基于Kriging模型的高速列車齒輪箱箱體裂紋識別*

王靖銘 寧 靜 趙 飛 陳春俊

（西南交通大學機械工程學院 成都 610031）

1 引言

高速列車作為一種高度集成的復雜系統(tǒng)［1］，各部件故障會對其運行安全性產(chǎn)生不同程度的影響。齒輪箱作為高速列車走行部的關鍵部件，是保證高速列車正常運行的A類關鍵部件，其主要作用是傳遞扭矩、改變速度和扭矩方向［2］。其結構損傷既影響列車運行速度，同時也影響列車轉向架結構性能，嚴重時可能引發(fā)列車事故［3］。箱體裂紋作為齒輪箱系統(tǒng)的常見損傷，嚴重影響列車運行安全性。因箱體裂紋而造成列車事故的情況在國內外均有出現(xiàn)。自2012年國內某型號動車組首次出現(xiàn)齒輪箱箱體疲勞裂紋以來，截至目前，已累計發(fā)生疲勞失效百余起［4］。因此，如何進行箱體裂紋的有效判斷和識別，對保證列車安全運行具有重要的研究意義。

近年來，隨著人們對于計算機技術和統(tǒng)計學的深入研究和應用，代理模型技術被廣泛應用于各個領域。在代理模型方法研究方面，目前已發(fā)展了包括Kriging模型、神經(jīng)網(wǎng)絡、徑向基函數(shù)等多種代理模型方法。其中，Kriging模型首次提出是在1951年南非地質學家Krige的碩士論文中，作為一種無偏估計模型被用來估計方差最小化［5］。20年后，此方法于1971年被Matheron首次命名為Kriging方法［6］。Cressie在總結Kriging技術研究的基礎上，詳細闡述了其原理［7］。隨后，Currin等［8］和Sacks等［9］將Kriging方法應用到實際工程問題的優(yōu)化中。至此，Kriging方法開始正式步入工程領域，至今已發(fā)展為最具代表性和應用潛力的代理模型方法之一［10］。

隨著Kriging代理模型技術被廣泛應用于工程領域，部分學者開始將其應用到結構裂紋識別領域，并取得不錯的效果。高海洋等提出了一種基于Kriging代理模型的裂紋識別方法，結果表明，該方法能有效地識別裂紋參數(shù)，與基于有限元的方法相比，極大地提高了識別效率，并且具有良好的抗噪性［11］。魯志文將Kriging代理模型用于運行狀態(tài)下轉子裂紋參數(shù)的量化識別，結果表明，與基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡的方法相比，在保證裂紋位置和深度識別的準確性的情況下，該方法需要的樣本量更少，且對噪聲魯棒性較強［12］。王丹陽基于Kriging代理模型，結合改進的NSGA-Ⅲ實現(xiàn)了在轉子運行狀態(tài)下識別裂紋的位置、深度和類型［13］。

由上可知，雖然Kriging代理模型技術的應用已經(jīng)開始涉及到裂紋識別領域，但相比于工程領域的其他方面，可謂微不足道。且大多局限于簡單結構（如梁、板以及轉子等）裂紋識別研究。針對于此，本文開展基于Kriging代理模型的非運行條件下高速列車齒輪箱箱體裂紋識別研究。通過少量的箱體裂紋損傷樣本與其結構響應，直接構造裂紋參數(shù)與其結構響應間對應關系的Kriging代理模型，在保證識別精度與效率的情況下實現(xiàn)箱體裂紋識別。

2 Kriging代理模型技術

Kriging模型作為一種半?yún)?shù)化的插值技術，由多項式和隨機分布兩部分組成，故可表示為如下數(shù)學形式：

其中，β是回歸系數(shù)；f(x)是x的多項式，用于設計空間中提供全局近似模擬；z(x)為隨機分布的誤差，模擬局部誤差近似，具有以下統(tǒng)計特性：

式中，xi、xj是訓練樣本中任意兩點；R(θ，xi，xj)是帶有參數(shù)θ的相關函數(shù)，用于表征訓練樣本點間的空間相關性。

對于給定訓練樣本集S=[x1，x2，…，xn]及其響應集Y=[y1，y2，…，yn]，在式（1）給定的模型基礎上，可通過已知訓練樣本響應值Y的線性組合來估計任意一個待測點xnew的響應值，即：

