非線性能量阱系統吸引子遷移控制

柴 凱，樓京俊，李 爽，豐少偉

(海軍工程大學艦船與海洋學院，武漢，430033)

潛艇機械設備周期性運轉導致其水下輻射噪聲中存在較強低頻線譜成分，其所攜帶的頻率信息是潛艇水聲隱身性能和戰技術性能的主要危害[1]。線性動力吸振器由于吸振頻率固定且工作帶寬極窄，當激勵特性或工況變化時難以發揮理想的吸振效果。非線性能量阱是一種本質非線性剛度吸振器，具有吸振效率高、工作頻帶寬和附加質量小等優點，若將非線性能量阱應用于潛艇機械設備低頻線譜控制，對于提升其聲隱身性能具有重要意義[2]。

然而，非線性能量阱系統在某些頻率區間具有多個吸引子，而吸引子共存是非線性能量阱系統產生大幅值孤枝響應的內在原因。Gendelman等[3]首次揭示了該現象，指出在偏離中心頻率的區域，非線性能量阱系統易出現孤枝響應與主共振響應共存，且這些共存吸引子拓撲性質可以是周期、準周期甚至是混沌的。對于干擾源眾多的潛艇機械設備振動系統而言，初始條件具有很大的不確定性，意味著系統極有可能從小振幅運動狀態躍遷至大振幅運動狀態，從而放大機械設備振動幅值，導致非線性能量阱吸振效率降低。因此孤枝響應或多吸引子共存不利于吸振系統設計，為了消除或抑制孤枝響應，Paker等[4]設計了一種半主動控制型可變長度單擺結構調諧質量阻尼器，Liu等[5]通過調整三彈簧型非線性能量阱初始安裝角調節系統參數，Zang等[6]通過改變杠桿型非線性能量阱結構支點位置調整系統參數。但上述方法均是在原系統基礎上引入附加子系統或調節機構，導致系統結構較為復雜，難以在潛艇狹小空間內使用。

與上述學者思路不同，本文依據不同吸引子及其所屬吸引域之間的確定性關系，通過引入一定的遷移控制算法[7]，當機械設備響應處于大幅值吸引子時快速準確遷移至小幅值吸引子，而原本處于小幅值吸引子時則盡量保持，從而提升非線性能量阱工作穩定性與工程應用價值。

1 全局性態研究

1.1 動力學建模

如圖1所示，建立垂向振動機械設備耦合非線性能量阱的一般吸振系統動力學模型。

圖中，主系統由m1、k1、λ1組成，其中m1為待減振設備，通過線性彈簧k1、阻尼λ1與剛性基座連接；未接地非線性能量阱安裝于機械設備上層并與機械設備耦合連接，其組成元素包括質量m2、剛度k2和阻尼λ2。fb=Fcos (ΩT)為外界激勵力，機械設備與非線性能量阱產生的垂向位移分別為x1、x2。非線性能量阱滿足立方剛度特性，故其恢復力為fNES=k2(x2-x1)3。對應的系統運動學方程為：

(1)

圖1 非線性能量阱系統的動力學模型

引入長度量綱l0=m1g/k1，l0對應線性彈簧k1在質量m1作用下的靜態形變量，并作無量綱變換：

可得系統無量綱運動學方程：

(2)

1.2 全局性態分析

固定系統參數ξ1=0.1，ξ2=0.01，β=0.3，ε=0.6，ω=1.6，選取控制參數0≤f≤30，步長Δf=0.01，設置數值積分時長為1 000個周期，步長為0.01個周期，一個周期時長為2π/ω，并以每組參數下系統穩定后500個周期內的數據點構造Poincaré映射點集。采用簡單分岔跟蹤延拓算法分析初始條件對數值積分的影響，即固定首次積分初始條件為(0,0,0,0)，將每個fk下系統狀態向量積分終值作為下一個參數點fk+1=fk+Δf的積分初值，分別進行向前延拓與向后延拓逐點計算[8]。

圖2為機械設備響應隨激勵力幅值變化的全局性態圖，圖3為對應的最大Lyapunov指數圖譜。

由圖可知，無論是向前延拓或向后延拓，激勵力幅值在大參數范圍內變化時系統均呈現非常豐富的動力學特性，周期運動(周期1、周期2、周期3等)、準周期以及混沌運動均存在于系統解枝中。在多個控制參數區域內出現了多穩定吸引子共存現象，具體包括：2個周期1吸引子共存，2個周期2吸引子共存，2個周期3吸引子共存，1個周期3吸引子與混沌吸引子共存，1個周期2吸引子與混沌吸引子共存。

