數學文化背景下的計數原理試題賞析

楊秋野

近幾年高考數學試卷出現以數學文化為背景的新穎題型，這類試題蘊含著濃厚的數學文化氣息，它將數學知識、方法、文化融為體，以原有數學知識為基礎，引人人文、科技、生活、數學史等方面的文化背景，有效地，考查了同學們在新情景下對數學知識的理解，為同學們的數學認知拓展眼界，提高大家的學習興趣。下面從四個方面賞析數學文化背景下的計數原理試題。

一、以人文藝術為文化背景

例1 數學與文學之間存在著許多奇妙的聯系。詩中有回文詩，如：“云邊月影沙邊雁，水外天光山外樹”，倒過來讀，便是“樹外山光天外水，雁邊沙影月邊云”，其意境和韻味讀來真是一種享受！

數學中也有回文數，如：88，454，7 337， 43 534等都是回文數，無論從左往右讀，還是從右往左讀，都是同一個正整數，我們稱這樣的數為“回文數”。

二位的回文數有11，22， 33，44， 55，66，77，88，99，共9個;

三位的回文數有101，111，121，131，969，979，989，999，共90個;

四位的回文數有1 001，1111，1 221，.9 669，9 779，9 889，9 999，共90個。

由此推測：十位的回文數總共有個

解析：一、二位回文數有9個，三、四位回文數有90個，五、六位回文數有900個，七、八位回文數有9000個，九、十位回文數有90 000個。

點評：數學表面給人的印象是嚴謹、嚴肅，沒有什么美感可言，其實，數學也有它的藝術性，它能夠通過語言文學、美術、音樂、建筑等方面來展示自身的藝術。在高考數學試卷中，設置數學與藝術相結合的數學問題，能夠改變同學們對數學的認識，增加大家對數學學習的興趣，

練習1：設aj，a2，，a，，是1，2，……，n的個全排列，把排在a;左邊且小于a;的數的個數稱為a;的順序數（i=1，2，……，n）。

例如在排列6，4，5，3，2，1中，5的順序數是1，而3的順序數是0。則在由1，2，……，8這八個數字構成的全排列中，同時滿足：8的順序數為2，7的順序數為3，5的順序數為3，這樣的不同排列種數是。

解析：依題意知，在8的左邊有2個比8小的數，在7的左邊有3個比7小的數，在5的左邊有3個比5小的數。由于8是最大的數，則8必排在左起的第3位，而7必須排在左起的第5位，5只能在7的右邊，若6在5的右邊，則5與7必相鄰，共有2X4！ =48（種）排法;若6在5的左邊，則5必在左起的倒數第二位，共有4X4！ =96（種）排法。所以共有48+96=144（種）排法。

二、以科學技術為文化背景

例2 （2022年山東德州高三期末卷）某研究機構采訪了“一帶一路”沿線20國的青年，讓他們用一個關鍵詞表達對中國的印象，使用頻率前12的關鍵詞為：高鐵、移動支付、網購、共享單車、一帶一路、無人機、大熊貓、廣場舞、中華美食、長城、京劇、美麗鄉村。其中使用頻率排前四的關鍵詞“高鐵、移動支付、網購、共享單車”也成為了他們眼中的“新四大發明”。從這12個關鍵詞中選擇3個不同的關鍵詞，且至少包含一個“新四大發明”關鍵詞的選法種數為（用數字作答）。

解析：把12個關鍵詞分為兩組：高鐵、移動支付、網購、共享單車一組，余下的為一組。從這12個關鍵詞中選擇3個不同的關鍵詞，且至少包含一個“新四大發明”關鍵詞的情況，有C+CC+CC=164（種）。

點評：數學與科技類相融合的問題主要包括數學與生物學、地球及環境、前沿科學等問題相結合，通過數學與科技相結合，能夠體現出數學在科技發展中的重要地位，提高同學們對數學的重視度。本題從這12個關鍵詞中選擇3個不同的關鍵詞，分為包含1個、2個、3個“新四大發明”關鍵詞的情況，通過計算可得答案。

練習2：（2022年湖北省黃石市有色第—中學高三期末）在2021年中俄聯合軍演的某一項演練中，中方參加演習的有5艘軍艦，4架飛機;俄方有3艘軍艦，6架飛機。若從中俄兩方中各選出2個單位（1架飛機或1艘軍艦都作為一個單位，所有的軍艦兩兩不同，所有的飛機兩兩不同），且選出的4個單位中恰有1架飛機的不同選法共有（）。

A.51種B. 224種C. 240種 D.336種

解析：不同的選法有： CCCC+CCCC=5X4X3X1 + 10X1X3X660 + 180 = 240（種）。選C。

三、以社會生活為文化背景

例3 （2022年廣東清遠市高三期末卷）為了做好新冠肺炎疫情常態化防控工作，推進疫苗接種進度，降低新冠肺炎感染風險，某醫院準備將3名醫生和6名護士分配到3所學校，設立疫苗接種點，免費給學校老師和學生接種新冠疫苗。若每所學校分配1名醫生和2名護士，則不同的分配方法共有種。