此式即可表征待測點與各樣本點間的空間相關性。

上式中的差值系數(shù)c可通過最小化響應預測值的預測方差來確定，即

由上可知，只需求得參數(shù)β、θ以及即可。可通過最大化響應值的似然估計來計算：

3 基于Kriging模型的裂紋識別步驟

裂紋識別問題本質上可轉化為優(yōu)化問題，即在所建立的Kriging代理模型基礎上，利用尋優(yōu)算法確定滿足目標函數(shù)的裂紋參數(shù)，從而實現(xiàn)裂紋識別。假設已測得結構響應y(x*)，則目標函數(shù)可表示為

式中，Wj為加權參數(shù)；為測試點x*在模型中所對應的預測響應的第j個分量；lb和ub為裂紋無量綱參數(shù)的上限和下限，N為y^(x*)的長度。

如圖1所示，基于Kriging代理模型的裂紋識別步驟可總結如下。

圖1 基于Kriging代理模型的裂紋識別步驟

1）根據(jù)裂紋結構特性，確定可描述裂紋位置和大小的參數(shù)作為設計變量，從而構建設計空間。

2）利用合適的抽樣方法抽樣生成裂紋參數(shù)初始樣本點，本文采用拉丁超立方體抽樣。利用有限元仿真得到樣本點所對應的結構響應。

3）基于初始樣本點及其響應值構建Kriging模型，在所構建的代理模型基礎上使用尋優(yōu)算法進行尋優(yōu)識別。

4）基于尋優(yōu)識別結果驗證Kriging代理模型的計算精度，若滿足精度要求，則輸出識別結果。

5）若不滿足精度要求，則需進行Kriging代理模型修正，即將識別結果作為樣本點加入初始樣本集重構樣本集，從新構建Kriging代理模型。

6）重復上述步驟3），直到滿足精度要求。

4 基于Kriging模型的箱體裂紋識別

4.1 基于模態(tài)分析的箱體裂紋參數(shù)抽樣

模態(tài)是機械結構固有的振動特性，每階模態(tài)都有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型［14］。通過模態(tài)分析可了解結構系統(tǒng)的振動特性，為結構故障診斷和預防以及結構動力特性優(yōu)化設計提供依據(jù)。本文通過對箱體進行模態(tài)分析可了解到箱體結構本身的固有屬性，從而掌握箱體結構易損部位，為后續(xù)箱體裂紋參數(shù)抽樣提供參考。

由于箱體結構形狀復雜，為了便于有限元分析，因此在建立箱體模型時，不考慮上下箱體結合部、軸承端蓋與箱體結合部的影響，忽略箱體局部尺寸較小或者影響甚微的部位，如箱體的泄油孔、螺栓孔等［15］。本文借助Pro/E建立箱體三維模型，并將之導入ABAQUS中進行箱體模態(tài)分析。箱體材料采用鑄造鋁合金，材料密度為2.7×103kg/m3，彈性模量為75Gpa，泊松比為0.3。經(jīng)模態(tài)分析計算，箱體前六階模態(tài)振型和頻率分別如圖2和表1所示。

圖2 齒輪箱箱體前六階振型

表1 齒輪箱箱體前六階固有頻率

從箱體前6階模態(tài)頻率可以看出，箱體的固有頻率多集中在高頻階段，應力集中多發(fā)生在窺油孔周圍和箱體底座以及端部。結合箱體實際產(chǎn)生裂紋實例如圖3所示，選取箱體底座和端部為研究對象。假設箱體表面有一裂紋，裂紋平面與軸心位于同一平面上，且假設裂紋縱向深度不超過箱體壁厚，裂尖位置徑向上不超出輸出軸軸孔，以裂紋在軸心圓所在的方位（角度）θ、徑向寬度α以及軸向深度β為裂紋參數(shù)，構建一個具有三維變量的設計空間，則有θ∈[240，360]、α∈[0，30]、θ∈[0，12]。利用拉丁超立方抽樣抽取裂紋參數(shù)樣本如表2所示。

