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范建兵

折疊問題是初中幾何的重要內(nèi)容之一。在四邊形這塊內(nèi)容里，我們時(shí)常遇到各種特殊四邊形中的折疊問題，試著動(dòng)手疊一疊，發(fā)現(xiàn)方法，以此解決不同的問題。

一、矩形中的折疊問題

例1 如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F，連接AE。求重疊部分△DBF的面積。

【點(diǎn)撥】這是一個(gè)大家比較熟悉的折疊狀態(tài)，解題時(shí)需要把握兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是確定△DBF的形狀，由“折疊+平行”可得△DBF是等腰三角形（也可以借助△ABF≌△EDF證得）;二是計(jì)算線段DF的長度，在Rt△AFB中運(yùn)用勾股定理可求得BF的長，最后再計(jì)算△DBF的面積。

二、菱形中的折疊問題

例2 如圖2，在菱形紙片ABCD中，AB=8，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上，求EG的長。

【點(diǎn)撥】求線段的長，常用的方法有兩種：一種是借助特殊圖形直接進(jìn)行計(jì)算，另一種是尋找相等線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換。本題中由折疊可得AG=GE，故要想計(jì)算EG或AG的長，最好能夠?qū)⑺鼈兎旁谝粋€(gè)特殊圖形中（如直角三角形等）。因此，可以過點(diǎn)E作EM⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)M，構(gòu)造出含有EG邊的直角三角形，再根據(jù)勾股定理計(jì)算得出相應(yīng)線段的長。

三、正方形中的折疊問題

例3 如圖3，M、N分別在正方形ABCD的邊AD、BC上，將正方形沿MN折疊后，點(diǎn)D落在邊AB上的D'處，C落在C'處，連接DD'。

（1）求證：∠AD'D=∠DMN;

（2）若AD=6，AD'=2，求折痕MN的長。

【點(diǎn)撥】（1）由折疊性質(zhì)知MN⊥DD'，又因?yàn)椤螦=90°，所以∠ADD'與∠DMN互余，∠ADD'與∠AD'D互余，所以∠DMN=∠AD'D;（2）所求折痕MN的長，其實(shí)就是線段DD'的長。過點(diǎn)N作NE⊥AD于點(diǎn)E，容易證明△ENM≌△ADD'，從而MN=DD'。而DD'的長可以在Rt△ADD'中根據(jù)勾股定理求出。

從上面的三個(gè)例題可以發(fā)現(xiàn)，折疊問題的融合性強(qiáng)，不僅考查了軸對稱的性質(zhì)，還考查了特殊圖形（如矩形、菱形、正方形）的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等。解決折疊問題，我們需要處理好以下兩個(gè)難點(diǎn)。

一是識圖難。結(jié)合題意看懂圖形、理解圖形是解決此類問題的關(guān)鍵要素。折疊問題中的圖形往往呈現(xiàn)給我們的是“疊”的結(jié)果，而沒有“折”的過程。因此，大家不妨動(dòng)手試試，先在動(dòng)態(tài)的折疊過程中感受折疊的變化，觀察變與不變，然后思考其中蘊(yùn)含的相關(guān)性質(zhì)，最后再考慮折疊結(jié)果中的問題。在動(dòng)態(tài)的折疊中思考靜態(tài)的結(jié)果，尋找熟悉的、常用的解題模型，合理地理解圖形、分析圖形。

二是計(jì)算難。計(jì)算的前提是知道算什么和怎么算。因此，在解決折疊問題時(shí)常常需要思考以下問題：（1）以什么為軸進(jìn)行折疊;（2）折疊前后邊或角的數(shù)量關(guān)系;（3）折疊是否產(chǎn)生了新的特殊圖形，如等腰三角形、直角三角形等;（4）要計(jì)算的線段或角，在哪些圖形中可以求得，怎樣求更合理。實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：折疊常伴等腰，這便于我們在解決問題中快速尋找相等的線段或角;折疊常用勾股，這便于我們在計(jì)算中更方便、更快捷、更合理。

（作者單位：蘇州高新區(qū)景山實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)校）