二項分布與超幾何分布的區別與聯系

胡云兵

在人教版《數學選修2—3》的課本中，第二章《隨機變量及其分布列》分別介紹了兩種離散型隨機變量的概率分布：超幾何分布與二項分布。通過實例，讓同學們認識模型所刻畫的隨機變量的共同特點，從而建立新的模型，并能運用兩個模型解決一些實際問題。然而部分同學不能準確地辨別要解決的問題是超幾何分布還是二項分布，對這兩個模型的定義不能很好地理解，一遇到含“取”或“摸”的題型，就認為是超幾何分布，不加分析，濫用公式。事實上，超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯系，但也有明顯的區別，

課本對于超幾何分布的定義是這樣的：

對于二項分布的定義是這樣的：若隨機變量X的分布列為P（X=k） =Cp*（1—p）"，其中0

其概率分布如表2。

超幾何分布與二項分布都是取非負整數值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求法有截然不同的表達式。

課本中對超幾何分布的模型建立是這樣的：若有N件產品，其中M件是次品，無放回地任意抽取n件，則其中恰有的次品件數X服從超幾何分布。而對二項分布則使用比較容易理解的射擊問題來建立模型。若將超幾何分布的概率模型改成：若有N件產品，其中M件是次品，有放回的任意抽取n件，則其中恰有的次品件數X服從二項分布。在這里，兩種分布的差別就在于“有放回”與“無放回”的差別，超幾何分布是不放回地抽取，二項分布是有放回地抽取;超幾何分布需要知道總體容量，二項分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”。

教材上用高爾頓板導出了正態分布，事實上在這個試驗中，小球落進各個槽中的分布是一個概率p=0.5的二項分布，從一個二項分布導出正態分布，正好揭示了二項分布與正態分布之間的聯系，

我們知道二項分布的隨機變量是離散的，當n取不同值時，它的分布會有差別，隨著n的增加，二項分布越來越接近于正態分布。

題型一超幾何分布

例1某批產品共有10件，已知從該批產品中任取1件，則取到的是次品的概率為p=0.2，現從該批產品中任意抽取3件。

（1）求取出的3件產品中恰好有1件是次品的概率;

（2）求取出的3件產品中次品的件數X的概率分布列與期望，

解析：

點評：超幾何分布的特征是：只做了一次試驗，且這一次試驗是在有限個（個數非常明確、具體）元素中選取若干個元素。典型案例是抽球時每次抽完不放回。

例2 （2021年北京高三期末）在學期末，為了解學生對食堂用餐滿意度情況，某興趣小組按性別采用分層抽樣的方法，從全校學生中抽取容量為200的樣本進行調查。被抽中的同學分別對食堂進行評分，滿分為100分。調查結果顯示：最低分為51分，最高分為100分。隨后，興趣小組將男、女生的評分結果按照相同的分組方式分別整理成了頻數分布表和頻率分布直方圖，如表4和圖1所示。

女生評分結果的頻率分布直方圖（圖1）。

男生評分結果的頻數分布表如表4。

為了便于研究，興趣小組將學生對食堂的評分轉換成了“滿意度情況”，兩者的對應關系如表5。

（1）求a的值;

（2）為進一步改善食堂狀況，從評分在[50，70）的男生中隨機抽取3人進行座談，記這3人中對食堂“不滿意”的人數為X，求X的分布列。

解析：

點評：“在6個元素中選取3個元素”，符合超幾何分布的特征。

題型二二項分布

例3 （2021年太原高三5月模擬）人的體重是人的身體素質的重要指標之一。某校抽取了高二的部分學生，測出他們的體重（kg），體重在40 kg至65 kg之間，按體重進行如下分組：第1組[40，45），第2組[45，50），第3組[50，55），第4組[55，60），第5組[60，65]，并制成如圖2所示的頻率（視為概率）分布直方圖。已知第一組與第三組的頻率之比為1：3，第3組的頻數為90。

（1）求該校抽取的學生總數以及第2組的頻率;

（2）用這些樣本數據估計全市高二學生（學生數眾多）的體重，若從全市高二學生中任選5人，設X表示這5人中體重不低于55 kg的人數，求X的分布列和數學期望。

解析：

點評：當題目當中出現“將頻率視為概率”，“某某與某某相互獨立”，“從大量（且不知道大量具體的數值）中選取少數幾個個體”等關鍵字眼時，該分布即為二項分布。

例4 某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品進行檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品。檢驗時，先從這箱產品中任取20件檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品檢驗。設每件產品為不合格品的概率都為p（0

（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點po。

（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p。作為p的值，已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用。

①若不對該箱余下的產品檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求E（X）;

②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

解析：

點評：題目當中出現了“各件產品是否為不合格品相互獨立”的字眼，符合二項分布的特征。

（責任編輯徐利杰）