巧用知識遷移，促進(jìn)“集合”教學(xué)

安徽淮北市教育局教研室（235000）田志鋒

舊知識是新知識的基礎(chǔ)，新知識又是舊知識的延伸。遷移可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的過程中聯(lián)系已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，從而觸類旁通，更好地解決新問題。下面以人教版教材三年級上冊“數(shù)學(xué)廣角——集合”的教學(xué)為例，闡述如何巧用知識遷移助力學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

一、案例回放

1.課堂教學(xué)

師：學(xué)校定于下周五舉行趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，請三年級各班選拔9名同學(xué)參加跳繩比賽，8名同學(xué)參加踢毽子比賽。你認(rèn)為三（1）班要選拔多少名同學(xué)參加這兩項(xiàng)比賽？

生1：根據(jù)條件，得出參加這兩次比賽的總?cè)藬?shù)為8+9=17（人）。

師：參加比賽的總?cè)藬?shù)是17人嗎？你們看看這張參賽學(xué)生名單，發(fā)現(xiàn)了什么？

出示三（1）班參賽學(xué)生名單統(tǒng)計(jì)表：

跳繩踢毽子楊明劉紅陳東于麗劉紅周曉李芳楊明王愛華朱小東馬超李芳丁旭陶偉趙軍盧強(qiáng)徐強(qiáng)

生2：參加跳繩和踢毽子的名單中有一些人重復(fù)計(jì)算了，應(yīng)該把重復(fù)的人去掉。

（師生總結(jié)，得出“重復(fù)”的概念）

師：在這個(gè)統(tǒng)計(jì)表中，你能一眼看出哪幾位同學(xué)參加了兩項(xiàng)比賽嗎？

生3：不容易一眼看出來。

師：能不能想個(gè)好方法，讓人一眼就可以看出參加這兩項(xiàng)比賽的一共有多少人？

生4：在重復(fù)的三個(gè)人的名字下面畫線，提醒只要算一次就可以了。

跳繩踢毽子劉紅楊明陳東于麗劉紅周曉李芳楊明王愛華朱小東馬超李芳丁旭陶偉趙軍盧強(qiáng)徐強(qiáng)

生5：把重復(fù)的三個(gè)人的名字劃去，算完其他的人后，再把這三個(gè)人的名字加上就可以了。

跳繩踢毽子劉紅楊明陳東于麗劉紅周曉李芳楊明王愛華朱小東馬超李芳丁旭陶偉趙軍盧強(qiáng)徐強(qiáng)

生6：把重復(fù)的三個(gè)人的名字拿出來，放在表格外面，最后再加上。

跳繩踢毽子陳東于麗 周曉王愛華朱小東馬超 丁旭陶偉趙軍盧強(qiáng)徐強(qiáng)

楊明 劉紅 李芳

生7：重新畫一個(gè)表格，把只參加一項(xiàng)比賽的寫成兩行，重復(fù)的那幾人，再寫一行。

跳繩踢毽子兩項(xiàng)都參加陳東于麗楊明王愛華周曉劉紅馬超朱小東李芳丁旭陶偉趙軍盧強(qiáng)徐強(qiáng)

生8：用連線法，把重復(fù)的三個(gè)人連在一起，這樣就不會(huì)多算了。

跳繩踢毽子楊明劉紅陳東于麗劉紅周曉李芳楊明王愛華朱小東馬超李芳丁旭陶偉趙軍盧強(qiáng)徐強(qiáng)

……

（學(xué)生給出了各種方法，但始終沒有想出類似“維恩圖”（集合圖）的方法。教師只能出示“維恩圖”，然后介紹其歷史淵源。整個(gè)探究環(huán)節(jié)下來，一節(jié)課已過了一大半。這時(shí)教師加快教學(xué)進(jìn)度，讓幾名學(xué)生說說圖意并列出算式后，便草草結(jié)束課程了。）

