如何培養學生的數學思維能力
——以“雞兔同籠”教學為例

江蘇宿遷市宿豫區張家港實驗小學（223800）凌朝陽

課程標準中提到，培養學生的數學思維能力是小學數學教學的一項基本任務，教師應有意識、有計劃、有目的地培養學生的數學思維能力?！半u兔同籠”的教學目標是讓學生初步認識“雞兔同籠”趣題，了解有關的數學史，能用列表法、畫圖法、假設法解決相關的實際問題。同時，引導學生通過畫圖分析、列表舉例、假設計算等方法理解數量關系，體會數形結合的便捷性，體驗解題方法的多樣性，提高學生的解題能力。那么，如何才能有效促進學生的思維發展，使學生變得能思考、愛思考、會思考？

一、學情與教材分析

四年級學生已經初步積累了運用猜測、枚舉、畫圖等方法解決問題的經驗，在學習過程中能夠表達自己的想法，因此教學中教師可以放手讓學生自主探究、合作交流，使學生有機會獲得直接經驗。

“雞兔同籠”問題原屬于六年級的內容，現編入四年級教材，一方面是想讓學生通過生動有趣的古代數學問題感受我國的數學文化，另一方面是讓學生認識用猜測、列表、畫圖、假設等方法解決問題的策略，培養學生的有序思考及邏輯推理能力。

對四年級學生來說，理解和掌握假設法還有些困難，因此教師在教學時要通過數形結合使學生理解假設法。“雞兔同籠”問題的作用在于體現解題的策略和思想方法，教師在教學中要注意滲透化繁為簡、有序思考、數形結合、假設思想、模型思想等數學思想方法。

二、以“雞兔同籠”教學為例，培養學生的數學思維能力

“雞兔同籠”問題在以前是課外典型題，如今編入教材中，對學生，尤其是基礎不好的學生來說有一定的難度。因此，筆者認為應讓學生經歷從多個角度思考、運用多種方法解題的過程，使學生根據已有經驗不斷調整解題策略，探討出不同的解法，找到合理的解題策略，并在合作學習的過程中積累解題經驗，掌握解題方法，然后靈活運用該方法解決生活中類似“雞兔同籠”的問題。

由于學生很難理解用假設法解題，因此筆者用畫圖法來幫助學生理解，先畫8個圓圈代表8只雞，每只雞畫2只腳，這樣就有16只腳，缺了10只腳，再給其中幾只雞每只添上2只腳，它們就變成了兔子，然后求出兔子的數量。這樣就把抽象的知識直觀化了，學生也很快理解了用假設法解題。具體策略如下。

1.創設情境，調動學生思維的積極性

師：同學們，我國是一個歷史悠久的國家，有許多著名的數學家，他們帶給我們許多寶貴的數學財富，同時也給我們留下了許多有趣的數學問題，你們想看看是什么樣的數學問題嗎？

生（齊）：想。

師：那就讓我們一起坐上時光機，穿越到1500年前的數學課堂，翻開數學名著《孫子算經》，里面記載著這樣一個問題。

（教師用多媒體模擬穿越情境，出示《孫子算經》，并作翻頁狀，呈現題目：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？）

師：誰能用自己的話翻譯這個問題？

生1：籠子里有雞和兔，從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳，問雞和兔各有幾只？

師：這就是著名的數學趣題——“雞兔同籠”問題。

【反思】

“雞兔同籠”問題是一道有趣、益智、富有挑戰性的歷史名題，對于初次接觸這類題的四年級學生來說，有一定的難度，如果引入不當，就容易使學生產生畏難情緒，從而失去思考的動力。因此，筆者通過創設穿越情境，把學生帶回古代的數學課堂中，用生動有趣的方式呈現《孫子算經》中記載的“雞兔同籠”問題，讓學生產生代入感，激起學生的興趣?？梢?，在課堂教學中，創設生動有趣的問題情境是激發學生積極思考的重要途徑。

