巧妙設計認知沖突
——以實施“中位數”教學為例

江蘇常州市龍錦小學（213000）王程程

認知沖突指的是人們在認知發展過程中，當原有概念（或認知結構）與現實情境不相符時在心理上所產生的矛盾或對立。這種沖突會成為學生學習道路中的障礙，會給學生的新知學習帶來困難。如果教師能巧妙設計和利用認知沖突，便能喚起學生的求知需求，激發學生的學習興趣，由此推進新知的探究過程。

平均數、眾數和中位數是小學數學的三個基本統計量，這三個統計量可讓學生體會到數學在現實生活中的廣泛應用，從而促進學生將數學充分應用在日常生活中。在統計學上，平均數、中位數、眾數都是描述數據的集中趨勢的特征數，但是它們反映的數據基本特征有所不同，它們從不同角度提供了同一組數據的真實面貌，因此它們有著不同的含義和適用范圍。小學生的思維能力比較薄弱，要準確使用這三個統計量有一定的難度。本文主要闡述如何借助學生已有的“平均數”知識和熟悉的生活情境巧妙設計認知沖突，進而引導學生比較和辨析“中位數”，從而明確其本質。

一、利用舊知，引發沖突，促進探究

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“數學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。”建構主義也認為，學習并不是簡單地將知識進行堆砌，而是新舊知識和已有經驗的相互作用而發生的知識重組和知識網的重建。這些都告訴我們，在教學中要關注學生的學習起點。在學習中位數以前，學生就在三年級認識了平均數，初步了解了平均數的概念；四年級又進一步學習了平均數，掌握了平均數的含義及其求法。其中，教材中的“平均數”的課后練習“你知道嗎？”引導性地提出：“在演唱比賽中，每個評委都要為選手打分。計算選手的得分時，往往要去掉一個最高分和一個最低分。這是因為每個評委的欣賞角度不同，每個人給同一位選手打出的分數也就不同。去掉一個最高分和一個最低分，可以剔除一些極端數據，使最后的得分更加公平合理，更能代表選手的實際水平。”這里滲透的解決現實問題的思想為學生日后學習中位數埋下了伏筆。

教師在教學中便可以利用平均數與中位數的特征差異，讓學生產生認知沖突，從而激發學生的求知需求。

[教學片段一］

師：小芳第一次單元測試的成績是85分。學期結束，以這個85分作為小芳的平時成績，你認為合理嗎？說說你的理由。

生1：不合理。一次成績并不能充分體現小芳學習的真實水平。

生2：不合理。我覺得應該用多次單元測試的成績的平均數來代表學期成績。

【設計意圖：從學生熟悉的單元測試成績入手，調動學生參與的積極性，促使學生回顧已學過的“平均數”概念。】

師（小結）：是的，平均數能反映同學們學習的一般水平。（板書：平均數）

師：下面老師帶來了一個實際問題。（展示問題及相關數據，如表1）如果你是應聘者，你會選擇哪家公司？

表1 甲、乙公司員工工資情況單位：元

生3：會優先考慮工資待遇高的公司。

師（追問）：那哪個數據能表示甲公司員工工資的一般水平呢？乙公司呢？

【設計意圖：由工資話題入手，激發學生的學習興趣。】

師：請你算一算。可以使用計算器計算。

（學生獨立完成，教師巡視，收集學生答題過程并展示。）

展示學生作品：

甲公司：（2900+3100+2600+3000+3200+2800+3400）÷7=3000（元）

乙公司：

方 法1：（2200+1800+1900+2400+1700+2000+9000）÷7=3000（元）

方法2：（2200+1800+1900+2400+1700+2000）÷6=2000（元）

方 法3：（2200+1800+1900+2400+2000）÷5=2060（元）

師：對于甲公司，這里求的是什么？它能不能反映甲公司員工的一般工資水平？

生4：由于甲公司6位員工和經理的工資水平相差不多，因此我們可以用7個人的平均工資來反映甲公司員工的一般工資水平。

師：那乙公司呢？我發現有3種解法。為什么要這樣做？

生5：方法1跟處理甲公司的方法一樣，用7個人的平均工資來反映乙公司員工的一般工資水平。

生6：方法1求得平均數3000元，乙公司只有1人的工資超過了3000元，其余6人的工資都低于3000元。因此，平均數3000元不能反映乙公司員工的一般工資水平。

生7：方法2關注到經理的工資9000元遠遠高于其他員工的工資，因此計算時去掉了最高工資9000元，求的是剩下6位員工的平均工資，以此來反映乙公司員工的一般工資水平。

生8：方法3同時剔除了乙公司7個人中的最高工資和最低工資，求出了剩下5位員工的平均工資，以此來反映乙公司員工的一般工資水平。

師：生活中有沒有這樣的例子？是怎么處理的？

生9：生活中我們在算比賽成績時也會去掉最高分和最低分，求出剩下分數的平均分，以此來代表參賽選手的最終得分。

師（小結）：通常，我們可以用平均數來反映一組數據的一般水平，但當這組數據中有極端數據出現時，用平均數來反映就不合適了。

二、借用情境，誘發沖突，激發興趣

利用工資水平的問題情境，讓學生初步感受到并不是所有數據都適合用平均數來表示它們的平均水平，從而引發學生的認知沖突，激發學生繼續探究的欲望。隨后，在特殊情況的教學中，新概念“中位數”便應運而生。

