從“雞兔同籠”問題看小學數學建模

廣西河池市都安瑤族自治縣地蘇鎮中心小學（530715）黃家平

在小學數學教學中滲透模型思想，可以幫助學生將抽象的數學知識轉化成直觀的表象，建立經典的數學模型，與相關知識相結合。當學生接觸相關知識時，就會不由自主地浮現出與之配對的模型，進而通過對模型的直接經驗來反推數學理論，最終掌握數學知識的本質。數學模型思想，就是先將同類數學問題歸納概括出其主要特征，再根據主要特征將解答流程和分析步驟全部設計成固定程序，形成專門應對這類問題的解法。這樣一來，就把問題改建成了模型，凡是結構與原理相似的所有題型都可以運用這種方法解決，這一過程我們稱之為數學建模。現以小學數學中的“雞兔同籠”問題為例，談一談如何培養小學生的建模意識。

一、對比教材，追根溯源

眾所周知，“雞兔同籠”問題的模型是二元一次方程組，這是到中學才涉獵的內容，然而，“雞兔同籠”問題卻編排在小學教材中。北師大版第九冊“嘗試與猜測”這一章節中，主要借“雞兔同籠”問題講授列舉法。蘇教版第十一冊僅僅將“雞兔同籠”問題變為一道練習題，借機傳授“假設和替換”的解題策略。以上兩版教材都只是將這部分內容作為案例或是以練習的形式編入教材中。人教版第八冊的“數學廣角”將“雞兔同籠”問題作為一個獨立的章節，教材對問題的來源、基本解法及應用范圍解釋得很詳細。而北京版則分兩次編排，第一次在第八冊，主要介紹圖表法，只是觸及問題的表層，算是小試牛刀，雖然沒有直接推出算式法，但是已經做好了足夠的鋪墊和預設，算法呼之欲出；第二次安排在第九冊，提出方程思路，讓“雞兔同籠”問題借助方程模型完美詮釋。

追根溯源，“雞兔同籠”問題來源于《孫子算經》一書：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這道趣味數學題對小學生來說，是否存在建模的可能？試想，如果在教學時，我們照本宣科，就題論題，那么學生的思維將很難得到發展，學生也很難掌握“雞兔同籠”問題的精要所在。我們不妨通過問題的來源激發學生的興趣，引發學生探究的強烈動機，再揭示課題，最終滲透建模的數學思想。

二、分層建模，從“頭”算起

【例題1】一個鐵籠里關著紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔若干只，從上面看有3個頭，從下面看有8條腿，紅腹錦雞有幾只？荷蘭侏儒兔有幾只？

由于題目中的頭數和腿數均較少，因此教師可這樣引導：“你們猜測一下，紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔各有幾只呀？猜測的依據是什么？闡述一下自己的依據。”然后留出充裕的時間讓學生深入思考。

生：紅腹錦雞有2只，荷蘭侏儒兔有1只。因為1只紅腹錦雞有2條腿，那么2只紅腹錦雞就有4條腿，還剩4條腿，所以只有1只荷蘭侏儒兔。

【例題2】一個鐵籠里關著紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔若干只，從上面看有6個頭，從下面看有20條腿，紅腹錦雞有幾只？荷蘭侏儒兔有幾只？

此時要求學生可以猜測推理，可以畫圖推導，也可以列出算式計算，或直接用算術法。相比例題1，例題2的各項數據變大了，可有些學生還是依賴于猜測推理，以6個頭為前提，從1只紅腹錦雞和5只荷蘭侏儒兔開始推演，不斷調整雞、兔的數量，直到腿數符合要求為止；有的學生則采取居中原則，將雞、兔的只數平分，從3只紅腹錦雞和3只荷蘭侏儒兔起算；有的學生則從1只荷蘭侏儒兔和5只紅腹錦雞開始算，并列出表格（如表1）。

