特殊多邊形的面積不等式

黨泉元

【摘要】多邊形的面積不等式與極值問題一直備受關注.一些特殊多邊形，如三角形、平行四邊形的面積不等式更是在中學數學競賽中經常出現.本文介紹了一些有趣的結論，并力求體現處理面積問題的一些方法.首先研究了平行四邊形和它的內接三角形的面積之間的關系，其次研究了三角形與其內含四邊形的面積關系，再次研究了三角形內的五點問題，最后研究了面積為1的凸多邊形能被什么樣的平行四邊形和三角形覆蓋的問題，并列舉了實例論證了相關問題.

【關鍵詞】 面積不等式;特殊多邊形;慣性矩不等式; 三角形;凸多邊形

一、引 言

本文通過研究一些特殊多邊形的面積之間的關系問題來激發中學生對數學的濃厚興趣，同時達到磨礪其數學思維的目的，并通過課外知識來培養中學生獨立、創新的思維模式，提高中學生的數學素質.

對于平行四邊形和它的內接三角形的面積之間的關系，有一個熟知的結論是：任一平行四邊形的內含三角形的面積不超過這個平行四邊形面積的一半.這個結論的證明十分簡單，下面我們來討論這個結論的反面.

二、三角形與其內含平行四邊形的面積關系

定理1[1] 任意一個三角形的內含平行四邊形的面積不超過這個三角形面積的一半.

證明 設平行四邊形P1P2P3P4是△ABC內的平行四邊形.

如圖1，不妨設直線P1P2，P3P4交邊BC于兩點，分別記為M2，M3，在這條直線上分別截取線段M2M1和M3M4，使得M2M1=P2P1，M3M4=P3P4，

則四邊形M1M2M3M4是平行四邊形，且

S平行四邊形M1M2M3M4=S平行四邊形P1P2P3P4.

設直線M1M4分別交邊AB，AC于兩點D，E，過點E作AB的平行線交BC于F，則可得平行四邊形BDEF，易知

S平行四邊形BDEF≥S平行四邊形M1M2M3M4=S平行四邊形P1P2P3P4.

因此要證S平行四邊形P1P2P3P4≤12S△ABC，

只需證明S平行四邊形BDEF≤12S△ABC.（1）

下面證（1）式，如圖2，

設λ=ADAB，則由

△ADE∽△ABC，

可知S△ADE=λ2S△ABC.

同理S△EFC=（1-λ）2S△ABC.

因此S△ADE+S△EFC=[λ2+（1-λ）2]S△ABC≥12S△ABC，

所以S平行四邊形BDEF=S△ABC-（S△ADE+S△EFC）≤12S△ABC.

（1）得證，且當D，E，F分別為三邊的中點時等號成立（如圖2所示），

所以S平行四邊形P1P2P3P4≤12S△ABC.

上面的證法是典型的化歸法，即將一般的平行四邊形P1P2P3P4轉化為有一組邊與BC平行的平行四邊形M1M2M3M4，再轉化為兩組邊分別平行于三角形兩邊的非常特殊的平行四邊形BDEF，從而使問題得到簡化.

如圖3，設P是△ABC內的一點，直線AP，BP，CP與三邊的交點分別為D，E，F，則△DEF叫作點P的塞瓦（Ceva）三角形.

如圖4，若△ABC內的一點P在三邊BC，CA，AB上的射影分別為D，E，F，則△DEF叫作點P的垂足三角形.

關于點P的塞瓦三角形和垂足三角形有下面兩個著名的命題.

命題1 若P是△ABC內的一點，則點P的塞瓦三角形DEF的面積不超過14S△ABC.

命題2 若P是△ABC內的一點，則點P的垂足三角形DEF的面積不超過14S△ABC.

楊林先生首先注意到定理1和命題1的關系，他通過建立塞瓦三角形的擴張性質（下面的例1）發現了命題1和定理1的推論.

例1[1] 設P是△ABC內的一點，點P的塞瓦三角形為△DEF，求證：總可以以△DEF的某兩邊為鄰邊作一平行四邊形，使之位于△ABC內.

