分層半空間表面非線性瑞利波的激發?

賈 璐 閻守國 張碧星 黃 娟

(1 中國科學院聲學研究所 聲場聲信息國家重點實驗室 北京 100190)

(2 中國科學院大學 北京 100049)

0 引言

分層結構由于其具有高強度、高剛度等優點被廣泛應用于各類實際的工程領域。但是分層結構的近表面容易率先出現材料性能退化和微裂紋等損傷，這可能導致構件嚴重的損壞，甚至造成災難性事故。因此，研究一種無損評估(Non-destructive examination, NDE)方法以盡早發現缺陷對于確保分層結構的安全性和完整性非常重要。相比于線性超聲波檢測方法，固體結構中高階彈性常數對材料性能的變化更加敏感，高階彈性常數的改變將導致聲波中高次諧波發生變化，因此可以通過對高次諧波的測量反映材料的性能。Landau 等[1]建立的固體中非線性聲波理論為非線性超聲檢測技術的研究奠定理論基礎。

非線性聲學根據高次諧波的來源可分為經典非線性聲學和接觸非線性聲學，其中接觸非線性主要指結構中接觸類微損傷與聲波相互作用產生的非線性特征，國內的劉曉宙等[2?5]對其做了大量研究。另一類經典非線性問題則與材料晶格的非簡諧效應有關，本文討論的問題是基于經典非線性聲學理論。Cantrel 等[6]由離散晶格模型建立各向同性介質中的非線性彈性波方程，通過攝動法對一維非線性縱波進行求解，得到諧波幅值與非線性系數的關系，并展開相關實驗研究。張世功等[7]利用有限元仿真和實驗研究分析一維非線性聲波傳播過程，提出具有一定物理意義的二次諧波隨傳播距離變化的數學關系。稅國雙等[8]運用非線性縱波對列車外圓彈簧的疲勞損傷進行實驗檢測，初步實現非線性超聲對特殊結構的檢測。錢祖文[9]推導了彈性介質中二階勢函數的波動方程，并研究各向同性介質中縱波和橫波非線性作用。在非線性瑞利波的研究方面，Zaboloskaya 等[10?11]基于哈密頓理論公式對各向同性固體介質表面傳播的非線性瑞利波進行理論研究，并通過數值方法驗證。Herrmann等[12]基于聲表面波的縱波分量推導出瑞利波非線性系數，并且提出一種測量金屬模型中瑞利波二次諧波的方法。然而這些體波和非頻域表面波理論部分大多近似為一維非線性縱波，并且局限于均勻單一結構中。近年來，頻散導波由于其能量大、衰減小等優勢，引起了學者廣泛研究。Lima 等[13]采用微擾法和互易定理探究板中Lamb波二次諧波產生條件和傳播規律；鄧明晰等[14?16]分別通過界面非線性聲波發射法和導波模式展開法對平面固體結構中導波的非線性問題進行研究；Liu 等[17]提出了產生具有較強累積效應二次諧波的基波的選擇標準；Xiang 等[18]對Lamb 波在復合金屬材料中傳播時產生的二次諧波問題進行了相關的理論和試驗研究。

當分層結構的總厚度遠大于檢測聲波波長時，認為在結構表面傳播的是瑞利波，這種分層結構中的瑞利波區別于經典瑞利波，具有頻散和多模的特性。通過對瑞利波的頻散特性進行反演可以獲得介質信息，瑞利波的這一特性已經在地質工程和無損檢測中得到廣泛應用，但對于非線性的頻散瑞利波的研究，由其激發和傳播機制的復雜性，在以往的研究中很少涉及。

本文針對均勻分層半空間結構中瑞利波二次諧波的激發和傳播規律進行研究。采用二階微擾近似法和模態分解得到結構中二次諧波的位移解析式，根據瑞利波頻散曲線得到基波與二倍頻波相速度相等的匹配點，針對不同分層結構中的匹配模式的二次諧波傳播特性進行理論分析和數值計算，為實際檢測中選擇合適的聲源頻率和瑞利波模式提供理論依據。

1 理論基礎

1.1 非線性波動方程

建立二維直角坐標系Oxz，各向同性N層半空間結構分布在z≥0范圍內，z <0為真空，如圖1所示，z= 0 表示第一層介質的上表面，層與層之間滿足應力和位移連續的邊界條件。自由表面條件下的非線性波動方程和邊界條件分別為[1]

圖1 分層半空間示意圖Fig.1 The draft of a layered half-space

其中，u表示位移矢量，nz是z方向上的單位向量，ρ為無形變時固體的密度，λ和μ表示拉梅系數，A、B和C代表landau 形式的三階彈性系數，PL為第一階Piola-Kirchhoff應力張量的線性項，PNL為第一階Piola-Kirchhoff應力張量的非線性項，F是第一階Piola-Kirchhoff應力張量非線性項的散度，它們分別表示為