2.課后學(xué)生反饋

出示：三（1）班參加合唱興趣小組的有12人，參加舞蹈興趣小組的有18人，兩個(gè)興趣小組都參加的有8人，只參加一個(gè)興趣小組的有（ ）人。

（結(jié)果近一半的學(xué)生用“12+18-8”的方法求出結(jié)果是22人）

師：為什么先把合唱興趣小組和舞蹈興趣小組的人數(shù)加在一起，再減去8人呢？

生1：因?yàn)橛?人既參加合唱興趣小組又參加舞蹈興趣小組，所以要減去重復(fù)的8人。

師：這題沒有要求參加興趣小組的一共有多人。

生2：求的是只參加一個(gè)興趣小組的有多少人，也要把8人減去。

聽了學(xué)生的回答后，筆者感到既可愛又好笑，這個(gè)題目的問題明明和例題的有區(qū)別，學(xué)生卻“死用”例題的方法解答。為什么一節(jié)充滿思維樂趣和探究味的課卻有這樣的教學(xué)效果呢？

二、教學(xué)反思

為什么該教師要這樣安排教學(xué)？集合思想對于學(xué)生來說并不陌生，一年級的“認(rèn)識數(shù)”就蘊(yùn)含著集合思想，如1支鉛筆、2架飛機(jī)、3只小鳥等；“比一比”的教學(xué)內(nèi)容就是通過一一對應(yīng)方法讓學(xué)生建立兩組相等的數(shù)量；數(shù)的運(yùn)算，也可以從集合的角度理解，如加法其實(shí)就是兩個(gè)交集為空集的集合的并集，減法其實(shí)就是求一個(gè)集合與其子集的差集。由此可以看出，學(xué)生在之前已多次接觸過集合相關(guān)知識，按理應(yīng)該不陌生，但細(xì)細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這些知識與本節(jié)課中的帶有重疊部分的“集合”的交集是不同的，再加之集合思想很抽象，本節(jié)課的學(xué)習(xí)對于學(xué)生來說是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)。因此，教師采取了讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程的教學(xué)模式：自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究問題、解決問題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，加深對集合思想的理解。正如弗賴登塔爾所言：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)行‘再創(chuàng)造’，也就是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造要學(xué)的東西；教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生。”

可是這個(gè)“再創(chuàng)造”過程是何等艱難，且不說一些學(xué)生面對這個(gè)問題沒有方法，就是有了方法，也是天馬行空般任意發(fā)揮，而且這種發(fā)揮可能會(huì)隨著學(xué)生“另類”思路的出現(xiàn)，引發(fā)其他學(xué)生想到更“另類”的方法，這直接導(dǎo)致大量課堂時(shí)間流逝在“創(chuàng)造”之中。當(dāng)師生共同探索并得出維恩圖后（更多的是在教師的引導(dǎo)下得出的），也就沒有多少時(shí)間分析和應(yīng)用維恩圖了，特別是沒有時(shí)間深入解讀維恩圖各部分的意思了，致使課堂教學(xué)“頭重腳輕”，自然也就使得學(xué)生對維恩圖的理解只停留在表面。

為什么不從先前的經(jīng)驗(yàn)中找到與之匹配的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，利用遷移開展教學(xué)呢？教育心理學(xué)指出：“遷移是學(xué)習(xí)的一種普遍現(xiàn)象，根據(jù)遷移的作用，幾乎所有的習(xí)得經(jīng)驗(yàn)都可以以各種復(fù)雜的方式相互聯(lián)系起來。”“所有的學(xué)習(xí)都涉及原有經(jīng)驗(yàn)的遷移。”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是如此，當(dāng)學(xué)生面對一個(gè)新情境時(shí)，最先想到的是能不能用已有經(jīng)驗(yàn)來解決這個(gè)問題，或是把這個(gè)問題與原有知識建立起有效聯(lián)系，當(dāng)新知識與舊知識能建立起聯(lián)系之時(shí)，學(xué)生對新知識的接受度便大大提高，課堂參與度也自然提高。