證明 如圖5所示，設G是△ABC的重心，N，M分別是邊AC和AB的中點.不妨設P在四邊形ANGM內部或邊界上，則E，F分別在線段AN，AM的內部或端點處，所以AFFB≤1，AEEC≤1，

又不妨設AFFB≤AEEC，由塞瓦定理可得AFFB·BDDC·CEEA=1.

由此推得BDDC=AECE·FBAF≥1.

如圖6，作出以EF，ED為鄰邊的平行四邊形FEDE′，接下來只需證E′位于△ABC內部或邊界上即可.

過F作FF′∥BC，F′落在AC上.

因為AFFB≤AEEC，所以F′在線段AE內部或端點上.

因為∠E′DF=∠EFD≤∠F′FD=∠FDB，

所以DE′在∠FDB內部或邊界上.同理CEEA≥1≥CDDB，

也可證明FE′在∠BFD的內部或邊界上，故E′在△FDB的內部或邊界上，結論得證.

注1 定理1和命題1通過例1聯合起來了，即由例1和定理1命題1.

一個自然的問題是：內點P的垂足三角形是否有類似于塞瓦三角形的擴張性質呢？

易知鈍角三角形的內點的垂足三角形一般不具有擴張性質，但對于銳角三角形有下面的正面回答.

例2 如圖7，已知鈍角三角形ABC的外接圓半徑為1，求證：存在一個斜邊長為2+1的等腰三角形能夠覆蓋△ABC.

證明 ?不妨設∠C>90°，于是min{∠A，∠B}<45°.不妨設∠A<45°.如圖7所示，以AB為直徑，在頂點C的同側作半圓O，則C位于半圓O內.作射線AT使得∠BAT=45°.過O作AT的平行線，且與半圓相交于點E.過點E作半圓的切線，分別交AB的延長線和AT于點D和F，則等腰直角三角形ADF能夠覆蓋△ABC，并且AD=AO+OD=12AB+22AB=AB2（1+2），

又AB=2，所以AD=1+2.

即存在一個斜邊長為2+1的等腰三角形能夠覆蓋△ABC.

例3[2] 設P是銳角三角形ABC內一點，關于P的垂足三角形為△DEF.求證：總可以以△DEF的某兩邊為鄰邊作一平行四邊形使之位于△ABC內.

證明 設O是△ABC的外心，因為△ABC為銳角三角形，所以O位于△ABC內.不妨設P落在△AOB內，如圖8所示.

我們證明以FE，FD為鄰邊的平行四邊形DFEG位于△ABC內.為此，只需證明

∠FEG≤∠FEC，（2）

∠FDG≤∠FDC.（3）

下證（2），（3）類似可證.

由線段的平行關系易得∠FEG=∠AFE +∠BFD，

∠FEC=∠AFE+∠BAC，

因此要證（2）， 只需證

∠BFD≤∠BAC.（4）

事實上， 由B，F，P，D四點共圓，知

∠BFD=∠BPD. （5）

現過O作OH⊥BC，垂足為H，則由

∠PBD≥∠OBH，

可知∠BPD≤∠BOH，（6）

而O為△ABC的外心，

∴∠BOH=∠BAC，（7）

由（5）（6）（7）（4），即可得證.

注2 由例3知，對于銳角三角形，由定理1可推出命題2.上例曾是第2屆中國西部數學奧林匹克試題.

三、三角形內的五點問題

這是A.Soifer提供給Colorado數學奧林匹克的一道試題.他提出并證明了：在單位面積的三角形內任給五點，則至少有三點組成的三角形面積不超過14.

不難證明，五點問題的點數不能減少，但著眼于結論中三角形的個數，我們仍能改進問題的結論.下面的例4是黃仁壽先生最早發現并證明的.

例4[3] 在單位面積的三角形中任給五點，則其中必存在兩個不同的三點組使得以它們為頂點構成的三角形的面積不超過14.

證明 我們需要下面常用的引理.

引理 設凸四邊形位于一個單位面積的三角形內，則這個凸四邊形的四個頂點中必有三個頂點組成的三角形的面積不超過14.

凸四邊形的四個頂點在本質上都可化歸到三角形的邊上，因此這個引理實質上就是大家熟知的首屆冬令營的試題的第二題.即設P1，P2，P3，P4位于△ABC的三邊上，求證：△P1P2P3，△P1P3P4，△P2P3P4，△P1P2P4中必有一個面積小于或等于14S△ABC.

