含憶阻器混沌電路系統和量子隨機行走的圖像加密算法

趙少卿，崔 巖，王春娥，王申鵬，盧晨輝

(上海工程技術大學 機械與汽車工程學院，上海 201620)

0 引言

隨著對混沌電路系統研究的不斷深入，新型混沌電路系統的建立和發展變得尤為重要[1-4]。電氣設備中含有記憶功能的元器件因其豐富的非線性特性，被廣泛地用于混沌電路結構設計，含有憶阻元件的混沌電路模型的建立與分析也是近幾年混沌電路領域的一個新興發展方向。文獻[5]首次在Chua電路中用分段線性憶阻器代替Chua電路中的二極管，實現了含憶阻器的混沌電路設計。文獻[6]基于文氏橋電路，通過元器件替換，設計了一種含憶阻器的超混沌電路系統，并展現出豐富的混沌特性。但是早期學者對含有憶阻器電路系統的研究僅是基于原有的經典電路系統[7-8]。直到2019年，文獻[9]設計了一種新型的基于記憶電阻-記憶電容的混沌電路系統。文獻[10]提出了一種基于記憶電阻的、具有多重穩定性的混沌電路系統。文獻[11]設計了一種含荷控記憶電容的混沌電路系統。然而，上述簡單電路系統只包含一個存儲記憶元件，目前關于含多個記憶元件的混沌電路的研究較少，特別是包含不同種類記憶元件的混沌電路系統。本文提出了一種兼容串、并聯電路的含混沌電路系統，即憶阻和憶感的串聯電路與憶阻和憶電容組成的并聯電路。該電路模型結構簡單，易于實現，且具有7種不同的吸引子形態，能夠較好地展現混沌系統所具有的非線性特性，不論是對含記憶元件的混沌電路特性分析還是對系統所具有的混沌特性加以運用，都具有廣闊的應用場景。本文以所建立的簡單混沌電路模型為基礎，通過對不同種吸引子形態的選用，生成對應混沌條件下的混沌序列，完成對圖像的加密工作。

量子隨機行走在加密通信領域有著廣泛的應用[12-16]，特別是圖像加密、圖像處理方向更是受到研究者的重視[17-18]。量子加密技術相比于傳統的加密技術具有加密速度快[19]、加密效果好[20]等優勢。量子隨機行走方法源于經典的隨機行走，于1993年由Aharonov等學者提出，后又將其細分為離散量子行走和連續量子行走。本文主要研究的是離散量子隨機行走算法，并在混沌置亂加密的基礎上，根據其生成的隨機概率分布矩陣進一步完成對圖像的置亂。

1 含記憶元件的混沌電路系統建立

Chua所定義的憶阻器模型能夠描述為[21]：

(1)

其中：x為憶阻器的輸出；y為憶阻器的輸入，為憶阻器的狀態； G(.)、H(.)則對應不同種類的記憶元件。基于式(1)所述的模型，本文設計了一類含有兩個憶阻元件的簡單電路，一種是基于記憶電阻和記憶電感的串聯電流控制電路(見圖1a)，另一種是基于記憶電阻和記憶電容的并聯壓控電路(見圖1b)，如圖1所示。

(a) 含記憶電阻和記憶電感的串聯電流控制電路 (b) 含記憶電阻和記憶電容的并聯壓控電路

圖1中：LM和CM分別為記憶電感和記憶電容；M為記憶電阻。LM(CM)和M在同一個電路系統方程中以G(.)和H(.)表示。通過分析圖1中含記憶元件的串并聯電路，能夠得出式(2)所示的混沌方程：

(2)

在式(2)中，G(.)和H(.)由式(1)定義，C(u)由式(3)所定義[22]：

(3)

(4)

(5)

令式(5)中的參數a=0.001,b=0.005,c=0.5,e=4,β=1，改變參數d,r,α的值能夠得到7種不同類型的吸引子形態，每種混沌吸引子在一定的初始條件下都能得到4組不同的混沌序列，為后續的圖像加密算法的數據基礎。表1計算并給出了7種不同吸引子所對應的系統參數、李雅普諾夫指數及分形維數。

表1 7種不同吸引子所對應的系統參數、李雅普諾夫指數及分形維數

2 加密算法的提出

2.1 量子隨機行走

本文所研究的量子隨機行走方式為離散隨機行走，可以表示為：

H=Hw?Hc；

(6)

(7)

Si|x〉=|x+(-1)c〉，

(8)

其中：c=0,1。式(8)可以理解為：當投擲狀態為|0〉(|1〉)時，量子行走者向右(左)一個單位。本文研究量子行走者在x,y兩個方向上的隨機行走狀態，可以表示為：

(9)

|ψ0〉=|φ0〉w?(cosα|0〉+sinα|1〉)c。

(10)

行走N步后，系統狀態可以表示為：

(11)

量子行走者出現在某一坐標點(xxyy)的概率[21]為：

(12)

2.2 加密過程

以三色(red green blue，RGB)圖為例，簡要說明所提出算法的加密步驟。

步驟1：讀入圖片矩陣P，將圖片的R、G、B這3個顏色分量分離成3個M×N矩陣(M，N為圖片大小)，記為P-R，P-G，P-B。

步驟2：在所建立混沌電路系統的7種混沌吸引子模型中(共28個混沌序列)，通過一維量子隨機行走方法，隨機選擇3個，用于圖像加密的混沌序列，通過龍格-庫塔方法對序列進行迭代，使序列長度達到2×M×N,并將獲得的混沌序列結果處理使其取值范圍為[0,255]，最后將其分為等長的兩部分，分別記為S1，S2，S3和S11，S22,S33。

