計數原理及隨機變量的分布列和方差單元檢測卷（A卷）

劉毅

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共計60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。）

1.6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只能去1個場館，甲場館安排1名同學，乙場館安排2名同學，丙場館安排3名同學，則不同的安排方法共有（）。

A.120種B.90種C.60種D.30種

2.為了保障廣大人民群眾的身體健康，在新冠肺炎疫情防控期間，有關部門對轄區內15家藥店所銷售的A，B兩種型號的口罩進行了抽檢，每家藥店抽檢10包口罩（每包10只），15家藥店中抽檢的A，B型號口罩不合格數（I，II）的莖葉圖如圖1所示，則下列結論不正確的是（）。

A.估計A型號口罩的合格率小于B型號口罩的合格率

B.I組數據的眾數大于II組數據的眾數

C.I組數據的中位數大于II組數據的中位數

D.I組數據的方差大于II組數據的方差

3.北京冬奧會于2022年2月4日到2022年2月20日在北京和張家口舉行。申奧成功后，中國郵政陸續發行多款郵票，圖案包括冬奧會會徽“冬夢”、冬殘奧會會徽“飛躍”、冬奧會吉祥物“冰墩墩”、冬殘奧會吉祥物“雪容融”、多種冰上運動等。現從2枚會徽郵票、2枚吉祥物郵票、1枚冰上運動郵票共5枚郵票中任取3枚，則恰有1枚吉祥物郵票的概率為（）。

12.新冠肺炎疫情發生后，我國加緊研發新型冠狀病毒疫苗，某醫藥研究所成立疫苗研發項目，組建甲、乙兩個疫苗研發小組，且兩個小組獨立開展研發工作。已知甲小組研發成功的概率為，乙小組研發成功的概率為。該研發項目的獎金為100萬元，分配方案是：若只有某一個小組研發成功，則該小組獲得全部獎金;若兩個小組都研發成功，則平分全部獎金;若兩個小組均未研發成功，則均不獲得獎金。則以下說法錯誤的是（）。

A.該研究所疫苗研發成功的概率為

B.乙小組獲得全部獎金的概率為

C.在疫苗研發成功的情況下，由甲小組研發成功的概率為

D.甲小組獲得獎金的期望值為60萬元

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共計20分。）

13.在二項式（/2+x）°的展開式中，常數項是，系數為有理數的項的個數是。

14.植樹造林，綠化祖國。某班級義務勞動志愿者小組參加植樹活動，準備在一塊拋物線形狀地塊上的ABCDGFE七點處各種植一棵樹苗，如圖4所示，其中A，B，C分別與E，F，G關于拋物線的對稱軸對稱。現有3種樹苗，要求每種樹苗至少種植1棵，且關于拋物線的對稱軸對稱的兩點處必須種植同一種樹苗，則不同的種植方法數是。（用數字作答）

15.據某高速公路收費站統計，每年“五一”前后，每天通行車輛的數量ξ服從正態分布N（2 000，σ2），若P（ξ>2200）=a， P（1800<5<2000）=b，則的最小值為。

16.2019年下半年，新一代的無線網絡技術WiFi6發布，相比于上一代技術，WiFi6采用了OFDMA技術，并支持多個終端同時傳輸，有效提升了傳輸效率。已知小明使用了支持WiFi6的新路由器，設在某一時刻，家里有n（n≥0）個設備接入該路由器的概率為P（O），n=0，P（n），且P（n）=P（0）·（1/3），1≤n≤3，那么0，n≥4，沒有設備接入的概率P（0）=。

三、解答題（本大題共6小題，第17題10分，其他題每題12分，共計70分。解答時應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。）

17.（本小題10分）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發展理念，某城區對轄區內A，B，C三類行業共200個單位的生態環境治理成效進行了考核評估?？荚u成績達到80分及以上的單位被稱為“星級”環保單位，未達到80分的單位被稱為“非星級”環保單位。現通過分層抽樣的方法抽取了這三類行業中的20個單位，其考評分數如下。