2.大膽猜測，激發學生思維的主動性

師：你知道雞和兔各有幾只嗎？我們來猜一猜吧！

生1：有10只雞、6只兔。

（由于數據太大，且該生沒有抓住“共35個頭”這一要點，便胡亂猜了一組數據）

生2：錯了、錯了。

師：你怎么知道他說的是錯的？

生2：因為雞和兔一共有35只，他的答案中雞和兔一共才16只，肯定不對。

師：題中哪一信息反映了雞和兔一共有35只？

生2：上有三十五頭。

師：誰再來猜一猜？

生3：有15只雞、20只兔。

師：他猜得對不對呢？

生4：算一算總腳數是不是94只。雞有2只腳，兔有4只腳，15×2+20×4=110（只）腳。還是沒猜對。

【反思】

猜測是一個人思考的開始，也是發明創造的開始。學生應敢于猜測、勤于猜測、善于猜測，并在“猜測→驗證→再猜測→再驗證”的過程中靈活思考。以上教學環節，在“隨意亂猜→抓住要點猜→根據結果猜”的過程中，學生的思維實現了從無序到有序、從片面到完善的變化。因此，在課堂教學中，猜測、驗證是學生主動探求知識、激發思維主動性的重要方式。

3.化繁為簡，提高學生思維的靈活性

師：看來不好猜呀！那我們把數據改小一點，好嗎？把35個頭改為8個頭，把94只腳改為26只腳，如何？

生1：這樣就好猜多了。

師（出示表1）：現在大家不用猜了，可以直接用列表法找出正確的答案。

表1 雞、兔及其腳的數量

生2：我先從1只雞、7只兔算起，發現總腳數多了，就依次增加1只雞，減少1只兔，第三次就得出3只雞和5只兔的總腳數一共是26只（如表2）。

表2 雞、兔及其腳的數量

生3：我先從7只雞、1只兔算起，發現總腳數少了，就依次減少1只雞，增加1只兔，最后得出3只雞和5只兔的總腳數一共是26只（如表3）。

表3 雞、兔及其腳的數量

生4：我先對半算，4只雞和4只兔一共有24只腳，比26只腳少了2只腳，就減少1只雞，增加1只兔，這樣總腳數就剛好是26只了，所以籠子里有3只雞、5只兔（如表4）。

表4 雞、兔及其腳的數量

師：剛才同學們在填表時，都是邊填邊調整的。誰能說說你是怎樣調整的？

生5：總腳數少了，說明兔少了，應該增加兔的數量，減少雞的數量；總腳數多了，說明兔多了，應該減少兔的數量，增加雞的數量。

師：在調整的過程中，你們還發現了什么？

生6：我發現把1只雞換成1只兔，總腳數就會增加2；相反，把1只兔換成1只雞，總腳數就會減少2。

師：那如果想增加4只腳，該怎么辦？

生7：增加2只兔，減少2只雞，也就是把2只雞換成2只兔。

師：如果要減少10只腳呢？

生8：把5只兔換成5只雞。

師：看來同學們不但通過列表法找出了答案，還弄清了雞和兔的腳數中隱藏的秘密。

【反思】

當學生躍躍欲試時，教師引導他們用列表法尋求正確的答案。學生有了先前猜測的經驗，列表時就能做到有序填數、不斷調整，部分學生還想到了取中間數以更快尋得答案。學生在列表、試數和不斷調整的過程中，逐步發現雞和兔的只數變化會引起總腳數變化，為下面學習假設法做好思維鋪墊。因此，在課堂教學中，當學生的思維受到沖擊或出現混亂時，教師適時地引導學生化繁為簡、化難為易，降低思考難度，是提高學生思維靈活性的重要手段。

4.數形結合，培養學生思維的抽象性

師：除了列表法，還有沒有別的方法可以解這道題呢？

生1：還可以用畫圖法。

師：畫圖法既形象又直觀，是個不錯的方法。

生2：可以用○表示頭，|表示腳。

師：那就請同學們嘗試用畫圖法解決這道題。

生3：我先把26只腳全部畫好，再用頭去配，配2只腳的就是雞，配4只腳的就是兔，也能得到籠子里有3只雞、5只兔。

生4：我先全部畫成雞，這樣一共有2×8=16（只）腳，還差10只腳，再逐一給原本的雞添上2只腳，一共給5只雞添上了腳，變成了5只兔，所以有3只雞、5只兔。

生5：我的畫法與生4的相反，我是先全部畫成兔，這樣一共有4×8=32（只）腳，多出了6只腳，再逐一給原本的兔擦去2只腳，得出有3只雞、5只兔。

師：為什么你們都是2只腳2只腳地添上或擦去呢？為什么不添1只腳或擦1只腳呢？

生6：因為一只兔比一只雞多2只腳。

【反思】

畫示意圖可以幫助學生理解所學內容。畫圖的過程實際上就是用假設法的過程。可見，在課堂教學中，教師適時引導學生使用畫圖法，讓形象的圖形與抽象的數字有效結合，是培養學生思維抽象性的重要方法。

5.極端假設，增強學生思維的嚴密性

師：你能用算式把畫圖過程表示出來嗎？

[學生邊回答，教師邊板書。假設全是雞：8×2=16（只），26-16=10（只），4-2=2（只），兔有10÷2=5（只），雞有8-5=3（只）］

師：你們看懂了嗎？有沒有問題想問？

生1：“4-2”是什么意思？為什么是“10÷2”？

生2：因為兔有4只腳，雞有2只腳，“4-2”表示兔比雞多2只腳。

生3：這里假設全是雞，一共才有16只腳，比題目中的26只腳少了10只，要把10只腳2只2只地添上，可以添給5只雞，所以這5只雞就變成了兔。

師：誰能再把整個算式的意義說一說？（學生回答，教師用多媒體演示畫圖過程）

師：聯系剛才畫圖的過程，這算式就容易理解多了。我們還可以假設8只全是兔，你會解嗎？

（學生列式解題）

師：這三種方法其實都是先假設，再根據腳的只數進行調整。你會選哪種方法來解這道題呢？為什么？

生4：用列表法和畫圖法來解這道題太麻煩了，用假設法比較方便。

師：現在請你們用假設法去解決與它相似的題目吧！

【反思】

假設法對學生，尤其是基礎不好的學生來說理解起來很難。筆者先引出列表法，為后面教學假設法做好鋪墊。另外，筆者引導學生通過對列表法的理解，利用假設法來解決問題。由此可見，在課堂教學中，合理運用假設法可以使難以解決的問題變得簡單。學生經歷了假設的過程，有利于掌握解題技能，增強數學思維的邏輯性與嚴密性。筆者認為，本課的不足之處在于教學內容的取舍方面?？紤]到四年級學生的認知水平，“雞兔同籠”問題具有一定的挑戰性，要使每位學生充分經歷探究的過程，教學時還需要給學生留出更加充足的時間。因此，在改進本課教學時，教學內容需調整，可以將兩道練習留到練習課來講，這樣學生就有更充足的時間進行自主探究、合作交流。

在“雞兔同籠”教學中，師生共同探討了三種不同的解法：列表法、畫圖法和假設法。讓學生認識、理解、運用假設法是本節課的重點，也是難點。為此，教師引導學生以表格中數據的變化規律為探究基礎，以小組合作、師生互動為探究方式，以課件動態演示為輔助手段，巧妙地將認知經驗和思維過程轉化成數學算式，從而形成了一般解題策略，發展了學生的思維水平和推理能力。

在交流的過程中，學生感受到數學思想方法的運用與解決實際問題的聯系，受到多種數學思想方法的熏陶，提高了解題能力和信心，進而體會到數學思想方法的價值。在課堂教學中，教師要善于捕捉教學資源，靈活改進教學方式，運用多樣的教學手段給學生提供思考的平臺，從而有效促進學生數學思維能力的全面發展。