基于二階滑模的永磁同步電機抗負載擾動控制研究*

苗敬利，馬晨浩

(河北工程大學 信息與電氣工程學院，河北 邯鄲 056038)

0 引言

永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Machine，PMSM)無負載傳感器控制技術節省了力傳感器，降低了系統成本，減小了電機體積，增強了系統的抗穩定性、適應性等，廣泛應用于航空航天、交通運輸、機器人等場合[1，2]。永磁同步電機的特點是多變量、強耦合和非線性，因此傳統控制器雖結構簡易，調節方便，但容易受負載擾動以及電機內部參數變化的影響，不能滿足精準快速的控制要求[3-5]。因此，眾多學者一直在尋找更好的方法來設計控制器以及觀測器。經過大量的研究發現，滑模變結構控制技術能夠解決這些問題。這種控制方法可通過不斷切換控制量使系統狀態沿著滑模面滑動，使得系統在受到參數攝動或者外干擾時具有不變性，這種控制算法的優點是簡單、魯棒性好和可靠性高[6-8]。

文獻[9]采用了指數趨近律的速度環滑模控制,并且根據速度誤差設計了可變趨近率參數,減小了穩態誤差,加快了速度響應。文獻[10]采用了基礎的冪次趨近律加入指數項的控制方法來加快系統速度和滑模的控制,加快了對系統動態響應的速度。文獻[11]基于超螺旋算法設計了二階無位置傳感器的控制方案,該控制方案有效抑制了抖振,免去了低通濾波器,降低了成本。由于電機在運行過程中不可避免地會發生負載擾動，文獻[12]提出了一種基于轉矩電流前饋補償的具有抗負載擾動性能的控制方案,在對降階觀測器研究的基礎上,提出了一種改進的觀測器,能有效地提高負載轉矩觀測器的收斂效率。文獻[13]通過在滑模面中引入狀態的積分量,設計了一種可以用來增強系統抗擾動能力和魯棒性的積分型滑模控制器。文獻[14]主要提出設計了一種二階滑模控制算法,不但保留了滑模控制的優點,而且也消弱了電機的抖振現象。文獻[15]設計了一種Luenberger負載觀測器，當電機負載擾動變化時，可有效估計負載狀態。

本文針對電機抗負載擾動問題以及由滑模控制的電機抖振問題,提出一種基于積分滑模面的二階速度滑模控制器,以提升系統控制的性能,并基于滑模的方法來設計負載觀測器,對轉速環電流進行補償,以降低負載變化對系統的影響。

1 PMSM數學模型

對于永磁同步電機在同步旋轉坐標系(d-q坐標系)下的數學模型，其電壓方程表示為：

(1)

其中：ud、uq分別為定子電壓的d、q軸分量；id、iq分別為定子電流的d、q軸分量；R為定子的電阻；ψd、ψq分別為定子磁鏈的d、q軸分量；ωe為電角速度。

定子磁鏈方程為：

(2)

其中：Ld、Lq分別為d、q軸電感分量；ψf為永磁體磁鏈。

將式(2)代入式(1)，可得定子電壓方程為：

(3)

電磁轉矩方程為:

(4)

其中：Te為電磁轉矩；pn為極對數。對于表貼式三相PMSM，電感滿足Ld=Lq=Ls，Ls為定子電感。

機械運動方程為:

(5)

其中：J為轉動慣量；ωm為電機的機械角速度；TL為負載轉矩；B為阻尼系數。

注意到以下幾個參數的關系：

(6)

其中：Nr為電機的轉速;θe為電角度。

2 二階滑模速度控制器設計

2.1 控制律設計

二階滑模控制不易受到參數變化的影響，并且采用積分型滑模面，能夠有效過濾微分對系統產生的噪聲。設電機給定轉速為n*，實際轉速為n，定義:

(7)

將式(4)、式(7)代入式(5)可得：

(8)

設積分滑模面為：

(9)

其中：c1>0，c2>0，分別為比例增益與積分增益。

在滑模控制中，如果系統帶有不確定性，或者是帶有外加干擾，一般采用的控制律為等效控制與切換控制的和，即：

u=ueq+uvss.

(10)

其中：u為滑模控制率；ueq為等效控制項；uvss為切換控制項。

由式(10)設計本文等效滑模控制律為：

iq=iqeq+iqvss.

