錐曲線問題的求解，導(dǎo)致在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，導(dǎo)數(shù)并沒有被實(shí)際運(yùn)用到對圓錐曲線問題的求解中.例如在求直線和圓錐曲線結(jié)合的題目時(shí)，雖然利用導(dǎo)數(shù)方法可以更加簡單清晰地進(jìn)行解題，但是教師普遍會教導(dǎo)學(xué)生按照傳統(tǒng)解題思路進(jìn)行解題.傳統(tǒng)解決方案比較麻煩，尤其是包含參數(shù)時(shí).因此，我們可以將圓錐部分劃分為“幾個(gè)函數(shù)”以進(jìn)行單獨(dú)討論，以便學(xué)生使用導(dǎo)數(shù)方法找到曲線的切線.本文將使用導(dǎo)數(shù)方法來證明圓錐曲線的一些性質(zhì).

（一）引理一

過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的任意一點(diǎn)P（x0，y0）作該橢圓的切線，則切線方程可以表示為x0xa2+y0yb2=1.

證明 先考慮y>0的情形：

當(dāng)y>0時(shí)，y=baa2-x2，y′=-bxaa2-x2，

y′|x=x0=-bx0aa2-x20.

而y0=baa2-x20，∴a2-x20=ay0b，

∴y′|x=x0=-b2x0a2y0，為橢圓過P（x0，y0）的切線l的斜率，

∴切線l：y-y0=-b2x0a2y0（x-x0），

化簡得b2x0x+a2y0y=b2x20+a2y20，兩邊同時(shí)除以a2b2得

x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2，即x0xa2+y0yb2=1.

當(dāng)y<0時(shí)，y=-baa2-x2，同理可得其過P（x0，y0）的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.

點(diǎn)P在（a，0）或（-a，0）處時(shí)，其切線方程為x=a或x=-a，以上結(jié)論仍然成立，從而引理一得證.

（二）引理二

過雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程可以表示為x0xa2-y0yb2=1.

證明 先考慮y>0的情形，當(dāng)y>0時(shí)，y=bax2-a2，

y′=bxax2-a2，y′|x=x0=bx0ax20-a2.

而y0=bax20-a2，∴x20-a2=ay0b，

∴y′|x=x0=b2x0a2y0，為雙曲線過P（x0，y0）的切線的斜率.

∴切線方程為y-y0=b2x0a2y0（x-x0），

整理得b2x0x-a2y0y=b2x20-a2y20，

進(jìn)而有x0xa2-y0yb2=x20a2-y20b2，即x0xa2-y0yb2=1.

當(dāng)y<0時(shí)，y=-bax2-a2，其過點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程仍為x0xa2-y0yb2=1.

點(diǎn)P在（a，0）或（-a，0）處時(shí)，其切線方程為x=a或x=-a，以上結(jié)論仍然成立，從而引理二成立.

同理，對于焦點(diǎn)在y軸上的橢圓和雙曲線，可以使用類似的推理方式得到相同的結(jié)論.

（三）引理三

過圓x2+y2=r2上的一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2.

上述公式在高中課本中已進(jìn)行推導(dǎo)，因此本文中將不進(jìn)行具體闡述，而且本公式也可以通過導(dǎo)數(shù)進(jìn)行推導(dǎo).

定理：對于二次方程：αx2+βy2=γ（αβγ≠0，γ與α，β中至少一個(gè)同號）所表示的曲線，設(shè)曲線上任意一點(diǎn)為P（x0，y0），那么過點(diǎn)P且與已知曲線相切的直線方程為αx0x+βy0y=γ.

由圖象平移法則，很容易得到一個(gè)更一般的結(jié)論.

推論：對于二次方程α（x-h）2+β（y-k）2=γ（αβγ≠0，γ與α，β中至少一個(gè)同號）所表示的曲線，設(shè)其上任意一點(diǎn)為P（x0，y0），那么過點(diǎn)P且與已知曲線相切的直線方程為α（x0-h）（x-h）+β（y0-k）（y-k）=γ.

解決切線方程問題是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用.圓錐截面通常不是功能性圖形，因此教師通常不使用導(dǎo)數(shù)解決圓錐截面的切線問題，而使用傳統(tǒng)的方法來查找由直線和圓錐截面方程組成的方程組的解，但是這種方法比較麻煩，尤其對于參數(shù)而言，計(jì)算量很大.因此 ，應(yīng)將圓錐部分劃分為“幾個(gè)函數(shù)”以單獨(dú)討論.

三、導(dǎo)數(shù)在圓錐曲線方程中的實(shí)際應(yīng)用

（一）利用導(dǎo)數(shù)求圓錐曲線的切線方程

例1 求過拋物線y=x2上的點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程.

解 （1）當(dāng)y≥0時(shí)，y=x，y′=12x，故切線的斜率為12x0，∴所求的切線方程為y-y0=12x0（x-x0）.

∵y0=x0，∴切線方程為2yy0-x-x0=0.

（2）當(dāng)y≤0時(shí)，y=-x，y′=-12x，故切線的斜率為-12x0，∴所求的切線方程為y-y0=-12x0（x-x0）.

∵y0=-x0，∴切線方程為2yy0-x-x0=0.

綜上可得所求的切線方程為2yy0-x-x0=0.

（二）利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)的圓錐曲線的切線方程

例2 設(shè)P（x0，y0）是橢圓x2a2+y2b2=1上的點(diǎn)，求過該點(diǎn)的切線方程.

