拋硬幣試驗誤差模型及分布規(guī)律

◎高 宏

(清華大學精密儀器系，北京 100084)

一、引 言

拋硬幣試驗是概率論課程引出頻率穩(wěn)定性和概率統(tǒng)計定義的重要教學內(nèi)容.拋硬幣試驗由于操作簡便、容易理解，成為概率論課程中介紹隨機現(xiàn)象具有統(tǒng)計規(guī)律的經(jīng)典案例，也還能通過觀察分析引出頻率和概率的統(tǒng)計定義，形象說明頻率與概率之間的聯(lián)系與區(qū)別，以便讓學生在生動有趣的隨機試驗過程中建立良好的概率直覺.但是實際的拋硬幣試驗結(jié)果卻表明，在試驗次數(shù)相同的情況下，不同小組的試驗結(jié)果離散性很大，而且無論拋多少次，硬幣正反兩面出現(xiàn)的次數(shù)總是有較大的差距，拋硬幣試驗的次數(shù)越多，正反兩面出現(xiàn)的次數(shù)并不是越來越接近，而是相差越來越大，反而讓學生對隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律感到困惑.本文建立了拋硬幣試驗的誤差模型，并給出了誤差分布的規(guī)律.

二、拋硬幣試驗誤差定義

拋硬幣試驗的目的，是讓學生通過拋硬幣的試驗過程，一方面體驗隨機事件的不確定性，另一方面體驗大量重復試驗中的統(tǒng)計規(guī)律，即硬幣出現(xiàn)正面和反面的次數(shù)大致相等，各占總試驗次數(shù)的比例(頻率)會穩(wěn)定于0.5.

理想的拋硬幣試驗結(jié)果是：當試驗次數(shù)較大時，硬幣出現(xiàn)正面和反面的次數(shù)完全相等，即正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差等于零.但是在實際的拋硬幣試驗中，很少會出現(xiàn)這種情況.因此，我們將拋硬幣試驗結(jié)果中硬幣正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差定義為絕對誤差.

絕對誤差=正面出現(xiàn)次數(shù)-反面出現(xiàn)次數(shù).

(1)

絕對誤差可能是正值，也可能是負值.正值表明硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)多于反面出現(xiàn)的次數(shù)，負值表明硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)少于反面出現(xiàn)的次數(shù).

定義相對誤差為絕對誤差與總試驗次數(shù)之比，有

(2)

在拋硬幣試驗中，頻率是指硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)與總試驗次數(shù)之比.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率將越來越接近概率0.5，因此，定義頻率誤差為實際頻率與0.5之差.

頻率誤差=實際頻率-0.5.

(3)

由式(1)可推導出硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)為

(4)

因此，有

(5)

三、拋硬幣試驗誤差模型

設有N組同學做拋硬幣試驗，每組的試驗次數(shù)均為n，規(guī)定所有人在同一時刻拋出硬幣，而且拋硬幣的時間間隔相等，則拋硬幣試驗可看作一個隨時間演變的隨機過程.

觀察其中第j組的拋硬幣試驗過程，設xj(i)為第j組第i次的拋硬幣結(jié)果，如果出現(xiàn)正面，令xj(i)=1,如果出現(xiàn)反面，令xj(i)=-1，則xj(i)為第j組拋硬幣試驗的一個時間序列.

雖然事先無法準確預知每次拋擲硬幣將出現(xiàn)正面還是反面，但是每次拋出只會出現(xiàn)一個結(jié)果，即xj(i)與i一一對應，因此，xj(i)是i的函數(shù)，亦即隨機過程的一個樣本函數(shù).

設X(i)為第i次拋硬幣試驗的隨機變量，則所有N組第i次拋硬幣的結(jié)果x1(i)，x2(i)，…，xj(i)，…，xN(i)就是隨機變量X(i) 在i時刻的狀態(tài).

圖1為N組拋硬幣試驗記錄曲線.所有N組試驗記錄曲線在i時刻的取值就是隨機變量X(i)在i時刻的狀態(tài).隨機過程即可看成所有樣本函數(shù)xj(i)的集合，也可看成所有隨機變量X(i)的集合.

圖1 拋硬幣試驗隨機過程

Y(n)=X(1)+X(2)+…+X(n)，

(6)

因此，N組拋硬幣試驗的絕對誤差Y(n)是大量獨立同分布隨機變量之和.根據(jù)中心極限定理，當n很大時，Y(n)服從或近似服從正態(tài)分布.