圖3 齒輪箱箱體裂紋實例

表2 齒輪箱箱體裂紋參數(shù)樣本

4.2 基于ABAQUS的裂紋箱體結構響應提取

結合前文抽取的裂紋參數(shù)樣本，利用ABAQUS進行箱體裂紋建模，基于建立的裂紋箱體模型進行模態(tài)分析，從而提取所對應的結構響應。約束邊界條件如下：箱體與C型支架連接平面為固定約束，大軸承孔處采用耦合約束，約束除繞車軸旋轉自由度以外的其他自由度［16］。本文采用云圖積分定制箱體裂紋，圖4為樣本點12的箱體裂紋模型。圖5示為12號樣本點箱體裂紋模型的第13階模態(tài)振型圖，從圖中可以看出所定制裂紋的位置出現(xiàn)明顯的箱體裂紋，這也證明了所建立的裂紋模型的準確性。

圖4 樣本點12箱體裂紋模型

圖5 12號樣本點箱體裂紋模型第13階模態(tài)振型

根據(jù)表2所抽取20組裂紋參數(shù)樣本點，并利用ABAQUS建立對應箱體裂紋模型，通過模態(tài)分析提取裂紋參數(shù)樣本點所對應的模態(tài)頻率。為保證結構響應對裂紋參數(shù)的變化相對靈敏，同時確保計算效率，通過對比分析，本文選取各裂紋參數(shù)樣本點所對應的12階、14階、16階和18階固有頻率作為裂紋參數(shù)所對應的結構響應，見表3。

4.3 Kriging代理模型構建與箱體裂紋識別

根據(jù)表3的裂紋參數(shù)樣本以及其對應的結構響應構建Kriging代理模型。結合箱體模態(tài)分析與箱體裂紋實例，在箱體模型上利用ABAQUS軟件模擬四種裂紋工況，進行Kriging代理模型精度驗證，驗證結果如表4所示。由表4可以看出，四種工況下各裂紋參數(shù)的識別精度均低于工程誤差限值5%。

表3 各裂紋參數(shù)樣本及其所對應的結構響應

表4 模擬的四種工況裂紋參數(shù)與識別結果對比

其中，表示裂紋軸心圓方位的參數(shù)θ識別精度最高，其識別誤差均低于2%。此外，雖然表示裂紋徑向寬度的參數(shù)α以及軸向深度的參數(shù)β識別精度相對偏低，但其識別誤差也均低于4%。這說明所構建的Kriging代理模型滿足精度要求，無需通過加點準則進行模型修正。同時，通過裂紋識別結果可以看出，率為結構響應之間的關系具有明顯的優(yōu)勢，其僅需在建模以及模型驗證時調用少量有限元計算（本文共調用24次），就可得到能代表無數(shù)次有限元分析計算裂紋識別模型。在保證裂紋識別精度的條件下，大大減少了計算成本，提高了裂紋識別的效率。

5 結語

隨著我國高鐵事業(yè)的飛速發(fā)展，高速列車的相關研究也因此蓬勃發(fā)展。然而，目前對高速列車齒輪箱箱體裂紋識別研究卻微乎其微。此外，近年來雖然有學者將Kriging代理模型應用于裂紋識別領域，但基本上都局限于板、梁等簡單結構。基于以上情形，本文針對某型高速列車齒輪箱箱體發(fā)生裂紋故障從而影響列車運行的安全性問題，結合當下應用廣泛且最具應用潛力的Kriging代理模型，初步探析了非運行條件下高速列車齒輪箱箱體的裂紋識別。主要結論如下：

1）利用結構發(fā)生損傷時結構的固有屬性發(fā)生變化這一特性，利用有限元分析軟件ABAQUS建立箱體的裂紋模型，并基于模態(tài)分析得到裂紋箱體的各階固有頻率，從中選出四階聯(lián)合作為裂紋箱體結構響應，從而構建Kriging代理模型，實現(xiàn)非運行條件下箱體裂紋識別，并通過模擬四種工況驗證了模型的準確性。

2）根據(jù)識別結果表明，與基于信號處理和基于數(shù)值分析的裂紋識別相比，該方法在保證識別精度的情況下，極大地提高了識別效率，同時還可實現(xiàn)微小裂紋識別以及裂紋定位識別。