圖2 機械設備響應隨激勵力幅值變化的全局性態圖

圖3 最大Lyapunov指數圖譜

多穩定吸引子共存是由于非線性系統多值性本質決定的，每個吸引子有其對應吸引域，吸引域代表匯聚到同一吸引子的所有初始條件集合，而初始條件決定了系統響應的發展過程和最終性態。因此，進一步確定吸引子數目、大小以及對應的吸引域對于刻畫系統振動響應完整樣貌異常重要。

2 共存吸引子

2.1 并行多自由度胞映射法

多自由度胞映射法是在簡單胞映射基礎上引入了分析平面的概念，通過選取相空間中所關心的二維平面來近似展現系統的全局性態，在高維非線性系統中得到了廣泛應用[9]。本文通過引入并行計算擴展控制方程對多自由度胞映射法進行改進，提出一種并行多自由度胞映射法(parallelized multi-degrees-of-freedom cell mapping，PMDCM)。

考察如下任意n維非自治動力學系統：

(3)

胞映射法的基本思想是通過引入胞的概念將連續相空間離散化，從而將胞狀態用胞化空間內一系列有間隔整數唯一標識。記元胞z=[z1,z2,…,zn]。元胞的數值稱為胞中心點，在每個維度上引入常數尺度參數hi，則胞中心點坐標為ci=hizi，每一個元胞邊界所包含的原相空間狀態向量為：

(zi-1/2)hi≤xi≤(zi+1/2)hi

(4)

若hi滿足精度，則胞中心點的最終性態代表了落于此胞范圍所有狀態向量的最終性態。引入二維分析平面概念，對于相空間中所感興趣的區域Ω′，有：

i=1,2∧xi=0,i=3,4,…,n}

(5)

可用二維胞化空間重構，元胞子集S滿足：

i=1,2∧zi=0,i=3,4,…,n}

(6)

(7)

MDCM法在具體實施過程中，將子集S中的原胞分為原始胞、正在處理胞、已處理胞和再次被處理的已處理胞4類，其實質是從所選分析平面中某一胞中心點出發，在胞化空間中不斷向前映射直至映射軌跡再次經過已處理胞時映射過程終止，并依次從新的胞中心點重新開始映射，直至所有元胞計算完畢。每條完整映射序列可記為：

z→ζ(z)→ζ2(z)→…→ζm(z)

(8)

式中：m為映射步數。通過逐一分析每條映射序列的演化過程，獲取每個元胞的周期信息，最終可得到整個胞化空間的全部吸引子和對應吸引域。PMDCM法則是對MDCM法的胞映射過程和胞處理過程進行改進，現以二維分析平面中3×3大小的子集S為例，通過示意圖來直觀描述兩種計算方法的區別，如圖4所示。

圖4 MDCM法與PMDCM法計算過程示意圖

在圖4中，PMDCM法并行計算數Ns=3，元胞[-1,-1]、[0,-1]、[1,-1]為已處理胞，分別對應周期數組g1、g2和g3，虛線表示剩余未處理胞映射過程并用相應字母標識，相同字母不同下標代表同時進行的映射步驟，如a1、a2、a3等，而圖中省略的字母如b、d等則代表元胞掃描判定過程。由圖可知，兩種方法計算過程存在兩點明顯區別：

一是在MDCM法中，每次只能處理一個元胞并向前持續映射，直至映射軌跡收斂于吸引子時終止，且映射過程與掃描處理過程是交替進行的；而在PMDCM法中，多條映射序列可并行向前映射，一旦當前映射軌跡經過已處理胞時映射過程隨即終止，不再向前映射，且映射過程與掃描過程是同時進行的。

