例談函數(shù)思想在數(shù)學(xué)解題中的幾種應(yīng)用

□ 江蘇省邳州市新城中學(xué) 李 飛

高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)幾乎貫穿于整個(gè)教學(xué)流程，且形式靈活、思維模式靈活。在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中，不少學(xué)生或因?yàn)樗季S固化，或因?yàn)闆](méi)有掌握知識(shí)，或因?yàn)橹R(shí)理解片面，導(dǎo)致學(xué)了不會(huì)用，或者只會(huì)用于單項(xiàng)訓(xùn)練，使得函數(shù)學(xué)習(xí)和使用流于形式，達(dá)不到融會(huì)貫通、靈活使用的目的。針對(duì)該情況，以函數(shù)思想為基礎(chǔ)，簡(jiǎn)單列舉函數(shù)思想在實(shí)際解題中的幾種應(yīng)用，引發(fā)學(xué)生實(shí)際思考，在實(shí)際做題過(guò)程中深入理解，讓學(xué)生在實(shí)際做題過(guò)程中真正領(lǐng)會(huì)“悟”的過(guò)程，通過(guò)方程進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，分類討論不同規(guī)則，記憶數(shù)列運(yùn)算法則，通過(guò)數(shù)形結(jié)合運(yùn)算確定范圍，對(duì)抽象問(wèn)題進(jìn)行賦值運(yùn)算，幫助學(xué)生掌握解題思維，在實(shí)際做題過(guò)程中，能進(jìn)行針對(duì)性地輔助練習(xí)。

一、聯(lián)通方程，科學(xué)轉(zhuǎn)化

如果函數(shù)貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)體系，那么方程就是函數(shù)的具體表現(xiàn)形式。在實(shí)際解題過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到方程和不等式之間存在轉(zhuǎn)化關(guān)系，不等式之間依據(jù)某些給定的條件存在轉(zhuǎn)化的情形，此時(shí)在規(guī)定定義域范圍內(nèi)，對(duì)方程或者不等式先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再求解，這時(shí)不等式會(huì)通過(guò)已知的條件進(jìn)行聯(lián)立，構(gòu)成了不等式組，解不等式組的過(guò)程就是求解最終結(jié)果的過(guò)程。

例如f（x）在其定義域（0，+∞）為減函數(shù)，如果存在a和b，且a，b∈（0，+∞），都存在式f（a/b）=f（a）-f（b）成立，f（4）=1，求解不等式 f（x+6）-f（1/x）＞2的解集。

此時(shí)不等式f（x+6）-f（1/x）＞2可以化簡(jiǎn)為

繼續(xù)計(jì)算

又由于f（x）在其定義域（0，+∞）為減函數(shù)

聯(lián)立解方程式的結(jié)果為0＜x＜2

故不等式的解集為（0,2）

所以在函數(shù)中，求解不等式時(shí)可以將其默認(rèn)為求解方程，注意不等式符號(hào)是否變化。通過(guò)將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，或者將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，形成綜合求解計(jì)劃，計(jì)算出結(jié)果或者范圍。而在本題中，方程計(jì)算的過(guò)程是為了簡(jiǎn)化參數(shù)的計(jì)算，不等式計(jì)算的過(guò)程，是為了求解最終參數(shù)的范圍。二者聯(lián)合，才能計(jì)算出最終結(jié)果。要求學(xué)生利用函數(shù)思想，學(xué)習(xí)交叉方程、不等式以及函數(shù)的知識(shí)，才能在實(shí)際解題過(guò)程中靈活應(yīng)用，提高解題效率。

二、指向角域，分類討論

高中數(shù)學(xué)中存在一種習(xí)題模式，題目中是函數(shù)計(jì)算式，但在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)不僅需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算變換，同時(shí)要對(duì)其中的參數(shù)進(jìn)行重新設(shè)定。在實(shí)際設(shè)定過(guò)程中，為了計(jì)算方便的同時(shí)不出現(xiàn)失誤，結(jié)合參數(shù)的實(shí)際定義域，限定在一定范圍內(nèi)，比如轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，再進(jìn)行后續(xù)分析，這種題目具有一定的隱藏性，需要學(xué)生提高警惕。

先對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)

原式 =cos（kπ+π/4+x）+cos（kπ-π/4-x）（6）

（1）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，即k=2n+1時(shí)

式（6）=cos[（2n+1）π+π/4+x]+cos[（2n+1）π-π/4-x]

（2）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，即k=2n時(shí)

