牽一發(fā)動(dòng)全身
——命題和試題改編的自洽性探討

江蘇 孫鷹淵

在高中物理力學(xué)問題中，“滑塊—木板”類問題有多種不同角度的分析方法，而多樣的解答思路既能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，又能檢驗(yàn)物理問題的自洽程度。“病態(tài)”的問題可能會(huì)導(dǎo)致不同的解答思路得到不同的結(jié)論，出現(xiàn)自相矛盾的情況。本文以一道“病態(tài)”的改編題為例，分析其產(chǎn)生矛盾的原因，并對(duì)教師命題和試題改編提出建議。

1.一道改編題引發(fā)的矛盾

該試題為一道改編題，多次出現(xiàn)在各學(xué)校的階段檢測卷上。該題與原題有基本相同的問題情境，僅更改了原題的一個(gè)已知數(shù)據(jù)。但由于該數(shù)據(jù)的更改，產(chǎn)生了結(jié)果的矛盾。

【例題】如圖1所示，在平臺(tái)AD中間有一個(gè)長為2l的凹槽BC，質(zhì)量為m，長度為l的滑板上表面與平臺(tái)AD等高，質(zhì)量為2m的鐵塊(可視為質(zhì)點(diǎn))與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1，鐵塊以一定的初速度滑上滑板后，滑板開始向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滑板右端到達(dá)凹槽右端C時(shí)，鐵塊與滑板的速度恰好相等，滑板與凹槽右側(cè)邊碰撞后立即原速反彈，左端到達(dá)凹槽B端時(shí)速度恰好為零，而鐵塊則滑上平臺(tái)CD。已知重力加速度為g。求：

圖1

(1)滑板與凹槽間動(dòng)摩擦因數(shù)μ2。

(2)鐵塊滑上滑板時(shí)的初速度大小v0。

為了方便討論，不妨設(shè)滑板向右滑動(dòng)時(shí)加速度大小為a1，時(shí)間為t1，右端到達(dá)C時(shí)速度大小為v；向左滑動(dòng)時(shí)加速度大小為a2，時(shí)間為t2；鐵塊向左滑動(dòng)時(shí)加速度大小為a3。

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)角度分析

滑板向右滑動(dòng)時(shí)，在水平方向上受到鐵塊對(duì)滑板向右的滑動(dòng)摩擦力以及槽底對(duì)滑板向左的滑動(dòng)摩擦力；向左滑動(dòng)時(shí)，在水平方向上受到槽底對(duì)滑板向右的滑動(dòng)摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律得

μ12mg-μ23mg=ma1(1)

μ2mg=ma2(2)

又根據(jù)滑板向右做初速度為0，加速度大小為a1的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，最終速度大小為v；向左做初速度為v，加速度大小為a2的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，最終速度大小為0，據(jù)此可得

v2-0=2a1l(3)

0-v2=-2a2l(4)

當(dāng)鐵塊向右滑動(dòng)時(shí)，水平方向只受滑板對(duì)鐵塊的滑動(dòng)摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律得

μ12mg=2ma3(5)

鐵塊向右做初速度為v0，加速度大小為a3的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，最終速度大小為v，得

v=v0-a3t1(6)

又因?yàn)榛逑蛴壹铀僦羦所用時(shí)間也為t1，所以

v=a1t1(7)

1.2 動(dòng)能定理角度的分析

滑板向右滑動(dòng)的過程中鐵塊對(duì)滑板的滑動(dòng)摩擦力做正功，槽底對(duì)滑板的滑動(dòng)摩擦力做負(fù)功，滑板相對(duì)于地面位移大小為l，根據(jù)動(dòng)能定理可得

同理，滑板向左滑動(dòng)的過程中對(duì)應(yīng)的動(dòng)能定理方程為

鐵塊向右滑動(dòng)的過程中鐵塊相對(duì)于地面位移為2l，所以鐵塊對(duì)應(yīng)的動(dòng)能定理方程為

2.矛盾分析

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)角度分析

由于凹槽長度為x，板長為l，得

v2-0=2a1(x-l) (11)

0-v2=-2a2(x-l) (12)

當(dāng)滑板向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，可得滑板的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

同理可得，鐵塊向右勻減速直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

v=v0-μ1gt1(15)

2.2 沖量定理角度分析

由于凹槽長度為x，板長為l，得

對(duì)鐵塊向右滑動(dòng)的過程運(yùn)用沖量定理得

-μ12mgt1=2mv-2mv0(19)

