矩形梁彎曲正應力分析

牟志然，俞曉峰，李之光，白國慶

(太原學院 機電與車輛工程系，山西 太原 030032)

0 引言

在材料力學課程里，如果一個梁的橫截面上剪力等于零，并且彎矩為一個常量，此時梁的橫截面上只有正應力而沒有切應力，梁的這種受力情況稱為梁的純彎曲。矩形梁的純彎曲容易在材料力學多功能試驗機上獲得，因此本文以矩形梁的彎曲正應力為例，研究矩形梁彎曲正應力的分布規律。

1 理論依據

設想梁是由無數多條平行于軸線的縱向纖維組成，當梁發生彎曲變形后(上凹下凸)，必然引起靠近底面的縱向纖維伸長，靠近頂面的縱向纖維縮短，因為梁的橫截面仍保持為平面(平面假設)，所以沿截面高度應由底面纖維的伸長連續逐漸變為頂面纖維的縮短，中間必然有一層纖維的長度不變，這層纖維稱為中性層，中性層與橫截面的交線稱為中性軸[1]。

對于純彎曲變形有兩個假設：①平面假設，即變形前原為平面的梁的橫截面變形后仍保持平面，仍然垂直于變形之后的梁軸線；②縱向纖維間無正應力，即縱向纖維之間無相互作用力。根據以上假設，下面從幾何、物理和靜力三方面入手，研究梁純彎曲時的正應力分布規律。

1.1 幾何關系

矩形梁變形及受力情況如圖1所示。圖1(a)為梁變形前狀態，圖1(b)為梁變形后的狀態，以梁的橫截面為對稱軸y軸，方向向下為正方向，中性軸為z軸，如圖1(c)所示。

根據平面假設理論，變形前相距dx的兩個截面，變形之后各自繞中性軸相對旋轉了一個角度dθ，則距離中性層為y的變形前長度為bb的纖維長度變為:

b′b′=(ρ+y)dθ

.

(1)

其中：ρ為中性層的曲率半徑。

而變形前后中性層的纖維長度不變，即bb=dx=ρdθ。根據應變的定義，纖維bb的應變為:

.

(2)

1.2 物理關系

在材料的彈性階段，應力與應變之間的關系滿足胡克定律：

.

(3)

其中：E為材料彈性模量。

式(3)說明，縱向纖維的正應力與它到中性層的距離成正比，應力分布如圖1(d)所示。

圖1 矩形梁變形及受力情況

1.3 靜力關系

在橫截面上取一個微小截面dA，橫截面上的微內力σdA組成垂直于橫截面的空間平行力系，根據理論力學理論，橫截面上的內力系最終只歸結為一個力偶矩Miz，這個力偶矩也是彎矩M，即：

.

(4)

彎矩M與外力偶Me大小相等，方向相反。

根據物理關系和靜力關系，聯立公式(3)和公式(4)得：

.

(5)

.

(6)

將式(3)與式(6)聯立，得純彎曲時正應力計算公式：

.

(7)

由式(7)可以看出，距離中性層越遠，應力值越大。

2 純彎曲實驗

純彎曲實驗裝置如圖2所示，轉動手輪會使壓頭向下移動，將力傳給承力下梁，承力下梁通過拉桿將載荷施加到彎曲梁上，使矩形梁產生純彎曲。

圖2 純彎曲實驗裝置

純彎曲梁材料為45鋼調質處理，在其長度方向上制成矩形截面。梁的彈性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.28，梁的跨度L=620 mm、高度h=40 mm、寬度b=20 mm。每段梁的側面沿與軸線平行的不同高度上均粘貼有單向應變片，矩形梁的幾何尺寸如圖3所示，5個應變片位置為均勻分布，編號為1、2、3、4、5，其中1號應變片布置在上表面、5號應變片布置在下表面，2、3、4號應變片布置在前表面，應變片在高度方向的間距均為10 mm。載荷間距a=300 mm，對圖2實驗裝置等量逐級加載，施加載荷的大小可以由數字載荷顯示儀顯示。

圖3 矩形梁幾何尺寸

通過彎曲正應力實驗，可以看出，實驗結果與理論相符。

表1 實驗數據

3 ANSYS Workbench仿真分析

(1) 在ANSYS Workbench軟件中創建靜態結構分析模型。

(2) 材料定義。純彎曲梁形截面材料為45鋼調質處理，密度為7.85×103kg/m3，彈性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.28。材料參數如圖4所示。

圖4 材料參數

(3) 將Creo2.0中建立的矩形梁模型導入到ANSYS Workbench中，為受力分析做好模型準備。

(4) 接觸設置。系統程序自動生成接觸對，接觸面采用互為接觸面和互為目標面的對稱行為，共有4對接觸表面,計算方法采用增強的拉格朗日方法。

(5) 網格劃分。對于比較簡單、比較規則的三維模型采用六面體網格比較好，可以采用掃掠方式對矩形梁進行網格劃分[2]。設置單元尺寸為0.003 m,平滑設置為“Medium”,過渡設置為“Slow”,跨度中心角設置為“Medium”。在“Mesh”中插入新的網格劃分方法，將網格劃分方法設置成掃掠方式“Sweep”[3]。網格劃分結果如圖5所示。

(6) 添加約束。在矩形梁下面的兩個支撐圓柱施加固定約束，施加在兩個圓柱的下表面上。

(7) 施加載荷。在矩形梁上面兩個加載圓柱上施加載荷，載荷施加在兩個圓柱體的上表面上，每個上表面施加力的大小為1 500 N。

(8) 進行計算求解。

(9) 查看仿真結果。

查看應變仿真結果，y方向應變云圖如圖6所示。

查看應力仿真結果，y方向的應力云圖如圖7所示。

圖7 y方向的應力云圖

4 結論

本文采用理論分析、彎曲正應力實驗和ANSYS Workbench計算機仿真三種方式對矩形梁的彎曲正應力進行研究，可以得到以下結論：距離中性層越遠位置應力值越大，應變值也越大，矩形梁出現上凹下凸的變形，中性層上方位置受壓應力，中性層下方位置受拉應力。

本文采用三種方式對矩形梁彎曲正應力分布規律進行分析，加深了對矩形梁彎曲正應力分布規律的理解，同時對其他形狀的梁的正應力分析和研究具有借鑒意義。