解 對x求導(dǎo)，得2xa2+2yy′b2=0，得y′|x=x0=-b2x0a2y0，

由點(diǎn)斜式得切線方程為y-y0=-b2x0a2y0（x-x0），

即x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2=1，即x0xa2+y0yb2=1.

例3 設(shè)P（x0，y0）是雙曲線x2a2-y2b2=1上的點(diǎn)，求過該點(diǎn)的切線方程.

解 對x求導(dǎo)，得y′=bxax2-a2，

得y′x=x0=b2x0a2y0，

由點(diǎn)斜式得切線方程為y-y0=b2x0a2y0（x-x0），

化簡得x0xa2-y0yb2=x20a2-y20b2=1，

即x0xa2-y0yb2=1.

四、利用導(dǎo)數(shù)求解圓錐曲線問題的方法與注意事項(xiàng)

（一）利用導(dǎo)數(shù)求解圓錐曲線問題的方法

學(xué)生在求解圓錐曲線問題時(shí)，需要有一定的創(chuàng)新思維能力.在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，學(xué)生一般都先自學(xué)，然后對同一類型的多類題進(jìn)行大量訓(xùn)練，從而提高成績.但是考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，教師應(yīng)該兼顧學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和學(xué)習(xí)效率，通過加強(qiáng)典型案例的培訓(xùn)方式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)字和組合圖形的能力，提高他們對數(shù)學(xué)知識的掌握水平與對數(shù)學(xué)題型的理解能力.傳統(tǒng)的教學(xué)方式過于單調(diào)乏味，無法因材施教.教師的教學(xué)方法應(yīng)注重人性化，在教學(xué)過程中，教師的教學(xué)進(jìn)度要以學(xué)生為中心，避免使用題海戰(zhàn)術(shù).

在數(shù)學(xué)解題過程中，不僅要有創(chuàng)新思維，還要有與之相伴的探索性思維.這對學(xué)生來說有一定的難度，對學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力提出了更高的要求.高中生如果能夠在實(shí)際解決問題的過程中進(jìn)行探索性思考，那么就能不斷提高自身解決問題的能力.

在高中階段的數(shù)學(xué)科目中，對圓錐曲線參數(shù)方程問題的求解，單一理論求解的形式較少，大多都復(fù)雜而廣泛，也就導(dǎo)致需要使用的知識更加廣泛和復(fù)雜.學(xué)生如果不能充分利用探索性思維，解決問題的難度就會逐漸增加.這里存在的問題是：學(xué)生應(yīng)該如何使用探索性思維？這就要求教師在教學(xué)過程中擺脫形式主義，加強(qiáng)學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解，運(yùn)用廣泛的知識，深入介紹圓錐曲線的本質(zhì).

（二）利用導(dǎo)數(shù)求解圓錐曲線問題的注意事項(xiàng)

高中階段的每個(gè)科目都是相互關(guān)聯(lián)的.每個(gè)知識都不應(yīng)該是一個(gè)獨(dú)立的個(gè)體.因此，學(xué)生在求解圓錐曲線參數(shù)方程的問題時(shí)，也需要具備一定的知識基礎(chǔ)和思維能力.所以從知識庫儲備的角度來看，學(xué)生在學(xué)習(xí)之前需要了解參數(shù)方程的含義.參數(shù)方程是充分利用數(shù)形結(jié)合知識的一個(gè)方面，它用函數(shù)方程來表示圓錐截面上的一個(gè)點(diǎn)，并用中間變量的表達(dá)式來表示點(diǎn)的坐標(biāo)位置.從一般意義來說，就是方程組中的x，y可以代表曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).

目前，在高中數(shù)學(xué)中，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的概念和方法進(jìn)行題目解答已經(jīng)逐漸普及，讓高中生在面對數(shù)學(xué)難題時(shí)，多出一種解答手段.如果學(xué)生不能完全理解導(dǎo)數(shù)與參數(shù)方程的含義，他們就不會理解數(shù)和形的結(jié)合是什么.學(xué)生需要明白，數(shù)學(xué)思維的層次不是單一的，而是多方面的.學(xué)生解決圓錐曲線問題時(shí)，觀察問題的能力是非常重要的，只有充分理解問題中條件給出的方程的表達(dá)意義，將圖中提供的條件和圓錐截面知識完全整合，才能將問題和圖形結(jié)合起來，從而找到解決問題的方法和思路.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及的知識點(diǎn)較多，教師在教學(xué)利用導(dǎo)數(shù)解決圓錐曲線問題時(shí)需要根據(jù)題目的實(shí)際情況進(jìn)行分析，發(fā)揮理論聯(lián)系實(shí)際的具體作用，改變以往的教學(xué)方式，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)概念來處理圓錐曲線問題，從而減輕學(xué)生的運(yùn)算負(fù)擔(dān).本文主要介紹了導(dǎo)數(shù)與圓錐曲線的相關(guān)概念及理論論證，并通過舉例論證了導(dǎo)數(shù)在求解圓錐曲線的切線等問題中的優(yōu)勢，可以使學(xué)生的解題思路更加清晰，從而讓數(shù)學(xué)問題變得更加簡單.

【參考文獻(xiàn)】

[1]馬志良.利用隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解圓錐曲線的切線及切點(diǎn)弦方程[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（21）：12-13.

[2]羅文軍.利用導(dǎo)數(shù)破解圓錐曲線中的最值問題[J].廣東教育（高中版），2017（7）：66-67.

[3]張淑瀅.用導(dǎo)數(shù)探究圓錐曲線切線問題的方法[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)，2017（12）：41-42.