熱傳導對橫截面不同的直管道中Kelvin-Helmholtz 不穩定性的影響*

曹義剛 付萌萌 楊喜昶 李登峰 王曉霞

(鄭州大學物理學院,鄭州 450001)

Kelvin-Helmholtz 不穩定性(KHI)增長的動力學分析是一個活躍的研究領域.本文解析研究了流體在橫截面不同的直管道中流動時,熱傳導對KHI 的影響.結果表明:管道中上下流體的界面相對切向速度會隨著波數的增加先增加后減小,并且小的界面熱傳導系數導致相對切向速度隨波數的減小更多,不同于橫截面相同的直管道結果.另外,熱傳導會提高KHI 的增長率,與橫截面相同的直管道一致.研究結果可以為實際管道中流體不穩定性的分析以及管道的通風設計和供暖等工程研究提供一定參考.

1 引言

流體不穩定性是流體力學的一個基本問題,通常發生在不同流體或者同種流體不同密度的界面.常見的界面不穩定性有Reyleigh-Taylor 不穩定性(RTI)[1,2]、Richtmyer-Meshkov 不穩定性(RMI)[3,4]和Kelvin-Helmholz 不穩定性(KHI)[5,6].RTI 發生在密度梯度和加速度方向相反的流體界面,當沖擊波通過兩流體的界面時會產生RMI.RTI 和RMI均垂直于界面方向,而KHI 則是由平行剪切作用于界面時引起的.上述不穩定性在天體物理[7]、等離子體[8]、超流體[9]、磁流體[10]以及慣性約束聚變(ICF)[11?13]等領域中發揮著關鍵作用.

理解任何一種流體不穩定性不僅對該不穩定性本身很重要,而且對其他流體不穩定性的理解也很重要.事實上,KHI 不僅會加劇非線性RTI 和RMI 的發展,是界面蘑菇狀結構演變的關鍵,而且對由RTI 和RMI 產生的流動向湍流的過渡起著至關重要的作用[14,15].

KHI 線性不穩定性增長的動力學分析是一個活躍的研究領域.在過去的幾十年里,人們廣泛研究了各種因素對KHI 線性演化的影響.這些因素包括壓縮[16]、黏性[17]、表面張力[18]、熱傳導[19,20]、傾斜界面[21]等.熱傳導現象是由物質中大量的分子熱運動互相撞擊,從而使能量從物體的高溫部分傳至低溫部分,或由高溫物體傳給低溫物體的過程.熱傳導效應在KHI 中不可忽視.之前人們[19]在橫截面不變的直管道中通過將熱傳導項加入到速度勢中,求解管道中上下流體界面的伯努利方程,從而得到了界面熱傳導系數與上下流體的界面相對切向速度和KHI 增長率的關系.人們發現:增加界面熱傳導系數會抑制上下流體的界面相對切向速度,但會提高KHI 的增長率[19,20].實際上,管道的橫截面和管道中的流體速度均會發生改變[22].管道橫截面或流體速度的突然變化均會造成流體界面處的能量損失,從而引起水頭損失[22?24].水頭損失一般分為沿程水頭損失和局域水頭損失,而由管道橫截面突變產生的水頭損失為局部水頭損失[22].另外,流體流動中,由于管道的橫截面發生變化,流體內部各粒子的動能和勢能相互轉換,流體內部的熱傳導(這里主要是熱導率)也會受到影響.通過計算熱傳導對KHI 的影響,可以有效地設計日常通風供暖等流體管道.

目前,人們對橫截面變化的直管道中(或者水頭損失存在下)熱傳導對流體不穩定的影響研究甚少.本文將解析研究熱傳導對橫截面不同的直管道中KHI 的影響,并與橫截面相同的直管道結果相比較.論文安排如下:第2 節給出模型;第3 節對結果進行分析和討論;第4 節給出結論.

2 模型

假設一個水平放置的直管道,如圖1 所示.管道具有兩種不同的截面A1和A2,其中A1為窄管道的橫截面,A2為寬管道的橫截面,這兩部分的管徑分別是D1和D2.管道中有兩種不同的流體,密度小的流體在上,密度大的流體在下,兩種流體之間存在一個界面(y=0).假設上下流體密度、黏度、平均流速和溫度分別為ρu和ρl,μu和μl,Uu和Ul,Tu和Tl.此外,還假定流體不可壓縮且兩種流體之間沒有旋轉和摩擦,即兩種流體存在勢流以及流體之間無耗散.在流體流動過程中,水頭損失主要由管道橫截面的突變引起.

圖1 兩種不同橫截面的直管道示意圖Fig.1.Schematic diagram of a straight pipe with two different cross sections.

上下流體的界面滿足:

式中函數F(x,y,t)中;t為時間;η為解界面擾動振幅,表示為

其中η0為常數,c.c.代表復共軛.這里假定管道壁面為光滑壁面.對于上下均勻流體,小的界面擾動振幅滿足速度勢[19,25]:

式中,k,ω為擾動的波數和頻率;α′為界面熱傳導系數,定義為界面處的熱流強度與單位長度的潛熱之比[19];hu(hl)為流體界面到上(下)壁面的距離.