其中，

腳標i、j、k、l、m均取1、2、3 且滿足愛因斯坦求和約定。

1.2 非線性方程的求解

在弱非線性條件下，利用微擾法，將質點位移矢量u(x,z,t)近似為

其中，u(0)(x,z,t)和u(1)(x,z,t)分別對應聲場中的基波和二次諧波，并且二者滿足如下關系：

將(4)式代入式(1)后可得以下線性方程：

其中，F(u(0))表示在固體非線性條件下由基波位移產生的驅動力。

由式(6a)結構中頻率為ω的第l階導波模式位移可寫為如下形式：

其中k=ω/cl為波數，cl表示第l階導波模式的傳播速度，后文中u(l0)=u(l0)(z)。

根據Auld 理論[19]，將式(7a)中二次諧波聲場表示為角頻率為2ω時導波模式的線性疊加：

其中，(z)表示線性條件中頻率2ω處的第m階導波模式位移在z方向的分布，其定義與式(8)中的(z)相同，體現的是某一特定結構下線性導波模式的固有特性，Am(x)是微擾條件下由基波振動產生的二次諧波模式的振幅，并且其值與傳播距離x有關。根據互易定理，第m階導波模式對應的Am可表示為如下形式[19]：

其中，

其中，是頻率為2ω第m階導波模式的質點速度，zj+和zj?表示第j層介質的上表面和下表面，nx為x方向上的單位向量，?表示取共軛，Pmm是導波模式沿x正方向的平均功率流(沿y方向取單位長度)，和分別為表面牽引力和體積力所提供的面源和體源。值得注意的是，在層狀半間結構中，最后一層介質為無限大的半空間結構，此時式(11a)～(11c)的積分下限為負無窮大，與板中導波的展開形式不同。

根據式(10)可得當導波模式滿足如下條件時，將產生隨傳播距離具有積累效應的二次諧波：(1)基頻波和某一模式二倍頻波相速度匹配，即km= 2kl；(2)基波和二倍頻波之間存在非零的能量流傳遞，即+≠0。在數值計算中和的幅值均大于等于零，因此僅討論考慮和不同時為零的情況。已有研究表明當導波模式在深度方向上具有對稱性時，存在== 0 的情況[20]，而瑞利波在分層結構中傳播時其幅值在深度方向上逐漸衰減、不具有對稱性[21]，即體驅動力和面驅動力均不為零。因此在理論上滿足相速度匹配的點，均能產生具有累積效應的二次諧波，而當km≠ 2kl時二次諧波不具備積累效應，幅度將隨傳播距離周期震蕩。需要說明的是，本文采用攝動近似法對非線性瑞利波的傳播特性進行理論分析時僅考慮了基波和二次諧波，忽略了二次諧波以上的高次諧波，得到以上結論，并未考慮實際傳播過程中二次諧波能量向更高次諧波傳遞以及聲波在介質中傳播時的衰減，后續研究中將結合實驗進行詳細討論。

由于不具備距離積累效應的二次諧波很難被觀察到，因此通常只關心相速度匹配條件下瑞利波二次諧波的特性，定義參數βm表示匹配條件(km=2kl)下，第l階基波模式產生的瑞利波二次諧波強度：

2 數值計算

本節以實際應用中使用較為廣泛的雙層半空間和含有低速夾層三層半空間結構為例，數值計算并分析二次諧波傳播規律，選擇出模型中適用于實際檢測的聲源頻率和基波模式。分層結構中的材料相關參數[10,22]如表1所示。

表1 材料參數Table 1 Parameters of materials

2.1 雙層半空間結構

建立由環氧樹脂和鋼復合的雙層半空間結構模型，第一層介質為環氧樹脂其厚度h= 0.01 m。根據瑞利波頻散方程[21]繪制該模型的頻散曲線如圖2 所示，S 系列和s系列分別表示的基頻瑞利波和二倍頻瑞利波的頻散曲線，它們的交點即為相速度匹配點。圖中計算βm時，假設基階頻散曲線上的每一點都存在匹配模式(匹配模式的速度與基階模式相等，頻率為基頻的2 倍)，根據公式(10)，此時匹配模式只能為其自身，即m=l，最終得到與基頻瑞利波頻散曲線相對應的βm，對其取對數后再除以lgβm中的最大值進行歸一化處理，并以顏色的變化在頻散曲線上表示。圖2 中相速度匹配點處的βm則反映實際匹配條件下對應基波模式能產生具有線性累積效應二次諧波分量的強度。