下面回證原題.

當這五個點的凸包為線段時，結論自然成立.

當這五個點的凸包為三角形時，則可以以這五個點為頂點作出五個互不相交的三角形，如圖9所示，而且它們的總面積小于或等于1，故必有兩個三角形的面積不超過14.

當這五個點的凸包為凸四邊形時，不妨設五點分布如圖10所示，即P5位于凸四邊形P1P2P3P4內，由引理可知P1，P2，P3，P4中必有三點組成的三角形的面積不超過14，

又S△P1P2P5+S△P2P3P5+S△P3P4P5+S△P4P1P5≤S四邊形P1P2P3P4≤S△ABC=1，

因此△P1P2P5，△P2P3P5，△P3P4P5，△P4P1P5中必有一個的面積小于或等于14，結論成立.

若這五點的凸包為凸五邊形，則其中任何四個頂點均可構成嵌入△ABC中的凸四邊形，如圖11所示，這樣的凸四邊形有C45=5個.因而包括重復計算，必有5個面積不超過14的三角形，又每個三角形至多重復兩次，故面積不超過14的三角形的個數大于52=2，結論得證.

注3 可以證明上例的結論還可以改進，其中存在的兩個三角形可改進為三個三角形（不能改進為四個三角形）的面積不超過14.但篇幅很長，這里省略.

注4 任給一個圖形F，令S（F）表示滿足下面條件的最小的正整數n，在F內部（含邊界）任給n個點使得總存在其中的三個點，它們構成的三角形的面積不超過|F|4，這里|F|表示F的面積.A.Soifer的五點問題等價于下面的命題3.

命題3 對于任意的三角形T，S（T）=5.A.Soifer進一步證明了.

命題4 對任意的平行四邊形P，S（P）=5.

一個自然的問題是：是否對于任意的圖形F都有S（F）=5？

答案是否定的，A.Soifer證明了.

命題5 對正五邊形F，S（F）=6.

對任意的凸的圖形F，S（F）都可以取什么樣的值呢？A.Soifer證明了S（F）只能在很小的范圍內取值，即有

命題6 對任意的凸的圖形F，4≤S（F）≤6.

關于命題6的更進一步的結論是：

命題7 對任意的凸的圖形F，S（F）≠4.

命題8 對任意的凸的圖形F，S（F）=5，或者S（F）=6.

一個有趣但未解決的問題是：什么樣的凸的圖形F使得S（F）=5？什么樣的凸的圖形F使得S（F）=6？

四、單位面積的凸多邊形被平行四邊形和三角形覆蓋的問題

例5 ?平面上任給n個點，其中任何三點可組成一個三角形，每個三角形都有一個面積.令最大面積與最小面積之比為μn，求μ5的最小值.

解 設平面內的任意五點為A1，A2，A3，A4，A5，其中任意3點均不共線.

（1）若5點的凸包不是凸五邊形，那么其中必有一點落在某個三角形內，這時易證μ5≥3.

（2）當5點的凸包為凸五邊形A1A2A3A4A5時，作MN∥A3A4分別交A1A3，A1A4于M和N，且使得A1MMA3=A1NNA4=5-12.

（ⅰ） A2，A5中有一點，比如A2與A3，A4在直線MN的同側時，有μ5≥S△A1A3A4S△A2A3A4≥A1A3MA3=1+A1MMA3=5+12.

（ⅱ） A2，A5與A1均在直線MN的同側時，設A2A5交A1A3于O，則A1O≤A1M，

于是μ5≥S△A2A3A5S△A1A2A5=OA3OA1≥MA3MA1=5+12.注意到3>5+12，所以總有μ5≥5+12.

當A1，A2，A3，A4，A5為邊長為a的正五邊形的5個頂點時，有μ5=S△A1A3A4S△A1A2A3=12A1A3·A1A4sin 36°12A1A2·A1A3sin 36°=A1A4A1A2=5+12.

綜上可得μ5的最小值為5+12.

【參考文獻】

[1] 冷崗松.幾何不等式[M].上海：華東師范大學出版社，2005.

[2] 單墫.幾何不等式[M].上海：上海教育出版社，1980.

[3] 匡繼昌.常用不等式[M].濟南：山東科學技術出版社，2004.