高中函數(shù)模型及其應(yīng)用的教學(xué)策略研究

◎滕維棟

(靖遠(yuǎn)縣第四中學(xué)，甘肅 白銀 730600)

在高中數(shù)學(xué)的具體教學(xué)中，函數(shù)模型及其應(yīng)用的內(nèi)容是重點(diǎn)的教學(xué)內(nèi)容.在對(duì)該部分知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)后，學(xué)生需具有相應(yīng)的函數(shù)模型構(gòu)建能力，并通過(guò)函數(shù)模型的構(gòu)建實(shí)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題的有效解決.新課改下，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)通常更強(qiáng)調(diào)人的發(fā)展與現(xiàn)實(shí)生活的有效結(jié)合，所以通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行解決的新型教學(xué)模式就是極其必要的，而做好該環(huán)節(jié)的關(guān)鍵就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用函數(shù)模型及相關(guān)思想.構(gòu)建函數(shù)模型的主要意義就是把學(xué)與用進(jìn)行有效結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)函數(shù)模型的具體運(yùn)用實(shí)現(xiàn)更好的學(xué)習(xí)，并使學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，從而使高中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量得到顯著提升.

一、函數(shù)模型概述

(一)函數(shù)模型含義

模型是實(shí)物與過(guò)程的表示，是人們認(rèn)識(shí)相關(guān)事物的框架，其主要是對(duì)實(shí)物進(jìn)行仿造與模擬，或是對(duì)其相關(guān)屬性的抽象.對(duì)于數(shù)學(xué)模型而言，其通常是對(duì)模型實(shí)施拓展，主要指對(duì)具體問(wèn)題實(shí)施分析，通過(guò)簡(jiǎn)化、抽象獲得數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并通過(guò)數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)量關(guān)系等對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，從而獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)律或者數(shù)學(xué)關(guān)系.而對(duì)于函數(shù)模型，其主要是通過(guò)函數(shù)知識(shí)對(duì)實(shí)際生活當(dāng)中存有的成本最低、利潤(rùn)最高、用料最省、效益最好等問(wèn)題實(shí)施歸納整理，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建，通過(guò)函數(shù)的運(yùn)用實(shí)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題的解決.

(二)函數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題解決中的作用

首先，有助于問(wèn)題解決過(guò)程的優(yōu)化.函數(shù)通常會(huì)涉及較廣的范圍，甚至在大部分領(lǐng)域中都會(huì)應(yīng)用到函數(shù)模型.基于此，在各個(gè)領(lǐng)域相關(guān)問(wèn)題的解決上，很多都會(huì)通過(guò)函數(shù)模型對(duì)實(shí)際解題過(guò)程進(jìn)行優(yōu)化.雖然許多問(wèn)題還需就事論事，進(jìn)行實(shí)際分析，但是，函數(shù)模型的構(gòu)建還是有助于實(shí)際問(wèn)題解決過(guò)程的優(yōu)化，使人們順利獲得結(jié)果.

其次，有助于深化問(wèn)題理解度.數(shù)學(xué)知識(shí)通常和生活具有密切的聯(lián)系，生活當(dāng)中到處都能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的影子，且數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)也離不開(kāi)實(shí)際生活.對(duì)于實(shí)際問(wèn)題而言，我們首先看到的通常是展現(xiàn)在面前的事物，而這對(duì)實(shí)際問(wèn)題的理解通常是不夠的，這個(gè)時(shí)候，學(xué)生在解題時(shí)就會(huì)出現(xiàn)卡殼的現(xiàn)象，且解題思路也會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤等狀況，不僅會(huì)影響解題效率，還會(huì)影響解題效果，從而對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及解決數(shù)學(xué)題的信心造成不利影響.而經(jīng)過(guò)構(gòu)建函數(shù)模型，在對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行解決的時(shí)候，學(xué)生就能輕松地把握數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中的實(shí)質(zhì)，并迅速找到相應(yīng)的解題思路，然后對(duì)函數(shù)模型實(shí)施探索，對(duì)事物彼此之間的聯(lián)系和規(guī)律進(jìn)行發(fā)掘，從而解決問(wèn)題.這不僅有助于學(xué)生有效理解相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)題的理解，而且能使學(xué)生更好、更快地解決相關(guān)問(wèn)題.

二、高中函數(shù)模型及其應(yīng)用

(一)函數(shù)模型的類(lèi)型

第一，直線模型.直線主要表現(xiàn)為一次函數(shù)模型，運(yùn)用正比例函數(shù)求解問(wèn)題.

第二，指數(shù)函數(shù)模型.指數(shù)函數(shù)的自變量逐漸增加，函數(shù)值的變化速度也不斷增加，這一類(lèi)的函數(shù)模型常常被運(yùn)用到增長(zhǎng)率求解、利率求解等問(wèn)題中.