根據(9)式可知，伴隨基頻瑞利波傳播時所發生的二次諧波聲場可視為一系列二倍頻瑞利波疊加而成，如點P對應頻率處，豎直虛線L與二倍頻瑞利波頻散曲線存在一系列交點，這些交點對應的二倍頻瑞利波模式的疊加即表示伴隨S2 模式傳播過程中所發生的二次諧波聲場。根據理論部分的分析可知，相速度匹配的模式均能激發出具有累積效應的二次諧波，如圖2 所示該模型中P點和Q點對應的參數βm較大，因此選擇這兩點對應的頻率和基波模式進行理論計算，同時為了對比結果，同時計算βm值較小的R點對應模式產生的二次諧波分量，具體參數如表2 所示。需要說明的是，由于實際檢測中通常只獲得法向位移信號，因此本文僅對法向位移分量進行研究。

圖2 雙層半空間中瑞利波頻散曲線及參數βm 分布圖Fig.2 The dispersion curve of Rayleigh waves and distribution of βm in a two-layer half-space

表2 匹配點對應基波模式的具體參數Table 2 Parameters of fundamental modes at matching points

匹配點R、P和Q對應二次諧波分量的法向位移隨傳播距離變化關系如圖3 所示。根據數值計算結果，在任意匹配點相速度匹配模式所對應的二次諧波分量，隨傳播距離的增加而線性增長，而其余分量則沿傳播方向周期震蕩傳播。由圖3(c)可知，盡管匹配點Q對應的參數βm最大，但同時該模式產生的周期震蕩二次諧波分量的幅值也較大，在一定傳播范圍內對二次諧波的影響無法忽略，因此在匹配點Q對應的基波第S4 階模式無法產生具有明顯線性增長的二次諧波，并且高頻信號將激發多個導波模式，使得聲波在結構中傳播更為復雜，不利于聲波信號的分析。反之在匹配點R、P中，各自匹配模式所對應的二次諧波分量不僅隨傳播距離x的增加而線性增長，而且其幅值遠大于其他二次諧波分量的幅值，可忽略其他模式，此時伴隨基波第S1 階和第S2 階模式產生的二次諧波聲場隨傳播距離呈現明顯的線性增長關系。最后通過對比兩點的二次諧波幅值，可知在該雙層半空間模型中，頻率fP處基頻波第S2 階模式所產生的二次諧波適用于后續的實驗中。

圖3 雙層半空間中匹配點對應二次諧波分量的法向位移幅值隨傳播距離變化關系圖Fig.3 The influence of propagation distance on the normal displacement of second-harmonic components at matching points in a two-layer half-space

2.2 含有低速夾層的三層半空間結構

含有低速夾層是指中間介質的橫波速度低于上下層的橫波速度，數值計算中該結構的材料從上到下依次為鋁、環氧樹脂和鋼，其中第一層介質和第二次介質厚度分別為0.03 m 和0.01 m，材料參數如表1所示。從頻散曲線圖4可知，該模型中同樣存在多個相速度匹配的頻率點，根據參數βm數值，選擇R點和P點對應頻率和基波模式計算相應二次諧波分量如圖5 所示。頻率fR、fP中與基頻波相速度匹配的二次諧波分量均隨傳播距離線性增長，但對比圖5(a)和圖5(b)可知在相同傳播距離內匹配點P中線性增長的二次諧波分量幅值大，并且非匹配模型對二次諧波聲場的影響在較短傳播距離內便可忽略不計，因此可以激勵聲源頻率為fR的第S2階基波模式對此結構進行非線性超聲檢測工作。

圖4 含低速夾層三層半空間中瑞利波頻散曲線及參數βm 分布圖Fig.4 The dispersion curve of Rayleigh waves and distribution of βm in a three-layer half-space with low-velocity layer

圖5 含低速夾層的三層半空間中匹配點對應二次諧波分量的法向位移幅值隨傳播距離變化關系圖Fig.5 The influence of propagation distance on the normal displacement of second-harmonic components at matching points in a three-layer halfspace with low-velocity layer

3 結論

對于瑞利波傳播過程中的非線性二次諧波問題，首先由攝動理論得到零階和一階位移即基波和二次諧波分別滿足的運動方程和邊界條件，再將一階位移表示為一系列二倍頻瑞利波模式的疊加，最后根據互易定理得到一階位移模式振幅表達式。理論分析和數值計算結果表明，與基波相速度匹配的二倍頻瑞利波模式所對應的二次諧波分量在傳播方向上具有累積效應，隨傳播距離線性增長；針對分層半空間結構中基頻瑞利波存在多個相速度匹配的模式，甚至某一基頻波模式具有多個相速度匹配點問題，通過計算參數βm對激勵聲源頻率和瑞利波模式進行選擇和優化，為后續實際檢測工作提供理論指導。