活用數(shù)學思想解題 促進學生深度學習

◎邱宏毅

(福建省漳浦縣錦嶼學校，福建 漳州 363210)

數(shù)學思想是數(shù)學的精髓，是學生獲取數(shù)學知識、發(fā)展思維能力的重要工具，是解決數(shù)學問題的有效方法，是數(shù)學方法與技能固化升華的體現(xiàn).課程標準明確指出：通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.在初中數(shù)學教學過程中滲透數(shù)學思想可讓學生經歷數(shù)學思考，對開發(fā)、拓展學生的解題思路將產生深遠的意義.它能使學生從本質上把握數(shù)學知識，優(yōu)化思維品質，學會運用數(shù)學思想分析問題、解決問題，為今后進一步學習數(shù)學奠定良好的數(shù)學思維基礎.數(shù)學思想滲透于初中數(shù)學的各個階段，常見的數(shù)學思想有方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想等，其分布和體現(xiàn)形式更是分散的，因此，筆者認為，通過對初中數(shù)學教材內典型例題及近年來全國各地中考真題的分析、解答，以理論結合實例的形式進行歸納、總結、梳理、點撥，能使學生從中領會數(shù)學思想的遷移應用，理解數(shù)學思想在初中數(shù)學解題中的應用，引導學生形成更高維度的認知，促進學生深度學習，發(fā)展高階思維，培養(yǎng)學生科學、系統(tǒng)、嚴謹?shù)慕忸}思維.

數(shù)學深度學習的主要特征為：主動理解與批判接受，激活經驗與建構新知，知識整合與深層加工，把握本質與滲透思想，有效遷移與問題解決.下面將通過具體的例子剖析如何靈活應用數(shù)學思想解題，促進學生深度學習的真正發(fā)生.

一、活用方程思想，促進學生深度理解數(shù)量間的關系

方程思想是對于一個問題用方程進行解決，一般是從分析問題的數(shù)量關系入手，將問題中的未知量和已知量之間的數(shù)量關系通過適當設未知數(shù)構建方程(組)，或利用方程(組)的性質去分析、轉換、解決問題的思維方式.用方程思想解題的關鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結論構造方程(組).靈活應用方程思想，有利于學生對各種數(shù)量間關系的深度理解.

例1如圖1，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AB=6 cm，BC=8 cm，現(xiàn)將直角邊BC沿直線BD折疊，使點C落在點E處，求△BDF的面積是多少.

圖1

分析由折疊的性質可得△BDC與△BDE全等，進而得到對應邊相等、對應角相等，再由兩直線平行內錯角相等、等量代換及等角對等邊，得到FD=FB，設FD=FB=xcm，則AF=(8-x)cm，在Rt△AFB中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出FD的長，進而求出△BDF的面積.

解由折疊，可得△BDC≌△BDE，

∴∠CBD=∠EBD，BC=BE=8 cm，ED=DC=AB=6 cm.

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠ADB=∠EBD，

∴FD=FB.

設FD=FB=xcm，則有AF=AD-FD=(8-x)cm.

在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理，得x2=(8-x)2+62，

評析在解決幾何折疊的面積問題中，若用線段直接進行運算較為復雜，而利用方程思想求解則較簡捷方便.本題主要借助未知量，在直角三角形中利用勾股定理建立三邊之間的代數(shù)關系，利用方程較好地解決相關的線段長度計算問題，這樣處理有利于學生深度理解和把握幾何問題中的數(shù)量關系，提升分析問題和解決問題的能力.

二、活用數(shù)形結合思想，促進學生深度掌握數(shù)形轉化技能

數(shù)形結合就是將代數(shù)問題與圖形結合起來分析研究題目，數(shù)是形的抽象概括，而形是數(shù)的直觀體現(xiàn)，它可以把抽象的數(shù)轉化為直觀的形，也可以把復雜的形轉化為具體的數(shù).加強訓練學生應用數(shù)形結合思想解題，對其鞏固數(shù)學基礎知識、培養(yǎng)良好的解題思維、提高解題能力尤其是轉化能力至關重要.

1.以“形”求“數(shù)”

例2如圖2所示，點P是∠α的邊OA上一點，且P點的坐標為(4，3)，求sinα和cosα的值.

圖2

分析根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可構造含有∠α的直角三角形，再根據(jù)定義求解.

解如圖2，過點P作PQ⊥x軸于點Q，則△POQ為直角三角形.

由P(4，3)，可得OQ=4，PQ=3，

評析本題無法直接通過數(shù)值計算sinα和cosα的值，而由圖形上點的坐標去確定對應線段的數(shù)值，則可直接計算，這是由“形”得“數(shù)”的具體表現(xiàn).通過這種數(shù)形結合的教學，學生能較好地理解銳角三角函數(shù)定義的實質，更能深度理解把幾何圖形的性質轉化為數(shù)量關系的作用，通過代數(shù)方法解決幾何問題，增強學生解題的轉化能力.

2.以“數(shù)”解“形”

答案D

評析由于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的性質及其圖像是由系數(shù)a,b,c共同決定的，因此要判斷圖像的大致形狀，只需要確定系數(shù)a,b,c的值或符號即可，這是由“數(shù)”得“形”的具體表現(xiàn)，充分體現(xiàn)了數(shù)與形的統(tǒng)一.這類試題的訓練有利于學生對拋物線的性質及其圖像中數(shù)形關系的深度理解，提升其轉化與化歸能力.

