例談數學活動的優化

浙江湖州市德清縣實驗學校（313200）何瀟瀟

數學活動經驗需要學生邊做邊想才能有效積累，不僅如此，只有科學合理的活動才有利于學生積累經驗。科學合理的數學活動應該是有提問、有目的、有流程、有順序的，而不是漫無目的、只圖熱鬧好玩的。課堂上，經常出現這樣的現象：教師精心設計了數學活動，以為學生可以通過活動積累有用的經驗，但一些學生只顧著操作玩耍、盲目模仿，根本不動腦筋思考。

一、案例分析

【案例1】在教學“平行四邊形的面積公式”時，教師設計的操作活動流程如下：（1）經過平行四邊形的一個頂點作高；（2）將平行四邊形沿高剪開，分割成一個三角形和一個梯形；（3）水平移動三角形，至另一角，將圖形拼成一個長方形。然后教師指導學生觀察圖形剪接前后哪些元素不變，并讓學生思考如何推導面積公式。

【分析與思考】

該案例中的操作活動有些形式化。學生只是一板一眼地按照教師的要求操作，從不思考“為何要沿著高剪開？”“沿著高剪開的目的是什么？”。由此可見，學生在操作中根本沒有反思、批判、質疑、創新等思維活動，只是被動執行教師的命令，多樣化的探究和優化過程被省略，根本沒有數學化、理論化的經驗生成。沿著高裁剪平行四邊形，這只是一種方案，但推導平行四邊形面積公式時存在多種方案。案例1中的活動規定束縛了學生的思維。

【案例2】讓學生解答“快遞員騎摩托車從東城出發到西城派件，去時速度為80千米/時，返回時速度為100千米/時，快遞員騎摩托車往返的平均速度是多少？”。

【分析與思考】

學生的經驗運用存在機械化現象。大多數學生解題時列式為（100+80）÷2=90（千米/時）。學生的理解是“（去時速度+返回速度）÷2=90（千米/時）”。這折射出學生將對平均數的理解與對平均速度的理解合二為一，錯將速度的平均數當成往返平均速度處理，他們對求平均值中的“移多補少”的理解有偏差，積累的經驗是片面的。計算往返的平均速度的正確方法應該是“往返總路程÷往返總時間=往返平均速度”，而往返一次的總路程和所用的總時間是未知的，可通過假設的策略處理。

將生活情境轉化為數學模型后，由于形式發生巨大變化，導致學生無法適應，放著現成的情境模型不知如何運用，于是就脫離現實全憑直覺解題，這樣勢必會出錯。

【案例3】讓學生解答“王華打車前往5千米外的郊外參加學校組織的夏令營活動，‘順風車’的起步價是8元（3千米以內），超過這個基本服務里程，每超過1千米加收1.5元。王華一共要付多少元？”。

【分析與思考】

解答時存在生活經驗無效化現象。大部分學生都能正確求解，但仍有學生列式為8+1.5×5。主要是因為學生缺少類似的生活經驗，碰到生活問題時就按自己的思維方式去思考，缺乏對生活問題的主動思考與探究，導致不能有效運用生活經驗解決數學問題。

【案例4】讓學生解答“星期天，高中生周淑華和林紅霞相約在上午8點準時從家中騎自行車出發，前往位于她們兩家之間的體育場。周淑華每分鐘行駛150米，林紅霞每分鐘行駛180米。當她們在體育場門口相遇時，發現這里距離兩家中點120米。她們兩家之間相距多少米？”。

【分析與思考】

學生的閱讀理解存在膚淺化現象。面對這個問題，很多學生的思考都是不到位的，甚至還有部分學生無從下手。他們還嘀咕著“這是個相遇問題，應該要知道速度和時間，速度是知道了，可是不知道時間呀，怎么計算呢？”，也有部分學生直接寫出算式（150+180）×120。

筆者以為，這種現象的出現一定不是偶然，是因為學生缺乏必要的深度思考意識，以及對基本的數學思想方法的感悟、應用經驗，從而出現“不知所以然”等不良現象，最終導致沒有用數學思維來思考，沒有促進學習研究的開展。

二、優化措施

1.自主操作，優化方法

對于操作活動而言，必須要有抽象提煉的過程，才能形成有用的活動經驗。因此，在教學活動中要著重培養學生“思考—動手—反思”的操作習慣。以教學“三角形的內角和是180°”為例。

操作前確定目標，然后思考怎么做才能達成這一目標，對操作步驟做出科學設計。教師可以先組織學生按角的類型將三角形分類，讓學生思考問題：為什么三角形只需含有一個直角（或一個鈍角）就可以直接確定其為直角三角形（或鈍角三角形），而需要含有三個銳角才能確定其為銳角三角形？這與什么有關？學生一般會猜到與三角形內角和有關。教師接著追問：“如何操作才能探明三角形的內角和是多少？”學生交流后確定方案：先準備若干個任意形狀的三角形紙片，測出各三角形三個角的度數，再求和；也可以折疊紙片，將三個角拼湊到一處，看看組成一個什么樣的角。這樣帶著目的的方案設計，就能使學生積累有用的經驗。

探索不同的操作方案。在各個小組中，鼓勵、支持學生采取不同的方案開展研究，有的采用測算法，有的采用拼組法。在測算活動中，教師給每組學生提供類型各異的三角形，便于學生發現普遍規律，形成全面的認知。學生通過操作，又有了新的疑問：三角形內角和可能是接近180°，未必就正好是180°。教師提問：“看來測算法不靠譜，還有什么更加先進的方法嗎？”有的小組展示了折疊法、割補法的過程，目的是將三個內角拼湊到一起，組成平角，由此證明了三角形的內角和是180°。為了再次確認，教師通過動畫演示，讓學生建立了正確的表象。