因為流體是無旋的,所以速度勢(3)式和(4)式滿足拉普拉斯方程[26]:

流體界面的控制方程為

流體界面的動力學方程為

式中g為重力加速度,γ為界面張力系數.上下流體之間的正壓力為Pu?Pl,可以表達為[20]

局域水頭損失可表示為[22]

式中水頭損失系數ζ與管道兩部分的截面比A1/A2有關[27],即ζ=(1?A1/A2)2;uu,x和ul,x分別是上、下流體在產生水頭損失時的瞬時速度.uu,x和ul,x可由速度勢(3)式和(4)式的負梯度得到

將(3)式、(4)式和(9)式—(13)式代入(8)式,可以得到

通過(14)式,可得到與ω有關的色散方程:

對照(15)式與(14)式,可得到各項系數為

令ω=ωR+iωI,可得

聯立方程(22)和方程(23),得

再將ωR代入到方程(22)中,就得到關于增長率ωI的四次方程:

這里

KHI 是由于擾動的增長率大于零時引起的.如果增長率小于零,擾動將隨時間快速衰減.然而,當增長率大于零時,擾動隨時間呈指數增長[18].因此只有當增長率為零時界面穩定.KHI 的增長率由擾動頻率的虛部直接表征.令ωI=0 (即穩定界面),并將其代入(25)式,于是有

將(16)式—(20)式代入(31)式,可以得到不同傳熱系數下,上下流體界面相對切向速度與波數之間的關系,見(A1)式,其中V=Uu?Ul是上下流體的相對切向速度.

在考慮KHI 的增長率時,由于有黏和無黏情況下得到的結果幾乎是一樣的[21],因此令μu=μl=0,并且將(16)式—(20)式代入(25)式中,就可以得到不同傳熱強度下,KHI 的增長率隨波數的變化關系,見(A2)式.

3 結果分析與討論

為了定量分析熱傳導效應,取擾動振幅η=0.03 m,管徑D1=0.05 m,其他參數取自參考文獻[25]:γ=0.06 N/m,ρu=1.2 kg/m3,ρl=1000 kg/m3,μu=0.00018 Pa·s,μl=0.01 Pa·s,hu=0.025 m,hl=0.025 m.界面熱傳導系數α′=α×103kg/(m3·s)的取值參照文獻[19],這里α是無量綱界面熱傳導系數.此外,由文獻[22]可以看出,在水頭損失系數等于0 和0.2 時,能夠明顯得到管道橫截面的變化對KHI 的影響效果.因此,圖2 給出了ζ=0,0.2 時,不同界面熱傳導系數下上下流體的界面相對切向速度與波數的關系曲線.從圖2可以發現:上下流體的界面相對切向速度V隨波數k的增加而增加,當波數達到一定值的時候,界面相對切向速度達到最大,爾后隨著波數的繼續增加相對切向速度反而會降低.再者,我們發現,當ζ=0時,即不存在水頭損失(或管道橫截面不發生變化)時,相對切向速度隨著波數增加,最終趨于一致.而當ζ=0.2 且相對切向速度開始隨波數增大而減小時,小的界面熱傳導系數會比大的界面熱傳導系數對相對切向速度的抑制更大.當ζ=0.2時,界面相對切向速度要低于ζ=0 時的相對切向速度.這是由于當流體流經橫截面變化的管道時能量會損失,從而導致較低的相對切向速度.

圖2 上下流體的界面相對切向速度與波數的關系Fig.2.Wavenumber dependence of the relative tangential velocity at the interface between upper and lower fluids.

圖3 給出了ζ=0,0.2 時,不同界面熱傳導系數下KHI 的增長率隨波數的關系曲線,其中參數取自參考文獻[19]:γ=0.06 N/m,ρu=1.2 kg/m3,ρl=0.001 kg/m3,hu=0.025 m,hl=0.025 m. 我們發現,當ζ=0 時,增長率隨波數的增長先增大后減小并最終趨于不變.這是因為界面動能隨波數增加而增大,導致增長率增大,當波數接近臨界值kc時,KHI 被破壞,增長率隨波數的增加而急劇減小,趨近于零[19,22].當ζ=0.2 時,即存在水頭損失(或管道橫截面發生變化)時,KHI 的增長率要大于不存在水頭損失時的增長率,這是由于在管道橫截面變化時,能量損耗的一部分轉化為內能,促進界面熱傳導對KHI 增長率的影響.比較不同熱傳導系數的曲線,可以明白這一點.

4 結論

本文建立了一個橫截面變化的直管道模型,并分析了熱傳導對在該管道中流動的上下兩種流體KHI 的影響.結果表明,在管道橫截面變化的情況下增加界面熱傳導系數會抑制界面相對切向速度,與文獻[19,20]中報道的橫截面不變的直管道情況一致;與之不同的是,當波數到達一定值,相對切向速度開始隨著波數的增加而減小,并且小的界面熱傳導系數在波數較大的情況下對相對切向速度的抑制效果更大.另外,增加界面熱傳導系數會促進KHI 的增長率,這與文獻[19]中報道的橫截面不變的直管道的情況一致,但是相對于橫截面不變的直管道,熱傳導對KHI 增長率的促進效果更為明顯.

值得指出的是,本文沒有考慮不同橫截面處流體的密度、黏度以及平均流速的不同對結果的影響.考慮上述不同可能會對結果造成較大影響.另外,盡管本文的結論是由圓形橫截面的管道得出,但是也適用于非圓形橫截面的直管道.本文的結果對實際管道中流體不穩定性的研究以及管道的通風設計和供暖等工程領域具有一定的參考價值.

附錄A 上下流體界面相對切向速度和KHI 的增長率與波數的關系

上下流體界面相對切向速度與波數之間的關系滿足以下方程:

KHI 的增長率隨波數的變化關系滿足: