基于反饋線性化解耦的直驅H型平臺滑模輪廓控制

魏惠芳， 王麗梅， 張 康

(沈陽工業大學 電氣工程學院， 沈陽 110870)

由永磁直線同步電機(PMLSM)驅動的H型平臺可以在平面實現二維高頻運動，廣泛應用于數控機床、精密測量和激光打印行業中[1-2].但直驅H型平臺三軸之間的機械耦合會影響輪廓控制精度[3]，此外，在實際工作中，橫梁上工作臺頻繁加減速運動會對系統動態、穩態性能造成影響，從而增加系統機械耦合程度，大大降低控制精度[4].為提高直驅H型平臺的輪廓控制精度，需要采用合理的解耦控制策略解決機械耦合問題，同時選用具有強魯棒性的控制器抑制不確定性問題，從而實現平臺的精密控制.

為提高直驅H型平臺跟蹤精度，Chen等[5]提出軸間協調運動與冗余執行器同步相結合的輪廓控制方法.該方法在輪廓誤差計算中引入轉角進行了相應的修正，提高輪廓跟蹤性能，但該方法在建立動力學模型時進行了近似估計，僅適合轉角較小的情況[6].王麗梅等[7]針對直驅H型平臺直線電機參數變化和擾動等不確定因素的影響，建立了含不確定集的直驅H型平臺的數學模型，然后在此模型基礎上提出了交叉耦合模糊PID控制方法，從而提高了系統的跟蹤性和魯棒性，但該方法在建立模型過程中忽略了機械耦合的影響.

針對運動平臺機械耦合對輪廓控制的影響，一些學者通過解耦輪廓誤差模型進行控制.Chen等[8]通過將輪廓誤差解耦成切線誤差和等效輪廓誤差進行控制，能夠克服跟蹤精度不高對輪廓控制的影響.為解決由于輪廓誤差累積，系統出現收斂速度降低甚至發散這一問題，王麗梅等[9]提出一種與經驗模態分解算法相結合的交叉耦合迭代學習控制方法.該方法首先通過設計交叉耦合迭代學習控制降低輪廓誤差，然后利用經驗模態學習算法分解控制過程中的輪廓誤差，提高系統收斂速度和輪廓精度.

為解決多輸入、多輸出系統耦合程度高、難控制的問題，肖友剛等[10]利用線性擴張觀測器對系統的耦合部分、非線性部分及擾動部分進行估計并補償，實現各環節的自解耦，但其對整體系統缺乏宏觀的解耦控制.許偉[11]將反饋線性化控制策略應用到永磁同步電動機這一強耦合、非線性的系統中，獲得精確的控制性能.屈高敏等[12]將反饋線性化解耦理論應用到無人機姿態控制系統中，很好地實現了各自由度之間的解耦，并保證了系統的響應速度.雖然反饋線性化解耦在精密控制上有一系列的成果，但其對于直驅H型平臺應用成果卻相對較少.

為解決直驅H型平臺的機械耦合問題，提高輪廓控制精度，本文設計了基于反饋線性化解耦的輪廓控制算法.采用反饋線性化理論設計解耦控制律，將耦合動力學模型分解為獨立的單輸入單輸出系統.設計了滑模控制器克服系統干擾和未建模動態等不確定性的影響，進一步提高解耦模型的魯棒性和輪廓跟蹤性能.

1 直驅H型平臺動力學模型

直驅H型平臺集總參數模型如圖1所示.其中，y1、y2為平行軸的實際位置，la為橫梁長度，θ為橫梁與水平位置夾角，x1為工作臺到橫梁中點的距離(此處忽略了扭轉引起的橫梁的水平誤差)，ma為橫梁質量(包括y軸電機動子)，me為x軸滑動塊質量，d為滑動塊到橫梁中心線的垂直距離，Ja和Je分別為橫梁和滑動塊質心的旋轉慣量，le為橫梁上滑動塊的長度.k1和k2為扭轉剛度系數，μgx、μg1和μg2為x軸、y1和y2軸的粘滯摩擦系數，cx、c1和c2為x軸、y1和y2軸的庫倫摩擦系數.

圖1 直驅H型平臺集總參數模型Fig.1 Lumped-parameter model of direct drive H-type platform

定義q=[x1，y1，θ]，則直驅H型平臺的動力學模型[13]可表示為

(1)

式中：M為慣性矩陣；B為摩擦力系數矩陣；K為剛度矩陣；D為前饋余項；Q為相對廣義力矩陣.各項分別表示為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Qem為在各個自由度上的驅動力；Qd為在各自由度上的阻力；Sf(·)為近似于sgn(·)的連續函數.

根據式(1)可以看出，直驅H型平臺動力學模型中的質量矩陣為非對角矩陣，因此，直驅H型平臺各個自由度之間存在動力學耦合現象.工作臺運動過程中，各軸之間相互作用，影響輪廓控制性能.

2 控制器設計

2.1 反饋線性化解耦理論

為確保系統完全解耦，需使系統每一個輸出被一個輸入單獨控制.一般情況下，多輸入多輸出非線性系統[14]可描述為

(7)

式中：X∈R2n為狀態向量；u∈Rn為控制向量；Y∈Rn為輸出向量；f(·)∈R2n、h(·)∈Rn×2n、g(·)∈R2n×n為X的函數，其中，n為伺服系統的自由度.

根據李導數定義，引入李導數算子L.對于平衡點X0，該非線性系統具有相對階Oi，如果存在：對所有X(X屬于X0的一個鄰域)以及i，j∈n，k

(8)

且n×n矩陣P(X)在平衡點X0處非奇異，P(X)可表示為

(9)

則系統在控制律u(X)=-P-1(X)b(X)+P-1(X)v的作用下可解耦為基于控制律v的線性系統，v=[v1，v2，v3]T為滑模控制器輸出，且

(10)

2.2 直驅H型平臺反饋線性化解耦

通過式(1)和(6)可知

(11)

f(X)=[X2，f1(X)X4，f2(X)X6，f3(X)]T

(12)

(13)

式中：f1(X)，f2(X)，f3(X)為x1，y1，θ的耦合函數，則系統輸出表示為

Y=[x1，y1，θ]T

(14)

由式(11)可將式(12)、(13)進一步表示為

(15)

(16)

由于Lg1h2(X)，Lg1h3(X)，…，Lg3h3(X)，Lg3h1(X)皆為零，滿足

(17)

同理，Lfh2=X3，Lfh3=X6，則

M-1

(18)

由于P(X)為非奇異矩陣，可知該系統的相對階Oi=2，則

Z(X)=P-1(X)=

(19)

(20)

令

(21)

由式(19)～(21)可知解耦控制律的表達式為

(22)

由式(22)可以看出，多輸入多輸出的耦合系統通過反饋線性化理論將耦合動力學模型分解為獨立的單輸入單輸出系統，避免了H型平臺運行過程中各自由度之間存在耦合而影響輪廓控制精度.

2.3 滑模控制器設計

由于解耦后的系統存在參數變化、外部擾動等不確定項，因此算法必須具備較強魯棒性.滑模控制對外部擾動和系統參數攝動具有強魯棒性，有助于減弱反饋線性化控制策略對精確參數的依賴性.本文在控制器設計上采用滑模控制策略，從而實現系統的魯棒控制.選取線性滑模面為

(23)

式中：e1=xd-x為x軸跟蹤誤差；e2=yd-y為y軸跟蹤誤差；e3=θd-θ為橫梁與水平之間夾角的誤差；k11、k12、k21、k22、k31、k32為正常數；xd、yd、θd為參考輸入信號.

(24)

根據特定的趨近律來設計滑模控制，既能減小抖振又能保持系統的魯棒性，本文采用指數趨近律vs進行設計，可得

(25)

式中：ε1、ε2、ε3和η1、η2、η3均為正常數；sgn為符號函數.

s1[-ε1sgn(s1)-η1s1]=

(26)

直驅H型平臺反饋線性化滑模解耦控制系統框圖如圖2所示，虛框內為平臺解耦后線性系統.