所以當(dāng)對(duì)k進(jìn)行不同定義時(shí)，出現(xiàn)了兩種截然不同的結(jié)果。

在三角函數(shù)的計(jì)算過(guò)程中，因?yàn)槿呛瘮?shù)本身具有的周期性質(zhì)，需要結(jié)合已知條件，通過(guò)周期值結(jié)果相等進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算。三角函數(shù)具有周期性的同時(shí)還具有奇偶性，又可以借助奇偶性進(jìn)行進(jìn)一步化簡(jiǎn)計(jì)算。周期、奇偶條件下的分類討論，構(gòu)成了三角函數(shù)解題的核心方法。分類討論作為數(shù)學(xué)函數(shù)思想的重要邏輯方法，可以訓(xùn)練學(xué)生思維的全面性和創(chuàng)新性。所以在實(shí)際解題過(guò)程中，通過(guò)相近例題的培訓(xùn)，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

三、數(shù)列運(yùn)算，求解最值

相對(duì)函數(shù)的其他理論內(nèi)容及表現(xiàn)規(guī)則，數(shù)列的規(guī)律性是最強(qiáng)烈也是最明顯的。使用數(shù)列解題的前提要求是理解并記憶數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，并且牢記數(shù)列的單調(diào)性。高中數(shù)列只存在兩種形式，等差數(shù)列和等比數(shù)列，其他形式的數(shù)列均是在該基礎(chǔ)上的延伸。數(shù)列的變化要求學(xué)生具有良好的應(yīng)變能力，學(xué)生有應(yīng)變能力的前提是打好基礎(chǔ)，理解等差數(shù)列并不意味著數(shù)字一個(gè)比一個(gè)大，等比數(shù)列也不意味著數(shù)字呈幾何形式上漲，只有打好基礎(chǔ)才能在眾多繁雜數(shù)據(jù)中找到之最。

例如等差數(shù)列{an}，已知a1=-25，前9項(xiàng)的和S9等于前17項(xiàng)的和S17，問(wèn)：這個(gè)數(shù)列前多少項(xiàng)的和最小？求出該值。

該題為基本的等差數(shù)列，一般有兩種計(jì)算方式，一種方法是列出通項(xiàng)公式或者求和公式，利用和相等計(jì)算出公式中的公差d，再使用求和公式計(jì)算最小值。另一種方法是不直接計(jì)算公差d，也不列相應(yīng)的公式，僅通過(guò)S9=S17進(jìn)行理論推導(dǎo)。

方法一：由a1=-25，S9=S17，計(jì)算出公差d=2

所以，通項(xiàng)公式：

意味著n在一定的取值范圍內(nèi)，an都是負(fù)數(shù)，當(dāng)an取到負(fù)數(shù)的臨界點(diǎn)時(shí)，其前n項(xiàng)的和最小。

如果令an≤0，則計(jì)算出n的范圍為

所以n=13和n=14是數(shù)列臨界點(diǎn)，n=13，a13是數(shù)列的最后一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)，a14是數(shù)列的第一項(xiàng)正數(shù)，所以該數(shù)列前13項(xiàng)的和最小，利用求和公式，可計(jì)算出S13=-169。

方法二：因?yàn)镾9=S17

所以

將式（4）帶入式（3）中，可得

a13+a14=0

因?yàn)閍1=-25＜0，所以a13＜0，a14大于0

所以S13最小，再計(jì)算其和。

總結(jié)1）當(dāng)公差d＜0時(shí)，前n項(xiàng)和有最大值；反之，當(dāng)公差d＞0時(shí)，前n項(xiàng)和有最小值；2）求解前n項(xiàng)和的最值時(shí)，可以直接求，也可以利用數(shù)列的單調(diào)性求。

當(dāng)然，數(shù)列的最值問(wèn)題求解方法不僅限于此，有的數(shù)列前n項(xiàng)和構(gòu)成了二次函數(shù)，觀察二次函數(shù)開(kāi)口方向，利用二次函數(shù)特點(diǎn)求解，有的需要通過(guò)建立不等式與左右鄰項(xiàng)比較求解。不管哪種方法，實(shí)際都是函數(shù)思想的具體應(yīng)用。在函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用數(shù)列本身的計(jì)算邏輯規(guī)則，才能快速直達(dá)解題重點(diǎn)，解出相應(yīng)題目。

四、解析幾何，確定范圍

如果說(shuō)數(shù)列是簡(jiǎn)單的定點(diǎn)求解，那么解析結(jié)合就是數(shù)列基礎(chǔ)上的范圍搜尋。相對(duì)其他問(wèn)題來(lái)說(shuō)，這類問(wèn)題具有很大的難度，不僅考查學(xué)生對(duì)每個(gè)點(diǎn)知識(shí)的掌握程度，同時(shí)考查知識(shí)的系統(tǒng)性和連續(xù)性，以及對(duì)知識(shí)應(yīng)用的靈活性。要求學(xué)生在實(shí)際解題過(guò)程中，根據(jù)題意，首先尋找對(duì)應(yīng)的知識(shí)體系，如橢圓焦點(diǎn)范圍，或者雙曲線范圍等等，通過(guò)幾何體本身固有性質(zhì)進(jìn)行函數(shù)列示計(jì)算。

