內角和定理的分層練習教學法初探

山東濱州實驗學校（256600）張淑華

“自己有一桶水，才能給學生一瓢水。”教師必須知識淵博，見識不凡，同時具備優秀的教學設計能力，只有這樣才能在教學中高屋建瓴，從大局出發，從細微處著眼，將精細的知識點合理巧妙地融合成知識體系，才能科學恰當地拓展學生思維，做到點到即止，恰到好處。為了提高三角形內角和專項練習的效率，筆者主要采取分層練習教學法，將單一的練習題做了延伸，使其覆蓋面更廣。現將試教的成果整理如下，供各位同行參考。

一、基礎練習熱身

練習1.請判斷下面哪組的三個角能組成一個三角形。

①70°、60°、50° ②65°、65°、50°

③37°、53°、100° ④90°、40°、50°

（學生仔細分析研判每組角的度數，發現①②④三組角的和均為180°，判定它們可以組成三角形。與此同時，進一步仔細觀察后發現，②組組成的三角形實為一個等腰三角形，而④組組成的三角形則是一個直角三角形。）

師（追問）：能畫出④組數據所表示的三角形嗎？（學生畫圖）

師（挑出兩個大小不一的直角三角形投影到電子白板上）：為什么大小不一呢？

生1：因為邊長可以靈活伸縮。

師：換言之，三角形的三個角永恒不變時，什么可以千差萬別？

生2：面積大小以及各邊的長。

（教師利用投影儀，將兩個三角形的最小內角（40°）疊放在一起，然后沿水平方向平移較大三角形的直角邊，與另一個三角形的非平行邊相交形成一系列的組合直角三角形（如圖1）。）

圖1

師：仔細觀察這些組合而成的直角三角形，哪些元素發生了變化？哪些元素維持原樣？

生3：三角形的大小在變，但是三角形的三個內角沒變。

練習2.推算圖2中各個三角形中∠B的大小。

圖2

（學生獨自列式計算后，教師組織交流活動，并點撥學生根據②③④這三幅圖的形體特征歸納便捷算法。）

【評析】通過運用“三角形內角和”定理推算內角，讓學生迅速回顧舊知。值得肯定的是，教師讓學生依據直角三角形的三個內角大小畫出三角形圖案，這貌似一個不起眼的畫圖舉動，實際上隱喻了“相似三角形”的概念。學生在畫圖、對比、反思中發現，雖然三個內角始終恒定，但是邊長卻可以任意伸縮。通過投影顯現三角形的三條邊伸縮比例是同頻同步同比的，這也隱含了相似三角形對應邊成比例的定理。之后推算內角度數的練習，及時鞏固了內角和定理，稍帶回顧了特殊三角形的內角分布等知識。

二、拓展練習訓練

1.利用內角和定理推算外角

電子白板顯示一：內外有別，用三角形內角和定理可以推算它的外角，這叫內外兼修。

師（出示圖3）：圖3中的∠1、∠2、∠3都是延長三角形一邊所得，稱為三角形的外角。請同學們按要求答題。①分別推算出每個三角形中指定角的大小。②觀察分析運算結果和所有角的度數，看看有沒有什么規律可循。

圖3

（學生獨自思索、演算，組內磋商，再交流反饋）

板書：圖形①，先計算∠1的鄰補角，180°-30°-30°=120°，再從平角中剪切得∠1=180°-120°=60°。圖形②直觀反映出∠2為直角，因此它的鄰角應該是直角的補角90°，于是根據內角和定理推知∠A=90°-30°=60°。圖形③，先根據外角求出內角∠C的度數，180°-110°=70°，再運用內角和定理求值，∠A=180°-30°-70°=80°。

生：三角形的外角正好等于不相鄰的兩個內角之和。

師：有根據嗎？敢肯定嗎？

（學生復核后確認。教師用光標點擊圖形①的C點，使其變成動點（A、B仍為定點），并沿著BC所在直線向右平移，使學生親眼看見外角∠1由小到大的動態變化過程，而不相鄰的內角∠A也會隨之變化。）

【評析】教師引進外角的真實用意是讓學生通過觀察、利用外角與鄰近內角的互補性以及對三角形內角分配的影響，掌握內角和定理。學生從中發現三角形的外角等于不相鄰的兩內角之和，這是自主探究的收獲。讓學生經歷觀察發現規律的過程，有效歷練了學生的自主探究能力。