二是PMDCM法可能存在兩條或兩條以上映射軌跡相互交叉的情形，因此需要增加新的胞掃描判定過程，其功能在于將交叉映射序列合并，避免元胞被重復計算。

PMDCM法包括6個關鍵步驟。

步驟1選定分析平面，建立元胞矩陣。將動力學系統連續相空間離散化為胞化空間，并在選定分析平面內得到元胞矩陣Z。

步驟2參數初始化。建立向量矩陣用于標識矩陣Zs中的空行，并將映射序列軌跡長度初始化為Ls=0，為后續填充矩陣Zs做準備。

步驟3元胞前處理及填充矩陣Zs。根據行標索引遞增順序依次從元胞矩陣Z中篩選尚未處理元胞用于填充Zs矩陣的空行。

步驟4并行數值積分計算。將填充完畢的矩陣Zs并行數值計算得到胞映射的像胞，并重新賦值給矩陣Zs。

步驟5像胞掃描及處理過程。對像胞矩陣Zs進行掃描判定。若像胞為新的未處理胞，將其添加到矩陣pc中，并形成新的周期序列。

步驟6映射序列后處理。檢查映射序列軌跡長度并識別運動狀態，當所有元胞被遍歷計算時，則可依據每個元胞的周期號組以及步數號組標識數，得到完整的吸引子以及吸引域信息。

2.2 共存吸引子及其吸引域

首先選取f=0.68，此時系統響應存在2個穩定周期1吸引子，不同吸引子相軌跡如圖5(a)所示，其中A1吸引子振幅大于A2吸引子振幅。若選取分析平面-2≤z1≤2，-2≤y1≤2，固定變量z2、y2初始條件均為0，將分析平面劃分為100×100的離散胞，設置并行計算數Ns=100，計算結果如圖5(b)所示。圖中藍色“★”為A1吸引子位置，紅色區域為對應吸引域，紅色“★”為A2吸引子位置，藍色區域為對應吸引域。由圖可知，A1吸引子吸引域所占面積為整個分析平面的86.39%，而A2吸引子吸引域只占13.61%。

圖5 f=0.68時機械設備響應共存吸引子及吸引域

其次選取f=19.5，此時系統響應存在一個穩定的周期3吸引子與一個穩定的混沌吸引子。為增加計算精度，此時將分析平面劃分為200×200的離散胞，仍設置并行計算數Ns=100，若選擇分析平面-8≤z1≤8、-15≤y1≤15，固定變量z2、y2初始條件均為0。計算結果如圖6所示，圖6(b)中紅色“★”為周期3吸引子位置，綠色區域為混沌吸引子位置，紅色與藍色區域分別對應周期3吸引子與混沌吸引子吸引域。由圖可知，系統響應以混沌運動為主，混沌吸引子吸引域所占面積為72.98%，而周期3吸引子吸引域只占27.02%，且2個吸引域交織在一起，全局性態較為復雜。

圖6 f=19.5時機械設備響應共存吸引子及吸引域

3 吸引子遷移控制

由前文分析可知，在大參數范圍內非線性能量阱系統存在多值性，不同吸引子振幅有所差異，且每個吸引子有其唯一吸引域。若將機械設備振幅最小的運動響應稱為“有益的”吸引子，隨之而來的問題是當系統受到外界擾動時，如何克服初始條件對系統響應影響，使機械設備持續穩定的工作在該有益吸引子上？下面通過遷移控制理論來解決此問題，從而提升非線性能量阱的工作穩定性。

3.1 開環加非線性閉環的遷移控制算法

本節采用開環加非線性閉環(open-plus-nonlinear-closed-loop，OPNCL)策略[11]來實現不同吸引子之間的遷移控制，將式(2)重寫為如下形式：

(9)

(10)

式中：狀態向量x=(z1,y1,z2,y2)T，F(x,t)為多項式矩陣，目標軌道函數g(t)=(g1,g2,g3,g4)T，誤差向量e(t)=(e1,e2,e3,e4)T=(z1-g1,y1-g2,z2-g3,y2-g4)T，Δ1=g1-g3，Δ2=e1-e3。對式(9)施加OPNCL控制，可得控制方程(10)，其中S(t)為開關函數，主要用于緩沖控制項所引起的劇烈反應，滿足S(t)=0(t

(11)

(12)

取常數矩陣A為具有負實部特征值的對角矩陣：

A=diag(a11,a22,a33,a44),aii<0,i=1,2,3,4

(13)

可得誤差方程dei/dt=aiiei。

因此，在非線性能量阱系統中施加OPNCL控制后，誤差‖e‖能很快收斂于0，且其傳輸域BE(g)是全局的[12]。對于任意光滑目標軌道函數，只需要g(t)連接不同吸引子的吸引域，遷移控制均能使機械設備響應從大振幅吸引子遷移至小振幅吸引子。

3.2 數值討論與分析

由2.2節分析可知，當f=0.68時，系統響應存在一個周期1運動的大振幅吸引子和一個周期1運動的小振幅吸引子。

圖7為不同吸引子的時間歷程圖，對應初始條件分別為(1,0,0,0)(紅色曲線)和(0,0,0,0)(藍色曲線)，其中A1吸引子振幅高于A2吸引子振幅。

圖7 不同初始條件下機械設備響應時間歷程圖(f=0.68)