第三，對(duì)數(shù)函數(shù)模型.對(duì)數(shù)函數(shù)的自變量逐漸增加，函數(shù)值的變化速度卻呈現(xiàn)緩慢的特點(diǎn)，這一類(lèi)的函數(shù)模型常常被運(yùn)用到數(shù)學(xué)模型求解中.

第四，冪函數(shù)模型.冪函數(shù)常常被分為奇函數(shù)、偶函數(shù)，常常表現(xiàn)為二次函數(shù)模型，并被應(yīng)用到面積、利潤(rùn)、產(chǎn)量等問(wèn)題的求解中.

第五,分段函數(shù)模型.分段函數(shù)常常由不同的關(guān)系式構(gòu)成，常常被用于路程問(wèn)題的求解中.

(二)函數(shù)模型的建立流程

首先，讀懂題意.高中數(shù)學(xué)的函數(shù)模型構(gòu)建及其應(yīng)用需要學(xué)生進(jìn)行認(rèn)真審題，理清數(shù)學(xué)題目的脈絡(luò)，尤其是數(shù)學(xué)題中的特殊術(shù)語(yǔ)與名詞，學(xué)生需明確其具體含義，并加以理解.在清楚理解數(shù)學(xué)題的相關(guān)背景與情況后，學(xué)生需不斷梳理、深化理解題目含義，并對(duì)問(wèn)題當(dāng)中各對(duì)象的屬性與特征實(shí)施仔細(xì)分析，明確題目中的數(shù)量關(guān)系.

其次，引入數(shù)學(xué)對(duì)象，構(gòu)建函數(shù)模型.解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵就是引入數(shù)學(xué)對(duì)象，然后構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)模型進(jìn)行求解，從而完成關(guān)鍵轉(zhuǎn)化.由此可知，教師在教學(xué)中需引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確提取數(shù)學(xué)題中的關(guān)鍵信息，并對(duì)各對(duì)象實(shí)施數(shù)學(xué)抽象，通過(guò)相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念、表達(dá)式、符號(hào)等對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行刻畫(huà)與描述，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.

再次，函數(shù)模型的求解.即在構(gòu)建函數(shù)模型的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)方法及函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行合理應(yīng)用，并以函數(shù)方程的具體解答步驟及方法實(shí)施演算與邏輯推理，從而獲得相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果.

最后，回歸實(shí)際問(wèn)題，對(duì)模型實(shí)施還原.數(shù)學(xué)教師需引導(dǎo)學(xué)生對(duì)模型及獲得的結(jié)果實(shí)施驗(yàn)證.數(shù)學(xué)教師需引導(dǎo)學(xué)生將獲得的結(jié)果回歸具體的問(wèn)題解決中，并檢驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際是否相符，這是模型還原必須做的檢驗(yàn)步驟，能確保學(xué)生獲得數(shù)學(xué)答案的準(zhǔn)確性，因此，對(duì)模型實(shí)施驗(yàn)算是極其必要的.

三、高中函數(shù)模型及其應(yīng)用的教學(xué)策略

(一)分析教材要素

在開(kāi)展高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)之前，教師應(yīng)做好充足的準(zhǔn)備工作：首先，分析教學(xué)內(nèi)容.函數(shù)模型及其應(yīng)用是新課程標(biāo)準(zhǔn)下必修課程中函數(shù)應(yīng)用方面的內(nèi)容，是建立在指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型的基礎(chǔ)上，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的.其目的是促使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中充分利用所學(xué)的函數(shù)模型對(duì)實(shí)際生活中遇到的問(wèn)題進(jìn)行解決，最終促使學(xué)生在學(xué)習(xí)中對(duì)函數(shù)模型形成更加深刻的認(rèn)識(shí)和理解，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).其次，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度來(lái)說(shuō)，函數(shù)模型及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)在生活中具體應(yīng)用的集中體現(xiàn)，旨在引領(lǐng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光分析問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，最終在實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效落實(shí).再次，進(jìn)行學(xué)情分析.新課程改革明確了學(xué)生在課堂上的主體地位，要求教師在組織和開(kāi)展課堂教學(xué)時(shí)結(jié)合學(xué)生的主體地位、數(shù)學(xué)知識(shí)掌握情況、思維發(fā)展特點(diǎn)、認(rèn)知規(guī)律等科學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)方案.在對(duì)這一部分知識(shí)進(jìn)行教學(xué)時(shí)，由于學(xué)生在以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了運(yùn)用函數(shù)模型解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，所以教師可在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)教學(xué)方案.最后，確定本課的教學(xué)重難點(diǎn).教師應(yīng)基于教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情分析，將建立數(shù)學(xué)模型作為本節(jié)課教學(xué)的重難點(diǎn).