2.利用三角形內角和研究多邊形的內角和

師：三角形內角和不但可以解決外角的問題，還能解決多邊形的內角和問題。

電子白板顯示二：運用三角形內角和來推導多邊形的內角和定理。

名稱圖形內角和三角形180°四邊形 五邊形 六邊形 ………………n邊形

要求：①觀察表中各圖有幾個內角；②請你想辦法求出各圖的內角和；③尋找規律，探討計算公式；④組內交流。

生：四邊形沿著一條對角線可分割成兩個三角形，因而它的內角和是2×180°=360°；從五邊形的一個頂點出發，沿著2條對角線可將其分割成三個三角形，因此它的內角和是3×180°=540°；從六邊形的一個頂點出發，沿著三條對角線可將其分割成四個三角形，因此它的內角和是4×180°=720°……

師（在表中的圖上演示對角線連接法）：按規則把圖形分成幾個三角形后再計算，你們從中發現了什么規律？

（學生對比歸納類推，概括出“n邊形”的內角和公式——（n-2）×180°。教師呈現“凹凸”兩種多邊形，以四邊形和五邊形為例（如圖4）。）

圖4

師：它們的內角和是否還能沿用上述公式？

（教師用圖示法，使學生領悟這里的凹多邊形仍然可以沿用上述公式求內角和（如圖5），只是分割時要從凹點引線。）

圖5

師：這個公式是否對任意凹多邊形都管用？（暗示學生課后繼續研究）

【評析】設計多邊形內角和問題，用意是讓學生通過觀察、嘗試、計算、分析，發現共性，提煉公式，豐富學生的數學操作活動經驗。歸納凸多邊形的內角和公式難度不大，但教師并沒有止步于此，觸角繼續延伸到凹多邊形，引導學生探究發現提煉出的公式“凹凸”通用，唯一不同的是，將凹多邊形切分成三角形時，必須從凹點引線。教師用一個問題“這個公式是否對任意凹多邊形都管用？”將研究范圍延伸至課外。

三、由靜到動，深化理解

1.研究頂角的變化

師：任意三角形的內角和始終是180°。圖6是一個直角三角形。

圖6

師：現將頂點沿著高線上下平移，先后形成三角形AB1C和三角形AB2C（如圖7）。

圖7

師：觀察三角形AB1C和三角形AB2C，它們的內角較之前有什么變動？平移頂點后形成的兩個三角形是什么三角形？

（學生獨自思索，合作探討后匯報展示。）

生1：三角形AB1C的頂角縮小，底角變大。原圖演變成銳角三角形。

生2：三角形AB2C的頂角變大，底角縮小。原圖演變成鈍角三角形。

師：發揮想象，若繼續加大平移幅度，原三角形的頂角和底角會呈現什么變化趨勢？

生：頂點越往上移動，頂角越小；頂點越往下移動，頂角越大。

2.研究與圓有關的三角形內角的變化

師：剛才頂點是沿著高豎直移動，假如沿著圓弧移動，會是怎樣呢？

師（先投影一個圓，再畫直徑AB，在圓弧上任意取點C，并連接CA、CB，組成一個三角形，如圖8）：這樣內接在圓內的三角形會是什么形狀？

圖8

（學生不斷畫圖試驗，發現所畫的三角形均為直角三角形。）

師：在圓弧上隨意定點C，連接CA、CB，得出的三角形ABC仍是直角三角形嗎？

（學生探究核查）

師：對比這些直角三角形，直角對應一條半圓弧，另外兩個銳角對應的弧線合起來也是一條半圓弧，因為這兩個銳角的和也是90°。

師：在圓外隨意取點，再來連接三角形。此時的三角形又是什么形狀？是什么三角形？

（學生操作探究，發現所得的三角形都是銳角三角形，如圖9。）

圖9

師：請大家再在圓內取點，所得的三角形會是什么形狀？

（學生又經過反復操作探究，發現其形狀是鈍角三角形，如圖9。此時學生無比興奮。）

師：過一個鈍角三角形的鈍角頂點，到對邊畫出垂線，與圓弧相交于C點，這一點與A、B連接成的是一個直角三角形。

師：通過剛才的操作，你明白其中原委嗎？

【評析】在“圖形與幾何”教學中做到化靜為動頗費功力。一般在展示動圖之前，應先讓學生對靜態圖形進行觀察和想象，再來演示，這樣就能使演示的圖形與學生的設想形成對應。教師先讓學生觀察探究三個靜態的三角形，再動態演示頂點上下平移，讓學生直觀感知頂角變化帶來底角變化的過程，然后讓學生想象加大平移幅度后的情景，為研究圓與三角形的相關知識進行了預熱。