運用剛體的不形變特性求解相關運動學問題

2022-05-26 10:23:10王偉民

數理化解題研究·高中版 2022年5期

摘要：分別用微元法、確定瞬心法和根據“剛體上任意兩點的速度在這兩點所確定直線方向上的分量相等”等方法，對一個運動學問題進行解析;并通過解析該問題的一個變式，將解決問題的方法推廣至一般情形.

關鍵詞：圓弧;微元;瞬心;分量;剛體

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）13-0089-03

例題1如圖1所示，細棒AB水平放置在地面，A端緊挨著墻面，C為AB棒的中點.現讓棒的A端沿著墻面勻速上移，當B端與C點的速度大小相等時，AB棒與水平地面的夾角為（）.

A.30°B.45°C.60D.90°

分析在細棒AB按題目所給條件運動過程中，棒的兩端點分別在豎直墻面和水平地面上運動，細棒與墻面和地面始終圍成一個直角三角形，因為直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，所以，棒AB的中點C到直角頂點O的距離始終等于AB長度的一半，因此，在棒AB的整個運動過程中，其中點C的運動軌跡是以O為圓心，棒長一半為半徑的四分之一圓弧.我們用多種方法對該問題進行解析——

解法1——微元法

解析如圖2所示，設棒長AB=L，在棒運動過程中的某一時刻，棒AB與水平地面的夾角∠ABO=θ，此后在時間元內，A端運動一段微元dL到E，與此同時，B端在水平地面運動到D，棒的中點C沿弧線運動到H.

先確定端點B速度的大小.

BD=Lcosθ-L2-（Lsinθ+dL）2

=Lcosθ-L2-L2sin2θ-2LdLsinθ-（dL）2

≈Lcosθ-L2-L2sin2θ-2LdLsinθ

=Lcosθ-L2cos2θ-2LdLsinθ

=Lcosθ-Lcosθ1-2LdLsinθL2cos2θ

≈Lcosθ-Lcosθ+dLsinθcosθ

=dLtanθ

∴vB=vtanθ

再確定AB中點C的速度大小.

圖2中，分別過E和B作EF∥OB，BF∥DE，兩線相交于F，則四邊形EFBD為平行四邊形，∴BF=DE，∵DE=AB=L，∴BF=DE=L.

設∠HOC=dθ，則∠ABF=∠AGE=∠HDO-∠HBO=∠HOB-∠COB=dθ，

∴△OCH∽△BAF（同為等腰三角形），

∵OC=12AB，

∴CH=12AF=dL2cosθ

∴vC=v2cosθ

當vC=vB時，v2cosθ=vtanθ

∴sinθ=12，∴θ=30°.

故，本題的正確選項是A.

解法2——確定瞬心法

剛體轉動問題中，在剛體上取任意兩點，過這兩點分別作這兩點在某一時刻運動方向的垂線，兩垂線的交點便是該時刻剛體轉動的速度瞬心.

解析如圖3所示，設棒AB在運動過程中的某一時刻，它與水平地面的夾角為θ，分別過A、B作AD⊥OA，BD⊥OB，兩線交于點D，則D為該時刻棒AB的瞬心，易知四邊形ADBO是矩形，其對角線的交點便是AB的中點C，當B、C兩點的速度相等時，有DC=DB

∵CD=12AB=BC，∴CD=DB=BC，

∴∠DBC=60°，∴θ=30°

解法3——根據“剛體上任意兩點的速度在這兩點所確定直線方向上的分量相等”進行求解

由于剛體不形變，所以，剛體在運動過程中（包含平動和轉動），剛體上任何兩點之間的距離保持不變，因此，剛體上任意兩點在任意時刻的速度在這兩點確定直線方向上的分量始終保持相等.

解析如圖4所示，伴隨棒AB的不停運動，棒上各點也在不停的運動.其中點C的運動軌跡是以O為圓心，12AB為半徑的圓弧，所以C的運動方向垂直于OC.在棒AB的運動過程中，端點B和中點C的運動速度在AB方向上的分量相等，所以，當vC=vB時，vC和vB與AB的夾角相等，都是θ

∵OC=CA=CB

∴∠COB=∠CBO=θ

∴∠2=∠3

∵∠2=∠1

∴∠1=∠2=∠3=60°

∴θ=30°

比較三種解法可以發現，后面的兩種解法比較簡潔.我們不妨利用第三種方法對例題1的一個變式進行求解.例題2如圖5所示，細棒AB水平放置在地面，A端緊挨著墻面，C為AB棒的中點.現讓棒的A端沿著墻面勻速上移，當C點速度大小是B端速度大小的n倍時，AB棒與水平地面的夾角是多大？（結果可以用反三角函數表示）圖5

解析由上面解法三的分析可知，在圖5中α+β=90°，α=2θ.因為vB和vC在AB方向上的分量相等，所以有：

vBcosθ=vCcosβ

∵vC=nvB

∴cosθ=ncosβ

∴cosθ=nsinα

∴cosθ=nsin2θ

∴cosθ=2nsinθcosθ

∴sinθ=12n

∴θ=arcsin12n

可以看出，當n=1時，θ=arcsin12n=arcsin12=30°，這正是例題1給出問題的答案.

實際上，例題1給出的問題只是例題2問題的一個特例，因此，例題2對應的問題是例題1對應問題的更具一般性的推廣.

參考文獻：[1]