(11)

(12)

(13)

其中：iqeq為iq等效控制項；iqvss為iq切換控制項；l1>0，l2>0，g1>0，g2>0,均為控制器所需的增益系數。

2.2 穩定性證明

設李雅普諾夫函數為：

(14)

由式(8)和式(9)可得:

(15)

(16)

結合式(9)、式(12)、式(13)可得:

(17)

(18)

由式(14)的導數、式(17)與式(18)可得:

(19)

由式(9)得:

(20)

3 滑模負載觀測器設計

為減少抖振，本文用sat函數代替sign函數，滑模負載觀測器狀態方程為:

(21)

設滑模面s2為:

(22)

由式(4)、式(5)與式(21)可得:

(23)

搭建的滑模負載觀測器模型如圖1所示。

圖1 滑模負載觀測器模型

為確保觀測器的穩定性，做出以下證明來約束參數的范圍。由李雅普諾夫方程得滑動模態發生的廣義條件為：

(24)

將式(23)代入式(24)可得：

(25)

當e1>0時，sat(x)∈[0,1],取sat(x)=1，則：

.

(26)

當e1<0時，sat(x)∈[-1,0],取sat(x)= -1，則：

.

(27)

(28)

根據線性定常系統穩定分析可得式(28)成立的條件為k2<0。

(29)

求解式(29)得：

(30)

由式(30)可以看出，擴展滑模觀測器具有一階濾波的特性，可以有效濾除不準確的觀測值。

4 仿真驗證與分析

為了驗證控制器與觀測器設計的有效性，本文使用MATLAB/Simulink軟件進行了仿真測試。電機選型為表貼式永磁同步電機，電機內部參數如表1所示。本系統控制框圖如圖2所示，調速系統采用id=0的矢量控制方式。本系統控制參數取值為:c1=1，c2=40，l1=500，l2=500，g1=0.001，g2=0.001，k1=-10 000，k2=-20。仿真設置采用定步長ode3算法，步長為2×10-7s，仿真時長為0.4 s。

表1 電機參數

5 仿真結果分析

電機空載啟動，給定轉速為1 000 r/min，在0.2 s時對電機施加5 N·m的負載，輸出的轉速波形與使用PI速度控制器的轉速波形對比如圖3所示。可以看出二階積分滑模控制器的轉速輸出無超調，響應速度更快，魯棒性強；在0.2 s時由于加入負載，負載從0 N·m上升到5 N·m，轉速發生了波動，較PI控制器的轉速輸出，二階積分滑模控制的系統轉速降落小，且轉速恢復所需要的時間更短。

圖4為兩種控制器下電機的電磁轉矩波形對比，本文控制器下的電磁轉矩最高達到27 N·m，而PI控制器下的電磁轉矩最高達到了30 N·m。當負載轉矩發生變化時二階滑模控制器的響應速度更快。

圖2 系統控制框圖 圖3 兩種控制器轉速波形對比 圖4 兩種控制器電磁轉矩波形對比

圖5和圖6分別為兩種控制器下的系統電流變化對比。由圖5和圖6可得：PI控制器下的id峰值電流為5.5 A，二階滑模控制器下的id峰值電流為2 A,同時三相電流的峰值也有所減小,電流達到穩態所需時間更短。

圖5 兩種控制器下電流id的對比 圖6 兩種控制器下三相電流ia、ib、ic的對比

圖7和圖8為不同負載下的負載觀測波形，對比了本文設計的飽和函數與傳統切換函數下的波形。圖7(a)為階躍負載，在0.2 s時加入，圖8(a)為正弦負載，在0 s時加入。由圖7和圖8可以看出：sign函數下的觀測值抖振劇烈，噪聲大；而sat函數下的觀測值抖振小，觀測值更加精確。

圖7 階躍信號負載時采用飽和函數和切換函數下的負載觀測波形

圖8 正弦信號負載時采用飽和函數和切換函數下的負載觀測波形

6 結論

本文采用積分型滑模面設計了二階滑模速度控制器，對永磁同步電機的轉速控制器進行了設計，并設計了滑模負載觀測器，用飽和函數取代切換函數，將負載觀測值反饋給速度控制器，減小了速度的抖振。通過仿真實驗，與傳統PI控制器進行了對比，驗證了本文設計的系統算法具有較高的快速性、準確性以及抗負載擾動性。