應用動量定理分解法 速解邊界磁場問題

貴州 楊 勇 葉紅艷

邊界磁場問題包含復雜的幾何關系，通常情況下是求解速度、磁場、運動時間的極值，為了避免進行復雜的幾何運算，本文結合高考試題進行分析，應用動量定理分解法“秒殺”一些常見的邊界問題，提升解題效率。

磁場問題是高考的必考題，帶電粒子通常是垂直進入勻強磁場，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，這是學生非常熟悉的運動之一。若要增加帶電粒子在磁場中運動問題的高度和難度，必然有邊界磁場的出現，邊界磁場問題也就成為了高考考查的熱點及難點。為了能夠有效地突破一些常見的邊界問題，筆者結合近幾年高考常見的邊界磁場問題進行分析，應用動量定理分解法速解邊界磁場問題。

在高中階段，動量定理常應用在恒力作用下的直線運動中，在變力或曲線運動中的應用相對較少。力的沖量是力相對時間的積累，這個積累等于物體動量的變化，因此分析和理解這個累加的意義，對處理變力作用下的一些復雜問題具有意想不到的效果。

如圖1所示，一質點以速度為v、半徑為R做勻速圓周運動，某時刻質點的速度與水平方向的夾角為θ，根據動量定理有FΔt=mΔv

圖1

由于合外力的方向隨時間變化，把合外力分解為水平方向和豎直方向，則有Fx=Fsinθ，Fy=Fcosθ

水平方向根據動量定理有-FxΔt=mΔvx

豎直方向根據動量定理有FyΔt=mΔvy

從兩個方向的分析結果可以看出，對于勻速圓周運動水平方向的速度變化影響豎直方向的位移分量，豎直方向的速度變化量影響水平方向的位移分量。

一、動量定理分解法求解邊界磁場中的速度問題

圖2

( )

【解析】根據題意，以速度大小為v1射入的粒子水平位移為R，豎直方向的速度變化為Δvy=v1-0；以速度大小為v2射入的粒子水平位移為x=R+Rcos60°，豎直方向的速度變化為Δvy=v2sin60°-0，由動量分解法得qΔvxBΔt=mvy-mvy0

當Δt→0時，x=vxΔt，則有qBx=mvy-mvy0

結合題意得qBR=mv1；qB(R+Rcos60°)=mv2sin60°

【答案】B

【評價】本題常用的解法是先確定圓心，然后找到半徑，再結合洛倫茲力提供向心力，把向心力的公式寫出來，計算出速度之比。相比之下，應用動量定理分解法避免了分析復雜的幾何關系，只要掌握勻速圓周運動具有這樣的特點，即豎直方向的速度變化量影響水平方向的位移，就可以直接“秒殺”問題。

【例2】如圖3所示，寬度為d的有界勻強磁場，磁感應強度為B，MM′和NN′是它的兩條邊界。現有質量為m，電荷量為q的帶電粒子沿圖3所示方向垂直射入磁場。要使粒子不能從邊界NN′射出，則粒子入射速率v的最大值可能是多少？

圖3

【解析】帶電粒子不能從NN′邊界射出的條件為運動軌跡剛好與NN′邊界相切，由于帶電粒子的帶電性質未知，所以當帶電粒子帶正電時，進入磁場后在洛倫茲力的作用下向上偏轉做勻速圓周運動。當運動軌跡與NN′剛好相切時，由動量定理分解法得qBd=mv-mvcos45°，則

當粒子帶負電時，有-qBd=-mv-mvcos45°，則

【評價】對于邊界磁場引起的速度極值為題，只要抓住臨界位置，根據射入速度方向與射出方向，利用動量定理分解法可以快速解題，避免了復雜的幾何和三角函數的運算，為考試爭取更多的時間。對于其他邊界磁場出現的速度以及速度極值計算，讀者可以參考上述的分析方法進行嘗試，可能會達到意想不到的效果。

二、動量定理分解法求解邊界磁場中的磁場極值問題

【例3】(2021年全國甲卷第25題)如圖4所示，長度均為l的兩塊擋板豎直相對放置，間距也為l，兩擋板上邊緣P和M處于同一水平線上，在該水平線的上方區域有方向豎直向下的勻強電場，電場強度大小為E；兩擋板間有垂直紙面向外、磁感應強度大小可調節的勻強磁場。一質量為m，電荷量為q(q>0)的粒子自電場中某處以大小為v0的速度水平向右發射，恰好從P點處射入磁場，從兩擋板下邊緣Q和N之間射出磁場，運動過程中粒子未與擋板碰撞。已知粒子射入磁場時的速度方向與PQ的夾角為60°，不計重力。

圖4

(1)求粒子發射位置到P點的距離；

(2)求磁感應強度大小的取值范圍；

(3)若粒子正好從QN的中點射出磁場，求粒子在磁場中的軌跡與擋板MN的最近距離。

(2)如圖5所示，由洛倫茲力提供向心力，有

圖5

圖6

【評價】綜上分析，已知帶電粒子的速度大小和運動軌跡，結合動量定理的正交分解法，可使問題得到快速的解決，相比應用常規方法而言，動量定理分解法可以達到解題效率高、方法簡便等效果。常規解法是培養學生對基礎知識的理解能力，但當學生具有一定的學習能力時，適當地拓展解題的思維和方法，有助于提高學生的解題能力和發展學生的思維能力。

三、動量定理分解法處理常規邊界磁場問題

圖7

( )

A.粒子一定帶正電

B.當α=45°時，粒子也垂直x軸離開磁場

【答案】ACD

【評價】根據題意可以求出半徑，結合已知量同樣可以求出速度的大小，所以對于A、C兩個選項是屬于比較常規的考查，而D選項主要考查學生對帶電粒子在邊界磁場中最大距離的判斷，也就是比較弦長，結合題意，弦最長就是直徑，則根據勾股定理即可計算出來。本題主要難點在B選項，常規的解法是畫圖，找幾何關系，根據計算的半徑討論是否滿足條件，由于幾何關系復雜，容易弄錯。應用動量定理的分解方法處理，只要抓住初始速度的方向和射出速度的方向，將動量定理分解法求得的結果與實際結合，看是否滿足條件即可。可見動量定理分解法的優勢是不用進行復雜的幾何關系運算，具有“秒殺”結論的效果。

四、總結