對于維恩圖，學(xué)生到底有沒有前期經(jīng)驗(yàn)？把視角放寬一些，在更廣泛、跨學(xué)科的背景下思考時(shí)，會(huì)有意外的驚喜。對于維恩圖，學(xué)生不僅有經(jīng)驗(yàn)，而且經(jīng)驗(yàn)還很豐富。三年級上冊科學(xué)教材（教育科學(xué)出版社）第3課“大樹和小草”的結(jié)尾（如圖1）就有“把大樹和小草的相同和不同之處記錄在下面的維恩圖中”的說明，并提示“把相同的特點(diǎn)寫在中間，不同的特點(diǎn)寫在兩邊”。這不就給學(xué)生積累了學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)嗎？在這本科學(xué)教材中，一共出現(xiàn)8次利用維恩圖表示了重復(fù)的情況，可見維恩圖的素材是何等豐富！既然有如此的經(jīng)驗(yàn)，為什么不能把科學(xué)中的維恩圖的知識遷移到數(shù)學(xué)中來，讓學(xué)生感受其便捷性呢？

圖1

三、教學(xué)建議

1.改變呈現(xiàn)形式，防止負(fù)遷移

教材中的情境是給出一張統(tǒng)計(jì)表，雖然這樣可以讓學(xué)生清楚地看出人數(shù)，但也有弊端：學(xué)生想重新整理名單時(shí)，會(huì)受表格的影響，從而思維呆板；學(xué)生傾向于在表格里“做文章”，可只是在表格中進(jìn)行修改很難得到答案；學(xué)生的操作沒有教師的指導(dǎo)，冗長低效。對此，可以把表格換成如下語言描述：

參加跳繩比賽的學(xué)生名單：楊明、陳東、劉紅、李芳、王愛華、馬超、丁旭、趙軍、徐強(qiáng)。參加踢毽比賽的學(xué)生名單：劉紅、于麗、周曉、楊明、朱小東、李芳、陶偉、盧強(qiáng)。

表格變成了文字，思維便不再受到限制，空間更廣闊，操作也更方便。學(xué)生可以隨意打亂這些名字，重新組合，便于“創(chuàng)造”出維恩圖。即使得不出維恩圖，學(xué)生也會(huì)在創(chuàng)造中得出更多接近于維恩圖的方式，教師只要抓住其中的有效部分，“順?biāo)浦邸北銜?huì)得出維恩圖。

2.建立問題的語言表征，激活經(jīng)驗(yàn)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是通過語言不斷內(nèi)化、不斷形成和不斷運(yùn)用的過程。語言的合理表達(dá)能提高學(xué)生“數(shù)學(xué)化”的能力，同時(shí)“將一種語言表達(dá)從一個(gè)領(lǐng)域轉(zhuǎn)換為另一個(gè)領(lǐng)域的語言形式，可以溝通知識之間的聯(lián)系，簡化問題解決”。為了更好地讓學(xué)生理解知識，在本課教學(xué)中教師可以讓學(xué)生充分建立問題的語言表征，比如多讓學(xué)生說一說為什么要把“楊明、劉紅和李芳”三個(gè)名字單獨(dú)拿出來，并用“既……又……”的句式表述重復(fù)部分，以激活其頭腦中與之相關(guān)的知識經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在“既……又……”這種關(guān)聯(lián)詞語的表述下，可能會(huì)聯(lián)想到科學(xué)課上所學(xué)習(xí)的有關(guān)維恩圖的知識，繼而想到用同樣的方法來表示參加比賽的人數(shù)。

3.類比聯(lián)想，促進(jìn)正遷移

小學(xué)生年齡小，邏輯思維能力還比較弱，對于一些抽象的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)知識不太容易理解，而利用類比聯(lián)想，能方便學(xué)生用已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識對新知識進(jìn)行比較和分析，進(jìn)而更好地理解和掌握新知識。蘇霍姆林斯基說過：“在我看來，教會(huì)學(xué)生借助已有的知識去獲取知識，這是最高的教學(xué)技巧之所在。”這與教育界頗為盛行的“為遷移而教”不謀而合。

