一類具有奇異靈敏度和邏輯源的趨化
——消耗模型經(jīng)典解的全局存在性

林金霞

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充 637009)

其中Ω是Rn(n≥2)中的一個(gè)光滑有界區(qū)域，參數(shù)χ>0，μ>0，k>2，γ>0，r∈R,函數(shù)f(u)∈C1(R).在齊次Neumann邊界條件下，對(duì)于弱消耗情況下的趨化模型，本文將證得其經(jīng)典解的全局存在性.

0 引言

本文考慮如下具有奇異靈敏度和邏輯源的趨化-消耗模型：

(1)

1970年Keller和Segel[1]建立了經(jīng)典的生物趨化模型，主要用于刻畫細(xì)胞對(duì)趨化-交叉擴(kuò)散產(chǎn)生的奇異反應(yīng)的聚集行為.接下來(lái)將介紹一些關(guān)于細(xì)胞趨化模型的相關(guān)結(jié)果，

(2)

下面是一些關(guān)于具有奇異靈敏度的生物趨化模型的相關(guān)結(jié)論：

(3)

再次回到趨化-消耗模型：

{ut=Δu-χ?·(uφ(v)?v)+κu-μuk,x∈Ω，t>0

(4)

本文將考慮模型(1)，其主要目的是研究弱消耗對(duì)解的全局存在性的影響.本文假設(shè)參數(shù)χ>0,μ>0，r∈R，對(duì)于任意的s>0，函數(shù)f滿足

(5)

初始值滿足

(6)

本文的主要結(jié)果如下：

定理1 假設(shè)Ω∈Rn(n≥2)是一個(gè)具有光滑邊界的有界區(qū)域，在初始值滿足(6)的條件下，當(dāng)χ>0，μ>0，k>2，γ>0，r∈R，函數(shù)f滿足(5)時(shí)，模型(1)的經(jīng)典解全局存在.

1 相關(guān)引理

先介紹解的局部存在性.

引理1 假設(shè)q>n，f滿足(5)式.那么對(duì)于任意滿足(6)式的初始值(u0,v0)，都存在Tmax∈(0,∞]和如下一對(duì)唯一確定的函數(shù)對(duì)(u,v)

和

是模型(1)在區(qū)域Ω×(0,T)上的解，且使得當(dāng)Tmax<∞時(shí)有

‖u(·,t)‖L∞(Ω)+‖v(·,t)‖W1,q(Ω)→∞,t→Tmax

(7)

此外，對(duì)于任意x∈Ω,t∈(0,T)存在：

u≥0,0

(8)

證明：通過(guò)運(yùn)用適當(dāng)?shù)牟粍?dòng)點(diǎn)框架和標(biāo)準(zhǔn)的拋物正則性理論[17-18]可以得到模型解的局部存在性，唯一性和(7)式的延拓性的結(jié)論.因?yàn)槌跏贾禎M足(6)式，則可以利用類似于文獻(xiàn)[19]的方法得到u≥0.因?yàn)閡的非負(fù)性，則通過(guò)對(duì)模型(1)的第二個(gè)式子運(yùn)用比較原則可以得到0

其次介紹本文會(huì)用到的一些不等式

(9)

為了證明定理，將給出以下一些先驗(yàn)估計(jì).

引理3 假設(shè)(u,v)是模型(1)的一個(gè)解，指數(shù)k>2，那么存在常數(shù)m0,M1>0使得

(10)

和

(11)

成立.

證明：對(duì)模型(1)中的第一個(gè)等式進(jìn)行積分并對(duì)其運(yùn)用H?lder不等式可以得到

新鄉(xiāng)賢統(tǒng)戰(zhàn)：基層統(tǒng)戰(zhàn)工作的整合拓展與全新模式——以浙江省縣以下實(shí)踐為案例 ……………………………………………… 許 軍（4·76）

(12)

2 定理證明

(13)

以上假設(shè)易知w≥0.

接下來(lái)將通過(guò)證明w具有一個(gè)依賴于時(shí)間的上界，從而證得v有一個(gè)依賴于時(shí)間的下界.

引理5 令n≥2，函數(shù)f滿足(5)式，則存在常數(shù)K3>0，使得

v≥C(t)=‖v0‖L∞(Ω)e-K3(1+t),(x,t)∈Ω×(0,Tmax).

證明：由模型(13)的第二個(gè)式子和(5)式可得

接下來(lái)對(duì)上式利用熱半群估計(jì)[16]可知存在一個(gè)常數(shù)c1>0，使得

因此可以很容易證得‖v(·,t)‖L∞(Ω)≥‖v0‖L∞(Ω)e-c3(1+t),t∈(0,Tmax).

那么引理5就得證了.

引理6 令n≥2，函數(shù)f滿足(5)式，則對(duì)任意的p>1都存在常數(shù)C0,C(T)>0使得

(14)

證明：結(jié)合模型(1)的第一個(gè)式子，對(duì)(up)t在Ω上積分可得

對(duì)上式運(yùn)用Young不等式和引理5可推出，存在常數(shù)C(T)>0使得

通過(guò)整理有

(15)

(16)

(17)

首先，利用文獻(xiàn)[22]中的方法對(duì)(17)式右邊的第一項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)可得，存在常數(shù)c>0使得

(18)

然后，利用分部積分，Young不等式，不等式|Δv|2≤n|D2v|2和引理1對(duì)(17)式右邊的最后一項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)

(19)

將(18)式和(19)式代入到(17)式中整理可得

(20)

引理7 令n≥2，函數(shù)f滿足(5)式，那么對(duì)任意的p>0都存在一個(gè)常數(shù)C1>0使得

(21)

其中C0和C(T)均同于引理6中的C0和C(T).

證明：首先利用Young不等式對(duì)(21)式不等號(hào)左邊的第一項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)可得，存在常數(shù)ε,c1,c2>0使得

(22)

(23)

聯(lián)合(22)式和(23)式可得

(24)

其中c5=c2+c4.由引理1和引理2可得

令C1=c5，則引理7得證.

引理8 令n≥2，函數(shù)f滿足(5)式，那么對(duì)于任意的p>1，都存在常數(shù)c6>0使得

‖u(·,t)‖Lp(Ω)+‖?v(·,t)‖L2p(Ω)≤c6,t∈(0,T).

證明：結(jié)合引理7和引理8的式子可以推出

(25)

因?yàn)閜>1，通過(guò)利用引理4和(10)式可得，存在常數(shù)c7,c8>0使得

(26)

將(26)式代入到(25)式可得

(27)

其中c11=C1+c10.則引理8得證.