對(duì)滑板向左滑動(dòng)的過程運(yùn)用沖量定理可得

-μ2mgt1=0-mv(20)

聯(lián)立可得v0=3v(21)

2.3 圖像法角度分析

在同一v-t圖像中，分別作鐵塊與滑板速度隨時(shí)間變化的圖像，圖像中滑板在t1時(shí)刻的位移為l1，鐵塊位移為l2，v-t圖像如圖2所示：

圖2 鐵塊與滑板速度隨時(shí)間變化圖像

2.4 矛盾產(chǎn)生原因分析

該類改編題的矛盾來源于物理情境和已知條件的不自洽。在例題的情境中，約束條件為鐵塊恰好與木板速度相等，鐵塊滑上平臺(tái)CD，滑板返回最左端時(shí)速度恰好為零。在這些約束條件下，凹槽長度與滑板長度應(yīng)滿足4∶3的比例關(guān)系。原題在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)是為了減少學(xué)生的計(jì)算量，提供了“過剩”的已知條件，引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)學(xué)或者能量角度進(jìn)行分析。而改編題未能關(guān)注到這個(gè)隱含的比例關(guān)系，反倒將原本很巧妙的“助推器”改編成了存在錯(cuò)誤的“絆腳石”，使得學(xué)生在分析求解時(shí)出現(xiàn)矛盾。中學(xué)生在解題時(shí)，一般不會(huì)同時(shí)從兩個(gè)角度對(duì)問題情境本身的合理性進(jìn)行圖像分析，對(duì)問題的認(rèn)識(shí)停留在淺層的求解作答階段，不能識(shí)別問題的錯(cuò)誤。此類“病態(tài)”問題不利于檢測學(xué)生對(duì)“滑塊—木板”模型的掌握情況。

3.命題及試題改編的啟示

為避免“病態(tài)”問題影響教師對(duì)學(xué)生知識(shí)掌握情況的檢測，教師在命題或試題改編時(shí)需要謹(jǐn)慎分析，確保物理情境與已知條件自洽。

(1)嘗試多角度分析，預(yù)設(shè)學(xué)生的分析方法

教師在命題前需預(yù)設(shè)學(xué)生可能的分析方法，并針對(duì)每種分析方法制定有效的評(píng)價(jià)方式。學(xué)生在解決高中物理力學(xué)問題時(shí)，常從運(yùn)動(dòng)學(xué)、能量、動(dòng)量或是沖量的角度進(jìn)行思考。教師需要在命題時(shí)從這四個(gè)角度充分分析題設(shè)情境，確定每個(gè)思考角度對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵步驟，從而設(shè)置有效的評(píng)價(jià)方式。若學(xué)生未能掌握好某一角度的分析方法，便容易在分析中出現(xiàn)錯(cuò)誤，這時(shí)教師可以在學(xué)生的分析過程中給予對(duì)應(yīng)的提示與幫助，輔導(dǎo)學(xué)生鞏固該角度的分析方法。同時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從其他角度深入分析該問題，通過分析結(jié)果的一致性幫助學(xué)生掌握多種物理分析方法。

(2)嘗試減少已知條件，理清物理量間的內(nèi)部約束

命題或試題改編時(shí)，可以嘗試減少已知條件，探究物理量之間隱含的內(nèi)部約束。當(dāng)物理情境復(fù)雜時(shí)，教師較難直接發(fā)現(xiàn)物理量之間存在的隱含約束條件，教師需要在命題或是試題改編時(shí)通過多角度的計(jì)算，嘗試尋找物理量之間的潛在聯(lián)系。若是在命題時(shí)，教師發(fā)現(xiàn)物理量之間存在的關(guān)系較難分析，且與試題考查的知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)不大，教師可以將此隱含條件作為已知條件給出，避免學(xué)生解題時(shí)走歪路；若是在試題改編時(shí)，教師通過減少已知條件，發(fā)現(xiàn)了物理量之間存在的隱含關(guān)系，一定要注意同步變更相關(guān)物理量的數(shù)據(jù)，避免出現(xiàn)矛盾；同時(shí)教師也可以設(shè)置相關(guān)拓展任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生尋找部分物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系。

(3)嘗試運(yùn)用模擬軟件，檢驗(yàn)物理情境的合理性