數(shù)形結合，打通知識間聯(lián)系的橋梁

吳麗琴

摘要：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休。”教學時教師要有意識地加強數(shù)與形的聯(lián)系，幫助學生逐步樹立起數(shù)形結合的觀念，提高學生主動運用的意識，并使這一觀念扎根到學生的認知結構中去，從而提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力。

關鍵詞：數(shù)形結合;大數(shù)與湊整;數(shù)射線;日常運用

學生學習、理解和掌握“大數(shù)與湊整”時要經(jīng)過從具體到抽象、從感性到理性的過程，這就需要我們在教學過程中，不僅要關注結果，還要關注得到結果、得到方法的思維過程。這個思維過程就是學生理解湊整方法的過程。因此，我們不僅要關注學生技能的形成，還需要有機滲透數(shù)學思想方法，讓學生在掌握知識的同時感悟數(shù)學思想方法，為今后持續(xù)發(fā)展奠定堅實的基礎。

一、路徑梳理

（一）單元教材分析

“大數(shù)與湊整”是滬教版小學數(shù)學“數(shù)與運算”模塊的學習內(nèi)容。“數(shù)與運算”模塊貫穿小學數(shù)學學習的始終。一年級學生認識10以內(nèi)，20以內(nèi)，100以內(nèi)的數(shù)及相應的加減運算;二年級學生認識萬以內(nèi)的數(shù)及加減法，理解乘除法的意義等;三年級認識分數(shù)，乘、除數(shù)是兩三位數(shù)的乘除法等;四年級認識多位數(shù)，用合理的方法湊整，認識小數(shù);五年級學會小數(shù)四則運算，認識正、負數(shù)等。在學生認識數(shù)的過程中，數(shù)射線清晰地反映出數(shù)的排列順序與大小，作為數(shù)學思維方法-數(shù)形結合的一種工具從一年級起就發(fā)揮著重要作用。

（二）教學價值分析

“大數(shù)與湊整”這一單元，教材安排了我國近五十年來的人口增長圖，讓學生在現(xiàn)實背景中復習大數(shù)的認識，接著以買衣服時的價格問題和尺寸問題兩個湊整實例，引導學生探究“去尾法”和“進一法”湊整。在探究過程中，學生可以體會到數(shù)學來源于生活，生活中處處都有數(shù)學知識。

在數(shù)的認識過程中，教材反復借助數(shù)射線這一工具，讓學生對數(shù)的順序和大小有直觀的體驗。特別是“大數(shù)與湊整”，數(shù)射線化抽象為具象，讓學生初步感受數(shù)域，體會三種湊整方法的本質(zhì)、聯(lián)系和區(qū)別。數(shù)射線是滲透數(shù)形結合的一個很好的載體。

（三）單元學情分析

四年級數(shù)學第一學期第七冊教材中介紹了三種湊整方法：四舍五入法、去尾法、進一法。它們都是通過“舍”或“入”近似地估寫數(shù)。找“相鄰的整萬數(shù)、整十萬數(shù)……”是這三種湊整方法的學習準備。學生在一年級第二冊教材中就接觸過找相鄰的整十數(shù)，借助數(shù)射線利用已有的知識找出相鄰的整萬數(shù)，對學生而言是熟悉的問題情境，不難解決這個問題。學生借助數(shù)射線直觀地比較整萬數(shù)與各數(shù)的距離，也可以很快找到最接近的整萬數(shù)。

《大數(shù)與湊整》這節(jié)課是在學生已經(jīng)學會用“四舍五入法”湊整的基礎上，繼續(xù)學習新的湊整方法：“去尾法”和“進一法”。學生在解決生活實際問題的過程中，依據(jù)自己的生活經(jīng)驗，加以觀察、分析，主動建構“去尾法”和“進一法”，正確運用這兩種方法對大數(shù)進行湊整，并感知三種湊整方法的異同點。這也為后續(xù)第八冊“小數(shù)與近似數(shù)”的學習打下扎實的基礎。

二、案例呈現(xiàn)

（一）片段一：復習大數(shù)，并借助數(shù)射線復習“四舍五入法”。

出示754386

師：這個數(shù)你們會讀嗎？與它相鄰的整萬數(shù)是誰？

生：七十五萬四千三百八十六，與它相鄰的整萬數(shù)是75萬和76萬。

師：我們到數(shù)射線去看一看，（在數(shù)射線上標出75萬和76萬的位置）754386在哪里？

生在數(shù)射線上找到754386的大概位置。

師：如果把這個數(shù)用“四舍五入法”湊整到萬位，你怎么想？

生：75萬。

師：用“四舍五入法”湊整，如果被省略的尾數(shù)最高位是4或者比4小，就要湊整到前一個整十、百、千…數(shù)。如果尾數(shù)的最高位是5或者比5大，就要湊整到后一個整十、百、千…數(shù)。