(二)教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)

函數(shù)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)的具體教學(xué)中有著重要的地位.函數(shù)模型及其應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)不僅是函數(shù)知識(shí)當(dāng)中的重要內(nèi)容，還是學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)函數(shù)知識(shí)的難點(diǎn).對(duì)于函數(shù)模型及其應(yīng)用而言，其內(nèi)容包括：第一，方程的根和函數(shù)零點(diǎn)；第二，二分法在方程近似解求取中的應(yīng)用；第三，函數(shù)模型的運(yùn)用.依據(jù)高中新課標(biāo)的相關(guān)要求，對(duì)于知識(shí)與技能而言，學(xué)生通過(guò)本節(jié)課相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)需具備運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題的解決能力.對(duì)于過(guò)程與方法而言，數(shù)學(xué)教師可通過(guò)具有實(shí)際意義的相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力及數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用意識(shí)的提升.對(duì)于價(jià)值觀與情感、態(tài)度而言，數(shù)學(xué)教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行解決，以促使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣得到有效提升.

(三)教學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)教學(xué)系統(tǒng)時(shí)，其通常涉及教學(xué)內(nèi)容處理、教學(xué)方法、模型構(gòu)建的選擇與應(yīng)用等多種因素，數(shù)學(xué)教師在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)函數(shù)模型對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行解決時(shí)，需引導(dǎo)學(xué)生充分了解與掌握函數(shù)和方程間的關(guān)系，并通過(guò)相關(guān)教學(xué)實(shí)例對(duì)函數(shù)模型構(gòu)建的過(guò)程與方法進(jìn)行理解.

首先，合理運(yùn)用信息技術(shù).因?yàn)椴糠謹(jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)與內(nèi)容比較煩瑣，因此，教師在具體教學(xué)時(shí)可應(yīng)用相關(guān)信息技術(shù)的直觀展示能力提升學(xué)生的函數(shù)模型應(yīng)用能力.例如，在對(duì)“一次函數(shù)模型”進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師就可充分發(fā)揮信息技術(shù)的教育價(jià)值，利用信息技術(shù)為學(xué)生展現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題的相關(guān)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目產(chǎn)生直接的印象.同時(shí)，信息技術(shù)的應(yīng)用還可促使學(xué)生對(duì)抽象的函數(shù)模型進(jìn)行更加深刻的理解，使其牢固掌握函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用.

其次，針對(duì)模型開(kāi)展討論.高中數(shù)學(xué)的教學(xué)方法不只是教師在課堂上運(yùn)用相關(guān)教學(xué)方法，還包含了學(xué)生所用到的相關(guān)學(xué)習(xí)方法，數(shù)學(xué)課堂中的教學(xué)則是教師的教學(xué)方法與學(xué)生的學(xué)習(xí)方法的有效統(tǒng)一.對(duì)于教學(xué)方法而言，其更注重引導(dǎo)、調(diào)節(jié)具體教學(xué)過(guò)程的手段，通常來(lái)說(shuō)，談話法、講授法、討論法、教具演示法等相關(guān)教學(xué)方法是數(shù)學(xué)教師在對(duì)函數(shù)知識(shí)進(jìn)行講解時(shí)較為常用的方法.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，在明確教學(xué)目標(biāo)之后，數(shù)學(xué)教師需依據(jù)學(xué)生特點(diǎn)、教學(xué)內(nèi)容等明確相應(yīng)的教學(xué)方法.例如，對(duì)“方程的根和函數(shù)零點(diǎn)”開(kāi)展教學(xué)時(shí)，教師可將模型構(gòu)建運(yùn)用于數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中，通過(guò)討論交流與講授法有效結(jié)合的教學(xué)方式，促使學(xué)生充分了解與掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí).示范模仿、情境陶冶、先行組織等相關(guān)教學(xué)策略也是數(shù)學(xué)教師常用的策略.依據(jù)函數(shù)模型及其應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，數(shù)學(xué)教師需從實(shí)際教學(xué)情境入手，明確數(shù)學(xué)課堂的具體教學(xué)策略.

最后，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活的問(wèn)題情境.長(zhǎng)期以來(lái)，高中數(shù)學(xué)教師束縛在應(yīng)試教學(xué)理念中，按照教材上的內(nèi)容對(duì)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)灌輸，如此，不僅致使課堂教學(xué)效果不佳，也導(dǎo)致高中數(shù)學(xué)與實(shí)際生活之間出現(xiàn)了嚴(yán)重的斷層現(xiàn)象，難以滿足新課程改革下的教學(xué)要求，制約了高中學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展.基于此，高中數(shù)學(xué)教師在優(yōu)化函數(shù)模型的應(yīng)用教學(xué)中，應(yīng)立足于數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活的內(nèi)在聯(lián)系，努力創(chuàng)設(shè)出貼近學(xué)生生活的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受到數(shù)學(xué)知識(shí)無(wú)處不在，真正提升函數(shù)模型的教學(xué)質(zhì)量.