由于E[X(i)]=0，D[X(i)]=1，因此，Y(n)的數(shù)學期望和方差為

E[Y(n)]=0,

(7)

D[Y(n)]=n,

(8)

這表明N組拋硬幣試驗的絕對誤差Y(n)服從參數(shù)為(0，n)的正態(tài)分布.

設y(0)=0，則單組拋硬幣試驗絕對誤差的樣本函數(shù)模型為

y(n)=x(1)+x(2)+…+x(n).

(9)

注意：y(n)是單組的第n次拋硬幣試驗結(jié)果(絕對誤差)，是一個確定的數(shù)，Y(n)是所有N組的n次拋硬幣試驗結(jié)果，是一組試驗數(shù)據(jù)，即[y(1)，y(2)，…，y(n)].

式(9)的樣本函數(shù)模型y(n)也可看作一個質(zhì)點的隨機游走模型.假設質(zhì)點只能在數(shù)軸y的整數(shù)點上移動(圖2)，從原點開始拋硬幣，如果硬幣正面向上，x(1)=1，質(zhì)點向右移動1個單位，如果硬幣反面向上，x(1)=-1，則質(zhì)點向左移動1個單位.式(9)的y(n)即可看成第n次拋硬幣后正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差，也可看成隨機游走的質(zhì)點在第n步時的位置.

圖2 質(zhì)點隨機游走位移

從式(9)可以看出，拋硬幣試驗的絕對誤差或隨機游走位移y(n)不僅與當前時刻的x(n)有關，而且與之前所有時刻的x(1)，x(2)，…，x(n-1)都有關，這表明y(n)具有很強的記憶性.

將式(9)改寫為

(10)

四、拋硬幣試驗誤差分析

1.絕對誤差

絕對誤差是指拋硬幣試驗結(jié)果中正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差.由式(8)拋硬幣試驗絕對誤差Y(n)的方差等于n，可得N組拋硬幣試驗絕對誤差Y(n)的標準差為

(11)

由正態(tài)分布的性質(zhì)，Y(n)落在區(qū)間[-3σn，+3σn]內(nèi)的概率為99.73%.

式(11)表明，N組拋硬幣試驗數(shù)據(jù)絕對誤差的標準差與總試驗次數(shù)n的平方根成正比，因此，拋硬幣試驗次數(shù)n越大，正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差也越大.

2.相對誤差

(12)

因此，N組拋硬幣試驗的相對誤差與試驗次數(shù)n的平方根成反比，隨著拋硬幣試驗次數(shù)n的增大，相對誤差趨于零.

3.頻率誤差

表1給出了多組拋硬幣試驗不同試驗次數(shù)時的絕對誤差(±3σn)、相對誤差和頻率誤差的值.

表1 拋硬幣試驗誤差(±3σn)

圖3為8組不同拋硬幣試驗(次數(shù)n=100)的絕對誤差模擬試驗曲線.

圖3 拋硬幣試驗絕對誤差模擬實驗曲線

從拋硬幣試驗的誤差分析可以得出以下結(jié)論：

(1)多組拋硬幣試驗絕對誤差的標準差與試驗次數(shù)n的平方根成正比，隨著試驗次數(shù)n的增加，硬幣正反兩面出現(xiàn)的次數(shù)之差逐漸增大；

(2)多組拋硬幣試驗的相對誤差和頻率誤差與試驗次數(shù)n的平方根成反比，隨著試驗次數(shù)n的增加，相對誤差和頻率誤差越來越小，當試驗次數(shù)n充分大時，相對誤差和頻率誤差趨于零，即頻率趨于概率0.5；

(3)單組拋硬幣試驗的絕對誤差與試驗次數(shù)n成正比，隨著試驗次數(shù)n的增加，正反兩面出現(xiàn)的次數(shù)之差越來越大.

五、錯誤應用案例分析

拋硬幣試驗結(jié)果說明，隨著拋硬幣試驗次數(shù)的增大，硬幣正反面出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定于概率0.5.數(shù)值0.5是指在試驗次數(shù)n充分大的條件下，刻畫硬幣正反面出現(xiàn)事件可能性大小的一個數(shù)量指標.

對于n=1時的單次拋硬幣試驗結(jié)果，不是頻率為1，就是頻率為0，不存在頻率穩(wěn)定性.因此，我們不能用概率0.5來描述單次拋出硬幣后的結(jié)果，這就如同物理學不能用溫度來度量一個分子的動能一樣.