解析：

故不同的分配方法共有90X6=540（種）。

點評：新冠肺炎疫情防控期間，志愿者的涌現體現出人間的大愛與溫情。本題以社會熱點問題—新冠肺炎疫情防控為背景，將社會熱點問題與數學問題有機結合，旨在考查同學們對問題情境的數學閱讀能力和理解能力，引導大家關注民生，體現數學文化立德樹人的理念。

練習3：文化和旅游部在2021年圍繞“重溫紅色歷史、傳承奮斗精神”“走進大國重器。感受中國力量”“體驗美麗鄉村、助力鄉村振興”這三個主題中，避選出“建黨百年紅色旅游百條精品線路”。這些精品線路中包含中共一大會址、嘉興南湖、井岡山、延安、西柏坡5個傳統紅色旅游景區;還有港珠澳大橋、北京大興國際機場2個展現改革開放和新時代發展成就的景區;以及中國天眼、“兩彈一星”紀念館、湖南十八洞村、浙江余村、貴州花茂村5個展示科技強國和脫貧攻堅成果的景區。為安排旅游路線，從上述12個景區中選3個景區，則必須含有傳統紅色旅游景區以及展示科技強國和脫貧攻堅成果景區的不同，選法種數為（）。

A. 220 B. 150 C. 50D. 100

解析：從12個景區中選3個景區，共有Ci2=220（種）選法。

不含傳統紅色旅游景區的選法種數為C=35，不含展示科技強國和脫貧攻堅成果景區的選法種數為C;=35。

所以所求的不同選法種數為220—35—35=150。

故選B。

四、以數學史為文化背景

例4 算盤是中國古代的一項重要發明。現有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數字5，梁下五珠，上撥一珠記作數字1（如圖2中算盤表示整數51）。如果撥動圖1算盤中的三枚算珠，那么可以表示不同整數的個數為（）。

2A. 16 B. 15

C. 12D.10

解析：由題意，撥動三枚算珠，有4種撥法：

①個位撥動三枚，有2種結果，3、7;

②十位撥動一枚，個位撥動兩枚，有4種結果，12、16、52、56;

③十位撥動兩枚，個位撥動一枚，有4種結果，21、25、61、65;

④十位撥動三枚，有2種結果，30、70。

綜上，撥動題圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數的個數為2+4+4+2=12。

故選C。

點評：數學史是數學文化的重要組成部分，是高考數學題目中涉及數學文化類題型的主要組成形式，其中包含數學家的故事，數學史上的重大事件和歷史上的經典數學問題。通過對近些年數學文化類考題的統計分析來看，以阿基米德、楊輝、歐拉等歷史名人所創造的定理為背景而設計的數學題較多，同時以《九章算術》、《算法統宗》等數學著作中的素材為背景的數學問題也較多，值得關注。

練習4：羅馬數字是歐洲在阿拉伯數字傳人之前使用的一種數碼，它的產生標志著一種古代文明的進步。

羅馬數字的表示法如表1。

其中“I”需要1根火柴，“V”與“X”需要2根火柴，若為0，則用空位表示。如123表示為11，405表示為MV。如果把6根火柴以適當的方式全部放入圖3的表格中，那么可以表示的不同的三位數的個數為（）。

A.87 B. 95C. 100 D. 103

解析：用6根火柴表示數字，所有搭配情況如下。

1根火柴和5根火柴，1根火柴可表示的數為1;5根火柴可表示的數為8，和0一起，能表示的數共有4個（108，180，801，810）。

2根火柴和4根火柴，2根火柴可表示的數為2、5;4根火柴可表示的數為7，和0一起，能表示的數有CX4=8（個）。

3根火柴和3根火柴，3根火柴可表示的數為3、4、6、9，和0一起，能表示的數分為兩類：除0外的兩個數字相同，可表示的數有CX4=8（個）;除0外的兩個數字不同，則有CX4=24（個）。所以共有8+24=32（個）。

1根火柴、1根火柴和4根火柴，即有1、1、7組成的數，共有3個（117，171，711）。

1根火柴、2根火柴和3根火柴，即由1，2或5中的一個數，3、4、6、9中的一個數字組成三位數，共有CCA=2X4X3X2=48（個）。

2根火柴、2根火柴、2根火柴，即由2或5組成的三位數，分為兩類：三個數字都相同，共有2個（222，555）;三個數字中的兩個數字相同，則有CX3=6（個）。

共有2+6=8（個）。

綜上可知，可組成的三位數共有4+8+32+3+48+8=103（個）。

故選D。

總之，數學不僅是“科學的數學”，而且是“文化的數學”，在學習中同學們要注意品味數學的文化價值，弘揚中華傳統文化，認識到學習數學不只是學習知識，更重要的是豐富心靈、完善人格，從而領悟到中國數學文化的數學美。

（責任編輯徐利杰）