高等院校泛函分析課程的教學(xué)研究

靖楊萍 張林 亓文濤

摘要：泛函分析課程在高等本科院校的教學(xué)計(jì)劃中是一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)理論課，本文從兩個(gè)方面闡述泛函分析課堂的教學(xué)構(gòu)建，對(duì)泛函分析的教學(xué)具有重要的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：泛函分析;課堂教學(xué);本科生

泛函分析課程是高等院校數(shù)學(xué)本科專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，在數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的教學(xué)中具有承上啟下的作用。本課程主要任務(wù)是了解和掌握線(xiàn)性空間、線(xiàn)性算子以及線(xiàn)性算子空間、線(xiàn)性算子譜分析中的基本概念和基本理論。既以已學(xué)過(guò)的許多數(shù)學(xué)課程（如數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，解析幾何，實(shí)變函數(shù)等）為基礎(chǔ)，是這些課程的高度綜合，又為近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)課程，同時(shí)在物理學(xué)、信息科學(xué)、工程技術(shù)乃至經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力和創(chuàng)新能力的必備課程。通過(guò)本課程學(xué)習(xí)，利于增強(qiáng)學(xué)生的理論自信、文化自信與創(chuàng)新思維，助于學(xué)生樹(shù)立正確的人生觀、世界觀與價(jià)值觀。

通過(guò)對(duì)本課程的學(xué)習(xí)，我們希望學(xué)生能達(dá)到以下四個(gè)課程教學(xué)目標(biāo)：（1）能掌握泛函分析的基本概念和基本理論，能從中汲取現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論、思想和方法，開(kāi)闊視野，加深對(duì)分析類(lèi)課程及中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的理解。（2）透過(guò)分析問(wèn)題的具體內(nèi)容洞察其內(nèi)在的代數(shù)，幾何（拓?fù)洌?shí)質(zhì)的思想方法，了解泛函分析理論與數(shù)學(xué)的其它分支的密切聯(lián)系和廣泛的應(yīng)用，為今后學(xué)習(xí)其它理論打下較好的基礎(chǔ)。（3）能運(yùn)用泛函分析中的證明和分析方法，培養(yǎng)學(xué)生由淺入深逐步演繹的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)表達(dá)以及邏輯推理能力。（4）能通過(guò)泛函分析的學(xué)習(xí)和實(shí)踐，培養(yǎng)創(chuàng)新思維和數(shù)學(xué)修養(yǎng)，助力復(fù)合型、創(chuàng)新型和應(yīng)用型人才的培養(yǎng)。我們希望在透視泛函分析課堂教學(xué)現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，以學(xué)生心智發(fā)展和培養(yǎng)復(fù)合型人才為課堂教學(xué)目標(biāo)，從以下幾點(diǎn)分析解決問(wèn)題。

一、充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，尊重學(xué)生的主體地位

在泛函分析的教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生初學(xué)時(shí)都會(huì)覺(jué)得這是一門(mén)新的沒(méi)有接觸過(guò)的數(shù)學(xué)，在預(yù)習(xí)的時(shí)候，往往看不太懂，或者就算看懂了，也只是看個(gè)大概，不知道更深的數(shù)學(xué)含義。

在這個(gè)時(shí)候，我們做老師的，就需要培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，可以給他們一些問(wèn)題，讓他們?nèi)ゲ橘Y料，翻閱多種泛函分析的課本，仔細(xì)查考和深究泛函分析中的定義，通過(guò)定義和定義的對(duì)比，看出它們的區(qū)別來(lái)。例如，在學(xué)習(xí)緊集、列緊集、自列緊集的定義時(shí)，就需要通過(guò)對(duì)定義的比較來(lái)具體看出它們各自的含義和區(qū)別，另外，我們也可以指導(dǎo)學(xué)生去找一些具體的例子來(lái)，通過(guò)例子來(lái)理解定義和它們的不同之處。老師在講授的時(shí)候，一定要留下一些時(shí)間，讓學(xué)生來(lái)參與，實(shí)踐出真知，只有通過(guò)自己的練習(xí)，才能掌握書(shū)本的知識(shí)。遇到簡(jiǎn)單的部分，我們也可以讓學(xué)生到黑板上來(lái)講一講，加深他們的印象。只有自己能給別人講清楚時(shí)，才會(huì)把這些知識(shí)弄懂。另外，也需要布置一些課后作業(yè)，通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)，加深對(duì)課本知識(shí)的理解和掌握。

二、通過(guò)定義和定理，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維鍛煉，提高自學(xué)能力

泛函分析的講課過(guò)程中，大部分是定義和定理的證明，主要是理論的推理過(guò)程，計(jì)算不太多。在講定理的過(guò)程中，我們需要講清楚整個(gè)證明的過(guò)程，先把定理的邏輯推理弄清楚了，然后我們帶領(lǐng)學(xué)生回顧整個(gè)證明過(guò)程，看一看證明時(shí)候用到了什么方法，為什么會(huì)用這種方法，有沒(méi)有新的技巧我們可以學(xué)習(xí)，要知其然，并知其所以然。這樣，通過(guò)定理的證明，我們來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，邏輯推導(dǎo)能力，長(zhǎng)期下去，學(xué)生的自學(xué)能力就能夠有很大的提高。另外，在講授的過(guò)程中，我們盡可能化繁為簡(jiǎn)，深入淺出，把深?yuàn)W的定理用淺顯的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)明，這樣，適當(dāng)增進(jìn)趣味性，學(xué)生們會(huì)容易接受，覺(jué)得這門(mén)課不是這么難，就愿意學(xué)下去了。

教好泛函分析不是一件容易的事情，需要每教師有較深的數(shù)學(xué)理論水平，也需要教師加強(qiáng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)術(shù)水平，并且需要教師一邊科研一邊教學(xué)，把科研的心得和體會(huì)跟學(xué)生來(lái)交流。也需要教師用心設(shè)計(jì)每一堂課，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生愛(ài)上泛函分析，熱愛(ài)數(shù)學(xué)，提高他們的數(shù)學(xué)思維和邏輯能力，也能夠使他們將來(lái)走上數(shù)學(xué)的教學(xué)和科研之路，為我們國(guó)家培養(yǎng)更多的優(yōu)秀人才。

參考文獻(xiàn)：

[1]張恭慶、林源渠，《泛函分析講義》，北京大學(xué)出版社，2014。

[2]夏道行、吳卓人、嚴(yán)紹宗、舒五昌，《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》，高等教育出版社，1978。

[3]鄭維行，王聲望，《實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要》下冊(cè)，高等教育出版社，1992（第二版），2005。

[4]胡適耕，《泛函分析》，高等教育出版社，2004。

[5]劉炳初，《泛函分析》，科學(xué)出版社，2015。

[6]曹廣福、嚴(yán)從荃，《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析（下冊(cè)）》（第三版），高等教育出版社出版，2013。

作者簡(jiǎn)介：靖楊萍（1980-），女，講師，博士，研究方向：高等教育研究，數(shù)學(xué)理論。

基金項(xiàng)目：

（1）杭州電子科技大學(xué)圣光機(jī)聯(lián)合學(xué)院2020年度教育教學(xué)改革項(xiàng)目SGJ2020JG014;

（2）浙江省教育廳項(xiàng)目Y202147345;

（3）浙江省教育科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目2021SCG013;

（4）浙江省高校實(shí)驗(yàn)室工作研究項(xiàng)目YB202102。