3 實驗結果與分析

3.1 實驗系統總體結構及參數

本文實驗系統如圖3所示，主要由上位機、多軸直線電機運動平臺控制箱及多軸運動控制平臺構成.實驗平臺及控制器參數如表1、2所示.實驗中控制器參數均是經過多次調試選取而得，以保證系統的動、靜態性能.

3.2 實驗研究

為驗證基于反饋線性化解耦滑模輪廓控制算法的可行性和有效性，針對本文提出的解耦控制方法，分別采用PID控制策略及滑模控制策略對解耦前后系統性能進行分析.

圖2 反饋線性化滑模解耦控制結構圖Fig.2 Structure diagram of feedback linear sliding mode decoupling control

表2 控制器參數Tab.2 Parameters of controller

3.2.1 單軸跟蹤精度對比

直驅H平臺給定輸入信號為r1=20sin(2πt) mm，r2=20cos(2πt) mm，即給定輸入軌跡為圓形軌跡.

實驗1：在空載條件下進行單軸的軌跡跟蹤實驗.基于PID控制器的位置跟蹤響應曲線如圖4所示.系統解耦前的位置跟蹤誤差大約在-12.2～12.5 μm，解耦后的誤差有所減小，大約為-4.8～4.8 μm.這表明在空載狀態下，本文采用的解耦算法可行有效，將跟蹤誤差減小了58.33%，保證了直驅H平臺單軸電機的位置跟蹤精度，明顯提高跟蹤性能.

圖4 基于PID控制器的y軸電機位置響應曲線Fig.4 Position response curve of y-axis motor based on PID controller

實驗2：由于系統存在參數變化、外部擾動等不確定項的影響，需要控制器具有較強的魯棒性.在3 s時對系統突加50 N的負載擾動，基于滑模控制的單軸電機位置響應曲線如圖5所示.在突加負載擾動時，解耦前的位置跟蹤誤差約為7.8 μm，而解耦后的誤差約為4.2 μm，且在更短的時間內恢復穩定，具有較快的響應速度.對比圖4、5兩種方法下的位置跟蹤誤差響應曲線可以看出，盡管存在負載擾動，滑模控制下的系統仍然具有較小的跟蹤誤差，且解耦后的系統跟蹤精度較高.這表明本方法不但可以保證系統單軸跟蹤精度，還對不確定性具有較強的魯棒性.

圖5 基于滑模控制的y軸電機位置響應曲線Fig.5 Position response curve of y-axis motor based on sliding mode control

3.2.2 輪廓誤差對比

為驗證解耦后系統的輪廓跟蹤精度，在實驗2所述的情況下，解耦前后基于滑模控制的H型平臺輪廓誤差曲線如圖6所示.系統解耦前的輪廓誤差約為-1.3～2.1 μm，而在解耦后系統輪廓誤差約為-0.7～0.9 μm，相比于解耦前的系統，輪廓跟蹤精度大大提高.

圖6 基于滑模控制的H型平臺輪廓誤差曲線Fig.6 Contour error curve of H-type platform based on sliding mode control

此外，將本文設計的輪廓控制方法與文獻[7]的交叉耦合迭代學習輪廓控制方法進行對比.在相同的輸入信號下，交叉耦合迭代學習輪廓控制的輪廓誤差曲線如圖7所示.從圖7可以看出，該方法控制下的直驅H型平臺輪廓跟蹤誤差大約在-1.3～1.5 μm之間波動，同圖6b相比，輪廓誤差稍大.這表明，對直驅H型平臺進行反饋線性化解耦可以很好地改善輪廓跟蹤精度.

圖7 基于經驗模態分解法交叉耦合迭代學習控制的H型平臺輪廓誤差曲線

4 結 論

本文針對多輸入多輸出直驅H型平臺的輪廓控制問題，設計了基于動力學耦合模型的反饋線性化解耦控制器；同時，利用滑模控制解決系統存在的外部擾動等不確定影響，保證系統的魯棒性.通過實驗表明，基于反饋線性化解耦的直驅H型平臺滑模輪廓控制方法可以有效解決機械耦合問題，克服不確定性對系統的影響，進而提高了系統的輪廓跟蹤精度和魯棒性.