步驟3：用Arnold方法對原圖像P-R，P-G，P-B進行置亂操作，同時將置亂后的3個置亂矩陣同S1，S2，S3進行正向擴散，正向擴散結果保存為B1，B2，B3，然后將B1，B2，B3同S11，S22，S33進行逆向擴散，將結果保存為B11，B22，B33。

步驟4：確定了量子行走系統參數N，α，β后，通過在x,y方向上的量子隨機行走，生成隨機概率分布矩陣P，同時將其大小調整為P1：

P1=resize(P,[mn])。

(13)

通過式(14)將P1內部元素的大小固定在[0,255]內，并得到P2：

k=fix(ReP1×1012)mod256。

(14)

步驟4：將P2中元素降序排列得到檢索向量V，通過向量完成對B11，B22，B33的置亂重排、生成，最后將C11,C22,C33合并輸出，得到圖像加密后的密文矩陣C。

3 仿真與計算結果分析

(a) Lena(原圖) (b) Baboon(原圖)

(c) Lena(密文) (d) Baboon(密文)

3.1 直方圖分析

圖像的直方圖可直觀地說明圖像像素矩陣中各個顏色分量(R、G、B通道)的灰度值分布狀態。為了抵御破譯者的明文攻擊，密文圖像的直方圖必須是均勻的，且和加密前圖像(明文圖像)的直方圖有較大的區別。圖3為圖像R通道的直方圖分析結果，其中，圖3a和圖3b分別為明文圖像R通道的直方圖分析結果；圖3c和圖3d分別為密文圖像R通道的直方圖分析結果。由圖3可知：相比明文圖像，密文直方圖更均勻，無法從密文圖像本身的灰度信息與已知明文的統計規律相比較，因此很難對密文進行破譯，從而認為本文所提出的加密算法具有抵御統計分析攻擊的能力。

(a) Lena明文圖像R通道的直方圖分析結果 (b) Baboon明文圖像R通道的直方圖分析結果

(c) Lena密文圖像R通道的直方圖分析結果 (d) Baboon密文圖像R通道的直方圖分析結果

3.2 信息熵與加密質量分析

信息熵用來描述圖片的復雜性，是度量信息隨機性的一類重要指標，對于強度在0～255的RGB彩色圖像，信息熵的理想值為8。圖像的加密質量(encryption quality，EQ)定義如式(16)所示，對于大小為512 pixels×512 pixels的圖片，EQ的最大值為1 024。

(15)

(16)

表2 密文信息熵分析

其中：xi為某一顏色通道中的某一灰度值；P(xi)為xi在該顏色通道中的比例；HL(E)和HL(I)分別為灰度級L在密文圖像和明文圖像中出現的次數。表2和表3分別計算得到了圖片經過本文所述加密算法前后信息熵的對比和圖像的加密質量(EQ值)，分析數據不難認為：本文所述加密算法能夠實現對圖像的加密且加密效果較好。

表3 密文加密質量分析(EQ值)

3.3 相鄰像素相關性分析

圖片的相關性分析指的是分析圖片像素之間的相關聯程度。為了避免因少量像素點信息的泄露而導致的對密文圖像進行破譯，相鄰像素點的相關性需降至最小，一般明文圖像的像素相關性在1附近，且應使得加密后的密文圖像像素相關性趨近于0。相鄰像素相關性的計算公式為：

(17)

表4 Lena明文圖像的相鄰像素相關性分析

表5 Lena密文圖像的相鄰像素相關性分析

(a) Lena明文圖像R通道的相鄰像素相關性分析 (b) Lena密文圖像R通道的相鄰像素相關性分析

通過對表4、表5及圖4的分析不難得出：相比于明文圖像，密文圖像的像素分布毫無規律，且分布均勻，使得密文的破譯很難從密文像素的排列規律入手。因此，可以認為該加密算法有效地加強了密文圖像的復雜性。

4 結論

本文根據記憶元件的混沌特性建立了一種含多個記憶元件的簡單電路系統，并以此系統為基礎提出了一種高安全性的圖像加密算法。首先，基于一維量子隨機行走，選擇混沌電路吸引子模型中的任意混沌序列作為加密基礎；然后，通過二維量子隨機行走方法生成隨機概率矩陣，進一步完成對圖像的加密。通過Lena、Baboon圖驗證了加密方法的有效性，并通過圖像直方圖、圖像信息熵、加密質量、圖像相鄰像素相關性分析等方法驗證了本文所述加密算法的安全性。本文所做的研究完善了電路混沌系統在通信加密領域中的應用，并將其與量子隨機行走方法相結合，增加了混沌系統在通信加密領域內的應用優勢。然而，經過本文所述算法得到密文結果的加密質量(EQ值)并不是3個通道均達到峰值，且密文的相鄰像素相關性均不為0(僅接近于0)，因此構造一種基于混沌和量子隨機行走方法的、新型的、密文安全性更佳的圖像加密算法是后續研究的重點內容。