注重操作方法的優化比較。優化方案中，學生會對各種操作方法的運行原理進行客觀全面的分析，從而正確評估和判斷整個實驗活動的科學性和合理性。

2.準確分析，拓寬思路

在解決實際問題的活動中，學生分析數量關系、建立模型的經驗欠缺，教師應該從最基礎的部分開始，指導學生冷靜細致地分析數量關系，然后正確巧妙地建立模型。

3.改建模型，辨析矯正

實際問題數學化后，學生只會借助情境分析問題，離開情境就不會分析，一旦抽離具體情境，學生解決問題時要么違反基本常識，要么無法正確利用數學公式，導致解題過程非常復雜煩瑣。如情境“以下是歡樂谷各種游戲項目的定價：深海潛艇每船每小時8元（每船核載4人），旋轉飛機每架每次6元（每架核載2人），原始部落每小時2元，百步穿楊每射出10支弓箭3元，過山車每人5元，3D動感影院每小時5元。請你思考：用10元最多可以玩幾個項目？”由于缺少生活體驗，學生認為“玩單人項目，盡可能選便宜的，就能玩更多項目”，所以大部分學生選擇的項目是原始部落、百步穿楊、過山車。

針對這一答案，教師可以模擬游玩情境，提示學生：“在生活中，人們一般是組團出游，結伴游玩。可以4人組隊坐游艇，這樣可以分攤票價。”通過交流，學生意識到可以選擇多人項目，分攤費用。于是學生的思路發生根本性的轉變，由“參加單人項目，選最便宜的”到“選擇多人項目，分攤票價”。數學來源于生活，活動經驗也要與生活實際掛鉤。在教師的點撥和指引下，學生寫下了“8÷4=2（元）（深海潛艇），6÷2=3（元）（旋轉飛機），2元（原始部落），3元（百步穿楊），10=2+3+2+3，因此，最多可以玩4個項目”，解決了問題。由此可見，數學教學中，生活經驗的積累可以促成數學經驗的積累。

學習中學生難免犯錯，教師如果善加利用，讓學生對錯誤進行分辨糾正，那么經過這一訓練后，學生的思維也會有所改善和進步。在六年級數學教學中，對于“正方形的面積與邊長是否成正比例”這一問題的判斷，學生出錯率居高不下。這說明學生的思維活動經驗非常欠缺。有的學生看錯題目，將面積看成周長。有的學生對比例理解不到位，認為面積是邊長的倍數，但是卻不知它們的比值（商）為邊長，是個變量。

教師不妨從以下方面入手幫學生積累經驗。首先是鞏固“比例的意義”知識，讓學生明白正方形的面積與邊長是兩種相關聯的量。其次是分辨易混點，讓學生能夠區別正方形的面積與邊長、正方形的周長與邊長的關系。學生仔細比較就會發現，正方形的面積÷邊長=邊長，正方形的周長÷邊長=4，差別非常明顯，正方形的面積除以邊長之后所得的商還是邊長，邊長是個變量，而正方形的周長除以邊長，所得的商為4，4是個定量，前者不符合正比例的定義，后者則符合。

4.深度閱讀，方法優先

滲透基本的數學思想方法于教學中，讓學生在相應的學習中感知數學思想方法的存在，并在系列活動中領悟數學思想方法的存在，是小學數學教學的核心使命之一，也是夯實學生“四基”的重要抓手。故而，在上述案例4的教學指導中，教師就要立足學生的思維特征，引導學生更好地解讀線段圖的表征，以此來助推學生對學習的理解，加深學生對數形結合數學思想方法的感知，從中探尋到問題信息之間的本質聯系，找到解決問題的突破口，實現學習的更新升級。

（1）指導閱讀，達到“其義自見”的效果。

閱讀是兒童走進知識世界的金鑰匙。在小學數學學習中，閱讀對于學生而言有著舉足輕重的作用。回溯前面的案例4，正視學生出現的種種不足，特別是面對那些一直說著“沒法做”“還差時間”的學生時，教師就得把教學的重心下移，指導學生閱讀，力爭達到“其義自見”的效果。

引導學生自主閱讀、同伴互助閱讀，力求通過閱讀真正尋覓到問題的核心信息，找到突破問題的蛛絲馬跡，為理性地解析問題提供堅實的閱讀理解基礎。經過討論與思維碰撞，學生找到關鍵點“在距離中點120米處相遇”，進而明確兩人騎車行駛的基本軌跡，讓隱藏的關系、暗含的信息在閱讀中顯露出來，成為他們畫圖釋義的有力支撐。

（2）引導畫圖，實現“圖窮匕見”的奇效。

緊接著，學生在閱讀理解的基礎上，較為準確地畫出線段圖。同時，也在畫圖中不斷感悟“周淑華速度慢，則她行駛的路程比總路程的一半少120米，反之林紅霞行駛的路程比總路程的一半多120米，二者一比，就能得出林紅霞比周淑華多走了2個120米”。對于問題“是什么原因造成如此局面？”，學生很自然地聯想到閱讀的成果，并運用它來解決問題，問題也就迎刃而解了。

總之，數學活動經驗的積累是非常重要的，教師既要善于發現學生經驗的不足，又要有改進的對策，這樣才能促使學生的經驗不斷積累。