師：這么表示你們看得懂嗎？揭題（大數(shù)與湊整）

（二）片段二：借助數(shù)射線，進一步理解“去尾法”和“進一法”的本質(zhì)。

通過討論“怎么給特賣服裝定價？”、“小胖應該買哪種T恤？”，學生初步掌握了兩種新的湊整方法“去尾法”和“進一法”。

師：我們已經(jīng)學會了兩種新的湊整方法“去尾法”和“進一法”。你能不能指著數(shù)射線來說一說，你怎么理解“去尾法”，又怎么理解“進一法”？同桌討論。學生上來指著數(shù)射線說，自己對去尾法的理解。

師：直觀表示

師：在數(shù)射線上如何理解“進一法”呢？學生用手比劃后，學生上黑板把自己的理解畫下來。

（三）片段三：借助數(shù)射線，從數(shù)與形的兩個角度，不斷體會三種湊整方法的聯(lián)系與區(qū)別，形成形結合的數(shù)學思想方法。

師：小亞將“80692”這個數(shù)湊整到萬位得到了8萬，你知道她可能用了什么湊整方法？你怎么想的？

生1：“四舍五入法”，尾數(shù)的最高位是0，四舍湊整為8萬。

生2：“去尾法”，把萬位后面的尾數(shù)全部去掉，也是8萬。

師：把這個數(shù)放到數(shù)射線上，能不能從圖中解釋一下，80692用“四舍五入法”和“去尾法”湊整到萬位都是8萬？

生到數(shù)射線上指一指，找到這個數(shù)大概的位置，發(fā)現(xiàn)80692用“四舍五入法”和“去尾法”湊整到萬位都是8萬。

師：想一想在這兩個整萬數(shù)8萬和9萬之間是不是只有這一個數(shù)有這樣的情況。找到這些數(shù)的范圍，上來指一下這些數(shù)的范圍。

師：在“四舍五入法”中，“四舍”范圍內(nèi)的這些數(shù)湊整的結果和“去尾法”湊整的結果一樣。這有沒有給你一些新思考。

師：“五入”跟“進一法”也能湊整為相同的結果。這些數(shù)在哪里？范圍在哪里？跟同桌說。（PPT演示）

師：“四舍五入法”中“四舍”和“去尾法”都是找到與該數(shù)相鄰的整數(shù)中小的那個數(shù)，“五入”和“進一法”都是找到與該數(shù)相鄰的整數(shù)中大的那個數(shù)。

三、案例反思

徐利治先生說：“數(shù)學直覺既是抽象思維的起點，又是抽象思維的歸宿。通過抽象性思維，對數(shù)學對象的本質(zhì)有所洞察，有所概括，這樣就形成了更高層次的直覺，從而又可進行更高層次的創(chuàng)造性思維活動。”可見，用形象來滋養(yǎng)抽象，用直覺來涵養(yǎng)思維，是幫助學生清晰地掌握數(shù)學知識的重要“法寶”。

（一）滲透數(shù)形結合思想，深刻理解湊整方法。本節(jié)課從衣服特價和定衣服尺寸這兩個生活情境引入“去尾法”和“進一法”，引導學生經(jīng)歷知識形成的過程，主動建構這兩種湊整方法。在探究、學習并初步掌握“去尾法”、“進一法”的湊整方法后，又引導學生到數(shù)射線上理解“去尾法”、“進一法”，有了數(shù)射線這根拐杖，學生對兩種湊整的方法理解更深了，用“去尾法”湊整得到的是前一個整十、百、千…數(shù)，用“進一法”湊整得到的是后一個整十、百、千…數(shù)。

（二）運用數(shù)形結合，打通知識間的聯(lián)系。數(shù)形結合的思想幫助學生厘清湊整的道理，有效打通知識間的聯(lián)系，形成知識串。跟進練習中，首先通過生活問題豐富學生對“去尾法”、“進一法”這兩種湊整方法的認識，接著通過開放問題“你知道，小亞可能用了什么湊整方法？”，引發(fā)學生思考，使學生初步體會三種湊整方法之間的聯(lián)系。借助“數(shù)射線”這一工具，把三者之間的關系“可視化”，利用直觀圖進行比較，利于學生發(fā)現(xiàn)三種湊整方法的本質(zhì)，從而打通三者之間的聯(lián)系，幫助學生構建了大數(shù)與湊整的知識網(wǎng)絡。這樣數(shù)形結合的事例在不同的年段學習中均能尋覓其蹤影。

（三）通過數(shù)形結合，加強學生對數(shù)學知識的記憶。對于學生來說，大數(shù)比較抽象，三種湊整方法也比較容易混淆。可能學得快，忘得也快。借助數(shù)射線比較三者之間區(qū)別與聯(lián)系，學生不僅知其然，也知其所以然，形象思維和抽象思維協(xié)同應用，幫助學生在腦海里形成了清晰的數(shù)學模型。可見，數(shù)形結合有助于學生進行比較、交流與反思，從而促進學生對知識的深度理解。