表1 紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔的只數情況

有的學生直接用畫圖（如下圖）的方法把6個頭都看成是紅腹錦雞的頭，或把6個頭都看成是荷蘭侏儒兔的頭。

這時，教師溝通了列表法和畫圖法之間的聯系——形式不一，但是內涵和原理是一致的，都采用了假設法。借助學生的圖示，初步形成解決這類問題的策略，于是教師制訂粗略的解題程序。

（1）將所有的動物全部看成紅腹錦雞或荷蘭侏儒兔，算出虛擬腿數。

（2）與實有腿數比較，算出差額。

（3）根據腿數的差額，在頭數保持不變的前提下，給某幾只動物增減腿數，使其變成另一種動物。

（4）確定最終數量，求出紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔各幾只。

【例題3】一個鐵籠里關著紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔若干只，從上面看有8個頭，從下面看有26條腿，紅腹錦雞有幾只？荷蘭侏儒兔有幾只？

要求學生自選方法，獨立解答。由于學生已經有了列表法和畫圖法作為架子，建立了穩固的表象，后有方法溝通建立了統一的認識，概括提煉出了假設的基本思路，因此在解答例題3時，算術法已經呼之欲出，順理成章。此時學生不僅能列出正確的算式，而且對算理也說得頭頭是道。

生：假設全是紅腹錦雞，那么腿有8×2=16（條），腿數相差26-16=10（條），4-2=2（條），荷蘭侏儒兔有10÷2=5（只），紅腹錦雞有8-5=3（只）。

教師通過三個層次的逐步推進，數據由小變大，難度逐漸升級，方法由初級到高級，由直觀到抽象，由列舉推演到邏輯推理，可謂一步步將學生引入“雞兔同籠”問題的正解中。這個過程體現了循序漸進、螺旋式上升的教學結構，始終保持不變的主線就是“假設”的主體思路。

三、抽象概括，建立模型

在數學學習中，抽象概括能力是核心素養之一，是形成方法和制訂步驟的重要保障，也是數學建模的基礎。抽象是從許多同類事物中提取共性，過濾掉非本質因素，并加以認識的思維活動。在數學中，抽象表現為抽取數量關系，提煉出幾何性質。當學生在頭腦中形成基本的數量關系后，教師還需加強引導，幫助學生厘清數量關系。在學生能初步用假設法解答“雞兔同籠”問題后，教師要注意引導學生關注“雞兔同籠”這類問題的基本特征，以及描摹出數量關系的框架。首先是已知兩個未知量的和，以及兩個未知量的不同倍數和，分別求兩個未知量；其次是揭示解題方法以及原理依據，即假設法的設計思路；最后是帶領學生深度思索：“哪些問題可以劃歸為‘雞兔同籠’問題？”

在學生普遍感到困惑時，教師可以帶領學生繼續研究類似的“鱷鴨同游”和“雞豬同行”問題，并發問：“‘雞兔同籠’問題有什么獨特之處？‘雞兔同籠’問題只能是雞兔嗎？”經過前后對比分析，學生就能發現：“紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔同籠”問題不只是紅腹錦雞、荷蘭侏儒兔同籠的問題，換成其他品種的雞和兔子也行，甚至換成其他動物也行，只要兩種動物一種是兩肢，另一種是四肢即可，如雞豬問題、牛鴨問題。甚至繼續抽象，只要兩種同屬事物的相同部位存在2和4的配比，都可認定為“雞兔同籠”問題，如汽車和自行車的輪子問題。

隨后，繼續抽象，剝離同種事物的束縛，只抽象出數據，甚至2和4的配比都可以更改，如“存錢罐里儲存著5元和2元兩種面值的鈔票，數一數一共有8張，合計34元，存錢罐里面值5元和面值2元的鈔票各有多少張？”的題目，探討其與“雞兔同籠”問題的相關性。

經過比較和分析，學生的思維再次得到提高，有學生說：“這里面值2元的鈔票就相當于紅腹錦雞，而5元的鈔票就相當于荷蘭侏儒兔，只不過這只‘兔子’長了5條腿。”