例如橢圓3x2+y2=λ，已知A、B是橢圓上兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為N（1,3），作線段AB的垂直平分線，與橢圓分別交于C和D。

（1）試確定λ的范圍；

（2）求直線AB的方程。

通用方法為，A和B都是橢圓上的點(diǎn)，所以λ必然在橢圓內(nèi)部，那么可以將λ的坐標(biāo)點(diǎn)代入橢圓方程式進(jìn)行不等式計(jì)算，從而計(jì)算范圍。

所以λ范圍為（12，+∞）

假設(shè) A和 B的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2）因?yàn)锳和B是橢圓上兩點(diǎn)，

（x1-x2）（x1+x2）+（y1-y2）（y1+y2）=0 要 求 學(xué)生觀察式子，依據(jù)題意，x1≠x2，而AB中點(diǎn)N坐標(biāo)已知，意味著（x1+x2）和（y1+y2）已知，剩下的就是直線AB的斜率，

點(diǎn)N在直線AB上，即可求出直線方程。

所以，幾何試題中某個(gè)點(diǎn)范圍的確定，不再是單純的函數(shù)計(jì)算，而是利用函數(shù)計(jì)算定點(diǎn)的范圍。函數(shù)作為一種工具，在幾何解題過(guò)程中起到連接作用，而其解題的本質(zhì)，依然回歸相應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)。要求學(xué)生在實(shí)際習(xí)題練習(xí)過(guò)程中，不要為了函數(shù)解題而去解題，幾何內(nèi)涵，才是靈活應(yīng)用函數(shù)的根本。

五、抽象問(wèn)題，遞推賦值

在實(shí)際數(shù)學(xué)解題中，會(huì)遇到一些函數(shù)題目，但是沒(méi)有具體的式子，即只能推理，不能直接計(jì)算。很多學(xué)生遇到這類題目直接表現(xiàn)出害怕沒(méi)有思路，其實(shí)這類題目相對(duì)其他題目更容易解答。這類題目一般圍繞的重點(diǎn)是方程本身定義域、值域、奇偶性、對(duì)稱性，利用函數(shù)的這些屬性進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算，其核心思想就是將抽象的函數(shù)具體化，從而快速解題。

假設(shè)有一個(gè)函數(shù)f（x），定義域?yàn)镽，偶函數(shù)。圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱。對(duì)于定義域[0,1/2]內(nèi)的任意 x1和 x2，都使得方程 f（x1+x2）=f（x1）×f（x2）成立。

（1）如果存在 f（1）=2 成立，求 f（1/2），f（1/4）；

（2）試證明f（x）是周期函數(shù)。

該題是典型的抽象問(wèn)題，計(jì)算的函數(shù)f（x）只有定義域和連接等式，沒(méi)有具體的實(shí)際式子，所以要求學(xué)生跳出具體函數(shù)式的思維枷鎖，將f（x）作為一個(gè)具體式子，直接計(jì)算。

（1）當(dāng)定義域?yàn)?[0,1/2] 時(shí)，f（x1+x2）=f（x1）×f（x2）成立

意味著對(duì)于定義域的所有x，均存在f（x）為非負(fù)數(shù)

通過(guò)函數(shù)值的判定直接求得結(jié)果。

（2）該問(wèn)中要求證明f（x）的周期函數(shù)，可要求學(xué)生先回憶函數(shù)的周期性質(zhì)，假設(shè)f（x）的周期為T，則 f（x）=f（x+T）。

回到原題，y=f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱，所以衍生出新的等式，為 f（x）= f（2-x）。

在實(shí)數(shù)定義域內(nèi)，f（x）是偶函數(shù)，意味著f（x）=f（-x）

所以 f（-x）= f（2-x）=f（-x+2）

即可證明f（x）為周期函數(shù)，且其周期為2。

在實(shí)際解題過(guò)程中，抽象函數(shù)沒(méi)有具體的計(jì)算式，所以會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得陌生而無(wú)從下手。然而從實(shí)際解題的方法和思維模式考慮，抽象函數(shù)因?yàn)闆](méi)有具體計(jì)算式，反而簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，利用函數(shù)的邏輯結(jié)構(gòu)，直接進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算。

在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)是一個(gè)知識(shí)龐大的體系，函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)最重要、最基本的思想之一。上文列舉了幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)應(yīng)用的題目，從題目中可以知道，每個(gè)題目并沒(méi)有用到函數(shù)的所有知識(shí)，而每個(gè)題目都是對(duì)函數(shù)某個(gè)或者某些知識(shí)點(diǎn)的升華，所以要求學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中，掌握基礎(chǔ)知識(shí)，在習(xí)題演練過(guò)程中，學(xué)會(huì)全面分析題目，再借助題目中提到的知識(shí)習(xí)題進(jìn)行綜合列式計(jì)算，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)方法，才能真正理解數(shù)學(xué)。