(四)教學(xué)成果評(píng)價(jià)的設(shè)計(jì)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，成果評(píng)價(jià)主要是對(duì)教師的教學(xué)成果實(shí)施否定或者肯定的判斷，然后進(jìn)行相應(yīng)修改與完善的教學(xué)措施.高中數(shù)學(xué)的建模素養(yǎng)培養(yǎng)將評(píng)價(jià)活動(dòng)和數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的過(guò)程相結(jié)合，不僅可以使教師教學(xué)工作的效果得到有效提升，還能加強(qiáng)教師教學(xué)設(shè)計(jì)及研究水平的提高，因此，數(shù)學(xué)教師在對(duì)教學(xué)成果進(jìn)行評(píng)價(jià)的時(shí)候，需具備一定的數(shù)學(xué)教學(xué)理論基礎(chǔ).當(dāng)數(shù)學(xué)教師設(shè)計(jì)的成果評(píng)價(jià)存有一定差異的時(shí)候，教學(xué)設(shè)計(jì)的成果評(píng)價(jià)也可以分成形成性評(píng)價(jià)、診斷性評(píng)價(jià)、總結(jié)性評(píng)價(jià)等各種評(píng)價(jià)形式.成果評(píng)價(jià)的內(nèi)容通常包含了教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)、教學(xué)內(nèi)容的處理評(píng)價(jià)、教學(xué)媒體的選擇與應(yīng)用評(píng)價(jià)等.同時(shí)，在對(duì)教學(xué)方案進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，教師需注重遵循整體性原則、客觀性原則、指導(dǎo)性原則.

四、高中函數(shù)模型及其應(yīng)用的教學(xué)實(shí)例

在高中數(shù)學(xué)試題中，與實(shí)際生活與生產(chǎn)相聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題，其設(shè)問(wèn)角度較為獨(dú)特，解題方法也較為靈活，若學(xué)生能對(duì)函數(shù)模型的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行恰當(dāng)應(yīng)用，在實(shí)際解題中就會(huì)起到良好的教學(xué)效果.

例如，某工廠今年的1，2，3，4月份生產(chǎn)的產(chǎn)品分別是1萬(wàn)件、1.2萬(wàn)件、1.3萬(wàn)件、1.37萬(wàn)件，為了確保生產(chǎn)不過(guò)多或者過(guò)少，就需對(duì)5月份的生產(chǎn)產(chǎn)量進(jìn)行估測(cè)，可采用什么方法？

第一，基于縝密審題的題意挖掘.

通過(guò)分析題意，本工廠在4個(gè)月份對(duì)應(yīng)著4個(gè)月生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)，且生產(chǎn)的月份與件數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系能夠構(gòu)建相關(guān)函數(shù)模型.

第二，基于數(shù)學(xué)符號(hào)的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建.

依據(jù)已知的條件構(gòu)建直角坐標(biāo)系，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形(如圖1).

圖1

此時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1，并構(gòu)建三個(gè)函數(shù)模型.

一次函數(shù)模型：f(x)=ax+b(a≠0)；

二次函數(shù)模型：g(x)=ax2+bx+c(a≠0)；

指數(shù)函數(shù)模型：h(x)=abx+c(b>0且b≠1).

根據(jù)已知的點(diǎn)，可解出這三個(gè)函數(shù)的具體解析式，并求出其與第四個(gè)點(diǎn)存有的誤差，再經(jīng)過(guò)誤差大小的對(duì)比明確函數(shù)模型.

將已知點(diǎn)代入函數(shù)模型，可得：

f(x)=0.2x+0.8，f(4)=1.6，其和實(shí)際的誤差為0.23；

g(x)=-0.05x2+0.35x+0.7，g(4)=1.3，其和實(shí)際的誤差為0.07；

h(x)=-0.8×0.5x+1.4，h(4)=1.35，其和實(shí)際的誤差為0.02.

由上述可知，指數(shù)函數(shù)h(x)與實(shí)際的誤差最小，用做函數(shù)模擬更好，因此，選擇指數(shù)函數(shù)模型.

第三，模型解答.

指數(shù)函數(shù)的模型解析式為h(x)=-0.8×0.5x+1.4，h(5)=1.375.

第四，作答.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)，明確工廠5月份的產(chǎn)量是1.375萬(wàn)件，因此，本工廠的產(chǎn)量會(huì)隨著月份的逐漸增加而增加.

五、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，將函數(shù)模型運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建函數(shù)模型對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題進(jìn)行解決，不僅有助于對(duì)學(xué)生自身的建模思維進(jìn)行鍛煉，還能促進(jìn)學(xué)生操作能力的提高，從而使學(xué)生形成建模素養(yǎng)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)高效解題.