[教學片段二］

師：剛剛乙公司的數據很特殊，有一個極端數據。像這樣的特殊情況還有很多，讓我們再來看看丙公司的數據。

出示表2：

表2 丙公司員工工資情況單位：元

師：你認為丙公司的這組數據特殊在哪？

生1：丙公司里有幾位員工的具體工資不知道，也就是數據不全。

師：那你打算用什么數來反映這組數據的一般水平呢？

（學生獨立思考后小組交流，教師呈現學生的想法。）

師：“去數”是什么意思？這種方法有道理嗎？

生2：“去數”是指去掉極端數據，即在表示這組數據的平均水平時把極端數據去掉。

師：這樣做看上去有點亂，你有什么更好的建議嗎？

生3：可以先排序再“去數”。

師：用最中間的這個數表示丙公司員工的一般工資水平，行不行？

生4：還是有一定的道理的。師：是平均數嗎？

生5：不是。

師：我們叫它中位數。

【設計意圖：借助丙公司員工數據不全的情境，進一步引發學生的認知沖突，激發學生解決問題的欲望，同時引出本節課的學習內容——中位數。】

師：中位數也是反映一組數據一般水平的常用統計量。

師：我們再來看看乙公司，用平均數3000元不能反映乙公司員工的一般工資水平，那用中位數行嗎？

（學生獨立思考）

師：中位數是多少？你有什么發現？

生6：通過排序去數，我得到乙公司員工工資的中位數是2000元，與去掉最小數據和最大數據之后的那組新數據的平均數比較接近。

師：那可以用中位數來反映乙公司員工的一般工資水平嗎？

生7：可以。

師：由此，我們可以看出，當一組數據中有極端數據時，平均數不能客觀反映這組數據的一般水平，這時可以用中位數來反映這組數的一般水平。

三、比較辨析，開掘沖突，認清本質

教育家烏申斯基指出：“比較是一切理解和思維的基礎。”在學習新知時適當運用比較策略，通過鮮明的對比，讓學生產生認知沖突，可以提高學生對知識的運用能力和辨識能力，從而更好地把握知識的本質。

學生剛剛學習了中位數，對其有了初步的認識。為了加強學生對中位數概念的理解，同時讓學生知道在不同的情況下如何正確使用中位數與平均數，可引導學生進行比較和辨析，由此進一步引發學生的認知沖突，促進學生認識平均數和中位數的本質。

[教學片段三］

出示相關數據：

下面是某校3班兩組同學家庭住房的面積（單位：平方米）。

①96、92、90、94、89、91、93、97、95；

②86、84、88、275、82、80、83、81、87。

師：觀察和分析數據的特點，求出兩組數據的平均數和中位數。再想一想，用怎樣的數據來反映每組學生家庭住房面積的一般水平比較好？

生1：數據①的平均數和中位數都是93；數據②的平均數是105，中位數是84，兩者相差比較大。

生2：數據①可以用平均數來反映數據的一般水平；數據②中有個極高數據，大大提高了這組數據的平均數，這時再用平均數來反映數據的一般水平就不合適了。

師：組內數據比較接近，可以用平均數來反映這組數的一般水平。極端數據不僅有極低數據，還有極高數據，有極端數據時用中位數來反映一組數據的一般水平比較合適。平均數比中位數更為精確，它受到數據中每個數據的影響，而中位數比較“粗糙”。

[教學片段四］

出示：

有兩組男生比賽套圈，每組5人，每人有圈20個。以下是兩組男生的得分情況。

第一組：15、18、19、19、17。

第二組：18、19、20、7、4。

師：求出兩組數據的中位數。用什么數來反映這兩組男生的套圈水平比較合適？

生1：第一組數據的中位數是18，第二組數據的中位數也是18。

生2：兩組數據的中位數相同，無法用中位數來比出兩組男生的套圈水平。

師：是的，這里組內的5位男生都是參賽選手，每個人的成績都要算進去，就像我們平時用班級的平均分來反映班級的一般水平一樣。因此，這里并不能用中位數來反映兩組男生的套圈水平。那你覺得用什么比較合適？

生3：平均數！

師：在選擇統計量來反映一組數據的一般水平時，不僅需要考慮數據的特點，還要考慮實際生活的需要。

綜上，通過巧妙地設計認知沖突，使學生在舊知中發現了區別，在探索中發現了新知，在對比中認清了本質。通過本課的設計，我們清楚地看到，對于小學階段所要接觸的三個統計量——平均數、中位數、眾數，教師都可以利用這樣的方法來進行教學。同時，所選的教學案例應盡量選用學生熟悉并感興趣的內容。這樣做便于學生發現數學在生活中的用處，激發學生的參與意識和學習興趣，也讓學生在沖突中探究新知，發展學生的數學思維，最后在沖突中通過比較，更加充分地了解同類概念的聯系和區別。