排列問題 一一擊破

孫杰

排列的定義包含兩個方面的含義：一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”，也就是說排列問題是與位置有關。因此，在研究排列問題時，（1）注意整體分類，不重不漏;（2）局部分步，確保連續性和獨立性;（3）觀察順序;（4）辯證地看待“元素”與“位置”。同時必須掌握常見排列問題的策略。

一、特殊優先，一般在后

對于某些元素（或位置）的排法受到限制問題，用特殊優先、一般在后的方法。列式求解時，優先考慮這些元素，叫元素分析法;也可優先考慮被限制的位置，叫位置分析法。在操作時，針對實際問題，有時“元素優先”，有時“位置優先”。

例11名老師與4名學生排成一排照相，老師不站兩端的排法有多少種？

解析：老師不站在兩端，只能站在中間3個位置，優先排老師有A1/3種排法，再任意排學生有A1種排法，共有A3·A1=72（種）排法，這是元素分析法。

也可采用位置分析法，兩端先排學生有A種排法，其他任意排有A3種排法，共有A·A3=72（種）排法。

點評：當排列中有特殊元素或特殊位置時，可先處理特殊元素，也可先處理特殊位置，依據具體情況而定。但必須注意選擇的方法不同，可能解題難易程度大相徑庭。

練習1.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲、乙均不與丙相鄰，有多少種不同的排法？

解析：填格法、特殊元素優先法。將5個位置標號1，2，3，4，5，下面分類考慮：

（1）丙站在1號位，則甲、乙可站在3、4、5號位，丁、戊站在其余位置上，有A23A2=12（種）排法，類似地，當丙站在5號位時，也有12種排法;（2）當丙站在2號位置時，甲、乙只能站在4、5號位，丁、戊站在其余位置上，有A2A2=4（種）排法，類似地，當丙站在4號位時，也有4種排法;（3）當丙站在3號位置時，甲、乙可站在1、5號位，丁、戊站在其余位置上，有A2A2=4（種）排法。

綜上可知，共有36種排法。

二、元素相鄰，整體處理

對于某些元素要求相鄰排列的問題，一般采用大元素法，即可先將相鄰元素捆綁成整體并看作一個元素再與其他元素進行排列，同時對相鄰元素進行自排，也叫“捆綁法”。

例2“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳習近平新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員、面向全社會的優質平臺，現日益成為老百姓了解國家動態、緊跟時代脈搏的熱門APP。該款軟件主要設有“閱讀文章”“視聽學習”兩個學習板塊和“每日答題”“挑戰答題”“四人賽”、“雙人對戰”四個答題板塊。某人在一次學習過程中把六個板塊全部學完，則“閱讀文章”與“每周答題”兩大板塊相鄰的學習方法有（）。

A.192種

B.240種

C.432種

D.528種

解析：由題意可知，將“閱讀文章”與“每周答題”兩大板塊捆綁在一起，再與其他四個板塊排列，故滿足“閱讀文章”與“每周答題”兩大板塊相鄰的學習方法有A2·A5=240（種），選B。

點評：解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個整體和其他元素一起排列，同時要注意捆綁元素的內部排列。

練習2.在某場新冠肺炎疫情防控視頻會議中，甲、乙、丙、丁4位疫情防控專家輪流發言，其中甲必須排在前兩位，丙、丁必須排在一起，則4位專家的不同發言順序共有（）。

A.12種

B.8種

C.6種

D.4種

解析：當甲排在第一位時，有A2A2=4（種）發言順序;當甲排在第二位時，共有A2=2（種）發言順序。所以共有4+2=6（種）不同的發言順序，選C。

三、元素間隔，分位插入

對于某幾個互不相鄰元素的排列問題，可先將其他元素排成一排，然后將不相鄰的元素插入到這些排好的元素之間的空隙或兩端，這就是解決互不相鄰問題的“插空”法。

例37個人排成一排準備照一張合影，其中甲、乙要求相鄰，丙、丁要求分開，則不同的排法有（）。

A.480種

B.720種

C.960種

D.1200種

解析：由題意知，甲、乙要求相鄰，則把甲和乙看成一個元素，與除丙和丁以外的3個元素進行全排列，其中甲和乙之間還有一個排列，從形成的5個空中選2個排列丙和丁，根據分步計數原理知共有A1A2A2=960（種）排法。故選C。

點評：如果某些元素要求不相鄰，就要分成兩步，先排上沒有要求的元素，再把有要求的去插空排列。應注意：①必須分清“誰插入誰”的問題，要先排無限制條件的元素，再插入必須間隔的元素;②數清可插的位置;③判斷是否以排列形式插入。

練習3.永州是一座有著兩千多年悠久歷史的湘南古邑，民俗文化資源豐富。在一次民俗文化表演中，某部門安排了《東安武術》零陵漁鼓》《瑤族傘舞》《祁陽小調》《道州調子戲》《女書表演》6個節目，其中《祁陽小調》與《道州調子戲》不相鄰，則不同的安排種數為（）。

A.480 B.240 C.384D.1440

解析：第一步，將《東安武術》《零陵漁鼓》《瑤族傘舞》《女書表演》4個節目排列，有A=24（種）排法;第二步，將《祁陽小調》《道州調子戲》插入前面的4個節目的間隙或者兩端，有A=20（種）插法。所以共有24x20=480（種）不同的安排方法。選A。

四、定序排列，轉化入座

例4書架上原有6本書，再放上3本，但要求原有的順序保持不變，則不同的放法有多少種？

解析：9本書占有9個位置，其中后放的3本書占有3個位置，優先考慮有A，種放法，剩下的6個位置按原來的順序放原來的6本書，故共有A=504（種）放法。

點評：順序排列的方法需要轉化，把不要求順序的元素在所有可能位置任意排列，再把剩余的按一定順序的元素“對號入座”，后一步“對號入座”僅有一種排法。

練習4.用1，2，3，4，5五個數字排列成不重復的五位數，其中1，2，3按1在最前，3在最后，2在1與3之間，這樣的數字有多少個？

解析：這是要求1，2，3按一定順序的排列，先在5個位置任選2個排上4，5，有A種方法，剩余的1，2，3在剩余的3個位置從小到大“對號人座”排列，共有1種方法。

這樣的數字有A=20（個）。

五、正難則反，化難為簡

當問題正面考慮，情況比較復雜時，我們就要改變思維方向，通常利用正難則反原則，這也是解決排列應用題時常用的策略。

例5 將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數字，則每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法有多少種？

解析：由題意，考慮其反面：（1）恰有1個數字與標號相同，則填法有AA種;（2）恰有2個數字與標號相同，則填法有，種;（3）有3個數字與標號相同，則填法有1種。故每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法有A—AA—1=9（種）。

點評：本題直接考慮，情況比較復雜，利用間接法，簡單明了。

練習5.5名同學站成一排，其中甲不站在首位，有多少種不同的站法？

解析：不考慮特殊情況，有A種方法，當甲站在首位，有A種方法，故共有A—A=96（種）站法。

（責任編輯徐利杰）