A類行業：85，82，77，78，83，87。

B類行業：76，67，80，85，79，81。

C類行業：87，89，76，86，75，84，90，82。

（1）試估算這三類行業中每類行業的單位個數;

（2）若在抽出的A類行業的這6個單位中，隨機選取3個單位進行交流發言，求選出的3個單位中既有“星級”環保單位，又有“非星級”環保單位的概率。

18.（本小題12分）某服裝店對其過去100天實體店和網店的銷售量（單位：件）進行了統計，制成的頻率分布直方圖分別如圖5和圖6所示。

（1）若將上述頻率視為概率，已知該服裝店過去100天的銷售中，實體店和網店銷售量都不低于50的概率為0.24，求過去100天的銷售中，實體店和網店至少有一方銷售量不低于50的天數;

（2）若將上述頻率視為概率，已知該服裝店實體店每天的人工成本為500元，門市成本為1200元，每售出一件利潤為50元，求該實體店一天獲利不低于800元的概率;

（3）根據銷售量的頻率分布直方圖，求該服裝店網店銷售量的中位數的估計值（精確到0.01）。

19.（本小題12分）隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經成為現代人“必考”的證件之一。若某人報名參加了駕駛證考試，要順利拿到駕駛證，他需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試。在一次報名中，每個學員有5次參加科目二考試的機會（這5次考試機會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進入下一科目考試;若5次都沒有通過，則需重新報名），其中前2次參加科目二考試免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需交200元的補考費。某駕校對以往2000個學員第一次參加科目二考試的通過情況進行了統計，得到表1。

若以上表得到的男、女學員第一次通過科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學員每次通過科目二考試的概率，且每人每次是否通過科目二考試相互獨立。現有一對夫妻同時在此駕校報名參加了駕駛證考試，在本次報名中，若這對夫妻參加科目二考試的原則為通過科目二考試或者用完所有機會為止，請回答下列問題：

（1）求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試不需要交補考費的概率;

（2）已知這對夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過，記這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產生的補考費用之和為ξ，求ξ的分布列與數學期望。

20.（本小題12分）隨著節能減排意識深入人心以及共享單車的大范圍推廣，越來越多的市民在出行時喜歡選擇騎行共享單車。為了研究廣大市民共享單車的使用情況，某公司在我市隨機抽取了100 名用戶進行調查，得到的數據如表2所示。

每周騎行共享單車6次及6次以上的用戶稱為“騎行達人”，視頻率為概率，在我市所有“騎行達人”中，隨機抽取4名用戶。

（1）求抽取的4名用戶中，既有“男騎行達人”，又有“女騎行達人”的概率;

（2）為了鼓勵女性用戶使用共享單車，對抽出的“女騎行達人”每人獎勵500元，記獎勵總金額為X，求X的分布列及數學期望。

21.（本小題12分）為了讓稅收政策更好地為社會發展服務，國家在修訂《中華人民共和國個人所得稅法》之后，發布了《個人所得稅專項附加扣除暫行辦法》，明確“個稅專項附加扣除”是指個人所得稅法規定的子女教育、繼續教育、大病醫療、住房貸款利息、住房租金、贍養老人六項專項附加扣除，并公布了相應的定額扣除標準，決定自2019年1月1日起施行。某企業為了調查內部員工對新個稅方案的滿意程度與年齡的關系，通過問卷調查，整理數據得如下2x2列聯表（表3）。

（1）根據列聯表，能否有99%的把握認為滿意程度與年齡有關？

（2）為了幫助年齡在40歲及以下的未購房的8名員工解決實際困難，該企業擬按員工貢獻積分x（單位：分）給予相應的住房補貼y（單位：元），現有兩種補貼方案，方案甲：y=1 000+700x;方案乙：y=3 000，0