對系統(9)施加OPNCL控制，選取矩陣A=diag(-5,-5,-5,-5)，目標軌道函數g1=g3=0.25+0.5sin 0.5t，g2=g4=0.5cos 0.5t。目標軌道在相空間位置如圖8所示，圖中紅色區域為A1吸引子吸引域，藍色區域為A2吸引子吸引域，綠色實線代表目標軌道。由圖可知，在分析平面內，所選取目標軌道均是連接兩個吸引域的一條通道。設置控制開啟時間大于300 s(系統已穩定)，當系統響應位于A1吸引子吸引域內時，開啟控制，對應S(t)=1；當系統響應遷移至目標軌道并運行至A2吸引子吸引域內時，則關閉控制，對應S(t)=0。

圖8 目標軌道在相空間中的位置(f=0.68)

在遷移控制下，系統響應相軌跡如圖9所示。圖中紅色實線代表施加控制前系統運行軌跡，黑色實線代表控制施加過程中的暫態運行軌跡，綠色實線代表系統沿目標軌道的運行軌跡，藍色實線代表關閉控制后系統運行軌跡，黑色箭頭代表控制前后系統運行軌跡隨時間變化的方向。

圖9 遷移控制下機械設備響應相軌跡(f=0.68)

圖10為控制過程中系統響應幅值隨時間變化曲線，其中t≤400 s為大幅值振動，400 s540 s為小幅值振動。由圖可知，機械設備振動響應經短暫瞬態過程后，能從大幅值運動狀態快速遷移至小幅值運動狀態，從而降低了機械設備振動幅值。

當f=19.5時，可知系統周期3吸引子(A1)與混沌吸引子(A2)共存。圖11為不同吸引子的時間歷程圖，對應初始條件分別為(-1.25,1,0,0)(紅色曲線)和(-1,1,0,0)(藍色曲線)，其中A1吸引子平均振幅高于A2吸引子平均振幅。

圖10 遷移控制下機械設備響應時間歷程圖(f=0.68)

圖11 不同初始條件下機械設備響應時間歷程圖(f=19.5)

選取矩陣A=diag(-10,-10,-10,-10)，目標軌道g1=g3=1.25sin 0.5t，g2=g4=1.25cos 0.5t。圖12為目標軌道在相空間的位置，紅色區域為周期3吸引子吸引域，藍色區域為混沌吸引子吸引域，綠色曲線為目標軌道，在分析平面內目標軌道同樣連接了兩個不同吸引域。

圖12 目標軌道在相空間中的位置(f=19.5)

圖13和圖14分別為控制過程中系統響應相軌跡和時間歷程圖。由圖可知，遷移控制方法實現了大幅值周期3吸引子至小幅值混沌吸引子的轉遷。

圖15為控制前后機械設備響應的功率譜圖。從圖中可知，機械設備處于混沌運動狀態時，線譜成分明顯減少，除特征線譜外，其余頻率段呈現連續譜特征，同時控制前后特征線譜強度從38.44 dB降低到30.61 dB。因此，在此參數下OPNCL方法不僅能降低線譜強度，還可重構線譜結構，從而實現了降低線譜強度與隱匿線譜特征的雙重目的。

圖13 遷移控制下機械設備響應相軌跡(f=19.5)

圖14 遷移控制下機械設備響應時間歷程圖(f=19.5)

圖15 遷移控制前后機械設備響應功率譜圖

4 結語

本文分析了大參數范圍內激勵力幅值對系統全局性態的影響；提出了一種改進型的并行多自由度胞映射法，對典型參數下的共存吸引子及吸引域進行了研究；利用遷移控制方法實現了不同振幅吸引子之間的躍遷。主要工作和結論總結如下：

1)非線性能量阱系統在大參數范圍內具有豐富的動力學特性，多個典型參數區間內呈現了多穩定吸引子共存現象，不同吸引子振幅有所差異，為吸引子遷移控制提供了先驗信息；

2)并行多自由度胞映射法具有同時計算和掃描處理多個元胞的能力，能較好地刻畫高維非線性系統中吸引子與吸引域之間的確定性關系，具有更高的計算效率與精度；

3)通過遷移控制方法實現了2種不同類型共存吸引子的躍遷，從而能夠使系統持續穩定運行在小振幅吸引子上，特別是當系統響應從大振幅周期吸引子遷移至小振幅混沌吸引子時，控制前后機械設備響應特征線譜強度從38.44 dB降低到30.61 dB，線譜數目也顯著減少。