最后，教師讓學生廣泛聯系生活，將熟悉的事物編寫成“雞兔同籠”問題，而且是“變異紅腹錦雞與變異荷蘭侏儒兔同籠”的數學問題，也就是徹底解除2和4的配比限制。

課堂總結時，教師向學生提出問題：“通過對‘雞兔同籠’問題的研究，你獲得了哪些啟示？”概括地說，即從某一個問題出發，先研究解法，然后推廣到所有類似問題，建立基礎模型，最后不斷抽離情境條件，逐漸提煉出數學問題。

回顧上述教學，在對“雞兔同籠”問題的深度思考過程中，盡管每次思考的問題和方法不同，究其本質都是逐漸幫助學生建模的過程。第一層次著眼于單一的“雞兔同籠”問題，主要是激發學生的解題動機；第二層次則指向“雞兔同籠”這一類問題的基本結構和解題策略，形成一種初步的數學化思維；第三層次是抽象化的“理論模型”建構，剝離一切外在情境和非本質因素的束縛，建立完全抽象化的數學理論模型，其涵蓋面更廣。

四、拓展延伸，助力建模

幫助學生較為理想地建構起基本的數學思維模型，以及問題解決的思維模型，是一個極其復雜的教學過程，也是一個跨時較長的艱難歷程。故而，在“雞兔同籠”問題的教學中，教師不僅要做到上述三個層次，更要跳出這三個層次。盡管這個時候學生已經較為系統地抽象出數學模型，獲得了一定的解決“雞兔同籠”問題的經驗，但是教師還得嘗試把這一問題進行拓展、延伸，以擴充學生的學習容量，給予他們更多的學習體驗。

1.介紹同類問題的不同現象

首先，利用現代多媒體技術展示一則數學故事，并引導學生進行閱讀。在閱讀中學生發現，中國古老的“雞兔同籠”問題也會漂洋過海，搖身變為《算法童子問》中的“狗與章魚的故事”。進而引導學生思考：“這是數學問題嗎？如果是，那么與‘雞兔同籠’問題是一樣的嗎？”

其次，引導學生探究這個問題，嘗試用已經掌握的數學思維模型去提煉和研究。學生將故事提煉為“一群狗與一堆章魚在玩耍，遠遠望去，有著15個頭，看看地上，有著88條腿。這里的章魚和狗各有多少只？”，學生開動腦筋，運用前面積累的經驗和形成的解題模型去研究問題。有的采取畫圖策略，畫出15個圓圈代表頭數，在每個圓圈下畫上4條豎線，代表4條腿。假設全是狗，通過計算發現多出88-4×15=28（條）腿。為什么會多出腿呢？因為章魚有8條腿，這樣學生就會在部分圖案上再補上4條腿，也就得出章魚的只數和狗的只數了。

最后，教師還可以向學生介紹“龜鶴”問題，引導學生進行有效的學習遷移，讓他們去審視該問題與前面的“狗與章魚的故事”“雞兔同籠”問題的本質聯系，從而讓學生在趣味化的學習中更好地解決數學問題。

2.研究變式問題的基本規律

除了讓學生將問題進行遷移，教師還得再度拓展問題，以激發學生個性化學習的動力，讓“雞兔同籠”問題的模型建立得更扎實、更牢靠。

比如，設計出這樣一類問題：趙小亮參加科學知識競賽，一共50道問題，搶答對1題可以得到2分，答錯則要倒扣1分。比賽結束后，趙小亮得到85分。趙小亮答錯了多少題？在這里需要學生更進一步地閱讀與思考，讓他們深入理解“答錯則要倒扣1分”的本質。經過自主思考和同伴互動學習，學生在思維交鋒中悟出：倒扣1分，就是在獲得的分數中減去1分，本質就是每答錯1題，失去的分數是1+2=3（分），問題的核心堡壘被攻克，解決它就水到渠成了。

綜上所述，數學學習要讓學生經歷數學建模的完整過程，掌握數學建模的整套科學流程。當學生學會建模之后，他們對待問題的站位會更高，眼光會更開闊，能窺一斑而知全豹。當然，這個過程不是一蹴而就的，需要長期積累。