隨機過程理論用拋硬幣試驗來定義圖2所示的一維簡單隨機游走.設一個質(zhì)點從原點出發(fā)，拋擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣，用x(i)表示第i次的拋硬幣結(jié)果，如果第i次硬幣出現(xiàn)正面向上，則x(i)=1，質(zhì)點往右移動1個單位，如果第i次硬幣反面向上，則x(i)=-1，質(zhì)點向左移動1個單位，因此，第n次拋硬幣后質(zhì)點的位置為

y(n)=x(1)+x(2)+…+x(n).

(13)

隨機過程理論假設每次拋硬幣正面向上的概率為p，反面向上的概率為q=1-p，則質(zhì)點向右移動1個單位的概率為p，向左移動1個單位的概率為q.

可以證明，當p=q=0.5時，一維簡單隨機游走y(n)是常返的，表明一維簡單隨機游走的質(zhì)點一定能回到起點.

式(13)中的x(1)，x(2)，…，x(n)均為一次拋硬幣試驗結(jié)果，是確定性的試驗數(shù)據(jù).用刻畫大量隨機試驗統(tǒng)計規(guī)律的概率p=q=0.5來描述單次拋硬幣試驗結(jié)果在概念上是錯誤的，必然會得出與事實不符的結(jié)論.

對比式(9)和式(13)，一維簡單隨機游走的質(zhì)點位移與單組拋硬幣試驗的絕對誤差模型完全相同，一維簡單隨機游走的質(zhì)點位移在數(shù)量上等于單組拋硬幣試驗的絕對誤差.

由于單組拋硬幣試驗結(jié)果的絕對誤差y(n)與試驗次數(shù)n成正比，因此，一維簡單隨機游走的質(zhì)點位移y(n)與步數(shù)n成正比，即隨著步數(shù)n的增加，隨機游走的質(zhì)點會逐漸遠離原點.

六、高爾頓板實驗驗證

高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學家高爾頓(Galton)專門設計用來演示隨機游走過程并驗證中心極限定理的實驗裝置(圖4).

圖4 高爾頓板

高爾頓板上的每一個圓點表示釘在板上的釘子，釘子之間的距離彼此相等，呈等邊三角形排列，上一層每一顆釘子的位置恰好位于下一層兩顆釘子正中間的上方.

當小球從最上方的入口落下時，小球每次碰到釘子后，有可能從釘子左邊落下，也有可能從釘子右邊落下，經(jīng)過n層釘子后，小球最后落入底部的一個格子內(nèi).

顯然，一個小球從入口處經(jīng)過n層釘子后落入底部格子的過程就相當于一個n次拋硬幣試驗過程，或一個質(zhì)點的n步隨機游走過程.小球所在底部格子偏離中心的距離，就是拋硬幣試驗數(shù)據(jù)中的絕對誤差，或隨機游走質(zhì)點相對原點的位移.

把大量小球逐個從入口處放下，只要高爾頓板的面積足夠大、釘子數(shù)量足夠多，落在底部格子內(nèi)的小球?qū)⑿纬膳c正態(tài)分布曲線相似的中間高、兩邊低的鐘形曲線.

如果高爾頓板的面積足夠大，小球在下落過程中將逐漸向左右兩個方向擴散，表明拋硬幣試驗中的絕對誤差隨試驗次數(shù)逐漸變大，或隨機游走的小球隨時間遠離原點.

七、結(jié) 論

本文針對拋硬幣試驗結(jié)果離散性較大的問題引入了絕對誤差、相對誤差和頻率誤差的概念，建立了拋硬幣試驗誤差數(shù)學模型，得出了多組拋硬幣試驗絕對誤差的標準差與試驗次數(shù)n的平方根成正比，多組拋硬幣試驗的相對誤差和頻率誤差與試驗次數(shù)n的平方根成反比，以及單組拋硬幣試驗的絕對誤差與試驗次數(shù)n成正比等結(jié)論，同時糾正了隨機過程理論中將拋硬幣試驗概率0.5用于度量單次拋硬幣結(jié)果的概念錯誤，并證明了一維簡單隨機游走的質(zhì)點位移與步數(shù)n成正比，表明一維簡單隨機游走的質(zhì)點隨步數(shù)n的增加逐漸遠離原點.