學(xué)生在學(xué)習(xí)“集合”之前，已有多次利用維恩圖解決問題的經(jīng)驗(yàn)，那么教師就可以通過類比聯(lián)想激活與此有關(guān)的知識經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)學(xué)生會(huì)用“既……又……”的句式表達(dá)后，教師可利用問題“該怎樣表示這種有重疊部分的情況？之前有沒有遇到過此種情況？來“勾出”學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在問題的引領(lǐng)下，會(huì)不自覺地把新知識融入原有的知識結(jié)構(gòu)中，在“已經(jīng)知道”的知識與“需要知道”的知識之間架構(gòu)橋梁。接著，教師出示科學(xué)教材“大樹和小草”的內(nèi)容，此時(shí)，相似的結(jié)構(gòu)特征成為解答這個(gè)問題的有效線索，促使學(xué)生聯(lián)想維恩圖的知識。通過這種類比聯(lián)想的過程，不僅能得出維恩圖這一方法，還能提高學(xué)生的邏輯思維能力，促進(jìn)學(xué)生更好地理解和掌握知識，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)效率。

4.具體匹配，轉(zhuǎn)換問題

新舊知識之間可能存在著差異，這就需要學(xué)生在遷移時(shí)的具體匹配中既要發(fā)現(xiàn)其相似之處，又要分析其不同之處。當(dāng)學(xué)生能夠從科學(xué)教材中的維恩圖遷移到“學(xué)生參賽人數(shù)的問題”時(shí)，教師可引領(lǐng)學(xué)生思考：原來的維恩圖都是記錄兩種東西的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，現(xiàn)在想要表示各自人數(shù)及重復(fù)人數(shù)，該怎么辦？同時(shí)讓學(xué)生“討論—填寫維恩圖—列式計(jì)算—解決問題”，著重說一說“8+9-3”“8-3+9”和“5+6+3”中的“+3”和“-3”的道理，以及各算式的具體含義，體會(huì)交集、并集和差集。“隨著對數(shù)學(xué)問題的深入分析，這個(gè)數(shù)學(xué)問題與來自外部和長時(shí)記憶的信息不斷進(jìn)行‘接觸’，對不匹配的部分進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，繼而推動(dòng)了數(shù)學(xué)問題的一步步解決。”

5.改組認(rèn)知結(jié)構(gòu)，再次遷移知識

遷移理論認(rèn)為，學(xué)生對一般規(guī)律和概括性知識的掌握是通過最初學(xué)習(xí)時(shí)運(yùn)用各種變式達(dá)到的；同時(shí)又認(rèn)為，只有學(xué)生認(rèn)識到一個(gè)規(guī)律可運(yùn)用于各種不同的情境，并形成在各種不同的學(xué)習(xí)情境中運(yùn)用這些規(guī)律和知識的意識，這些規(guī)律和知識才算真正被掌握而具有現(xiàn)實(shí)價(jià)值。當(dāng)學(xué)生理解了集合思想后，教師應(yīng)及時(shí)總結(jié)和概括解題的策略和方法，再讓學(xué)生完成一道變式練習(xí)題：根據(jù)學(xué)校要求，每班要選拔5名學(xué)生參加跑步比賽，3名學(xué)生參加跳遠(yuǎn)比賽，你覺得三（1）班可能會(huì)選拔多少人參加比賽？學(xué)生會(huì)利用剛習(xí)得的維恩圖的知識審視練習(xí)，得出可能有8人、7人、6人和5人（如圖2）。至此，前面維恩圖的經(jīng)驗(yàn)通過順應(yīng)，被充實(shí)到新的知識經(jīng)驗(yàn)中，同時(shí)新的解題活動(dòng)也加深了學(xué)生對前面維恩圖的理解。

圖2

綜上，學(xué)生在遷移中溝通了新舊知識的聯(lián)系，讓知識的形成更加自然，從而加深了對知識的理解，完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)在新舊知識的啟發(fā)、類比及聯(lián)想中鍛煉了思維，提升了能力。數(shù)學(xué)課堂也隨著學(xué)生的有效遷移更高效、更靈動(dòng)。