3.“數(shù)”“形”結合

有類問題，題中用字母表示幾何圖形中的線段長，這本身就是數(shù)形結合了，再通過某種等量關系，如面積、周長及它們的和差倍分等關系，確定這些線段之間的關系式，經過這樣的分析處理，學生能更深層次地把握幾何圖形與代數(shù)式(或關系式)的聯(lián)系，化幾何的演繹推理或演算為代數(shù)計算，也能更好地理解借助函數(shù)圖像如何把幾何中復雜的線段關系直觀化，增強知識間的整合與深層加工能力.

例4如圖3，河旁有一座小山，從山頂A處測得河對岸點C的俯角為30°，測得岸邊點D的俯角為45°，又知河寬CD為50 m.現(xiàn)需從山頂A到河對岸點C拉一條筆直的纜繩AC，求纜繩AC的長.(結果保留根號)

圖3

分析本題需要利用直角三角形的邊角關系進行求解，可以作AB⊥CD，交CD的延長線于點B，這樣得到兩個直角三角形Rt△ABC和Rt△ABD，且∠ACB=∠CAE=30°，∠ADB=∠EAD=45°.若設AB=x，則根據(jù)直角三角形的邊角關系，可以用含x的代數(shù)式分別表示出CB和BD的長，利用BC-BD=CD這個等量關系可以列出關于x的方程，并求出x，從而求出AC的長.

解作AB⊥CD，交CD的延長線于點B.

在Rt△ABC中，

∵∠ACB=∠CAE=30°，∠ADB=∠EAD=45°，

∴AC=2AB，DB=AB.

設AB=x，則BD=x，AC=2x，CB=50+x.

∴AB=CB·tan∠ACB=CB·tan 30°.

評析本題運用“數(shù)”“形”結合法，靈活地應用解直角三角形的有關知識解決生活中的實際問題.解決此類問題一般是通過畫圖、作輔助線構造直角三角形，并合理地設元、建立方程進行解決，體現(xiàn)了“數(shù)”“形”結合在解決幾何問題中的重要應用.

三、活用分類討論思想，促進學生提升發(fā)散性思維能力

深度學習要求學生克服已有經驗的束縛，實現(xiàn)在原有知識、經驗基礎上的主動建構，在新情境中批判理解、遷移應用.分類討論思想就是根據(jù)所研究對象的性質差異，分各種不同的情況予以分析、批判，再加以解決.分類討論時應注意以下三個問題：(1)要弄清楚引起分類討論的原因；(2)要確定分類討論的對象和標準，標準不同，分類的結果也不同；(3)分類討論的原則是不重復、不遺漏.

分析本題需將斜三角形轉化為直角三角形，再利用直角三角形的邊角關系進行求解.解題時需考慮兩種情況：一是△ABC為銳角三角形，二是△ABC為鈍角三角形.

解(1)若∠B是銳角，如圖4所示，過點C作CD⊥AB于點D.

圖4

∴AB=AD+DB=9+3=12.

(2)若∠B是鈍角，如圖5所示，過點C作CD⊥AB,交AB的延長線于點D.

圖5

∴AB=AD-DB=9-3=6.

評析本題屬于已知兩邊及其中一邊對角求解三角形的問題，沒有明確圖形的形狀，直接求解易出錯，因此，這類問題往往要對三角形的形狀進行討論.對這類問題進行訓練有助于學生對問題的批判理解、遷移應用，提升分析問題和發(fā)散思維的能力，以及對數(shù)學問題嚴密性的深入理解與掌握.

四、活用轉化與化歸思想，促進學生提升綜合運用能力

深度學習強調探究式學習，在探究式學習中，一般由簡單直觀型知識結構向拓展抽象型知識結構延伸，逐漸完善個人數(shù)學知識體系，通過活用數(shù)學思想分析、解決問題來發(fā)展高階思維能力，并有效遷移應用到解決真實情境問題中.深度學習著重研究解題思維的自然性，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等進行深度探究，運用轉化與化歸思想將實際問題數(shù)學化、陌生問題熟悉化、抽象問題具體化、復雜問題簡單化，對所學知識做到有效的遷移應用，最后順利解決原問題.

1.化動為靜，巧解動態(tài)問題

例6如圖6，在平面直角坐標系中，若點P的坐標為(4，0)，⊙P交x軸于原點O和點N，A，B，C三點的坐標分別為(-2，0)，(0，6)，(0，c)，且0

圖6

分析分析直線AC與⊙P的位置關系，可以優(yōu)先考慮相切這種特殊關系，運用切線的性質定理求得c的值，此時c的值就是一個分界點.在解題的過程中，應用直線的“靜態(tài)”——直線與圓相切作出圖形，化動為靜，這是解答本題的關鍵.

解當點C在線段OB上移動時，直線AC與⊙P有三種位置關系：相離、相切、相交.

設當點C運動到OB上某處時，恰使直線AC切⊙P于點M，連接PM.

∵AM是⊙P的切線，

∴PM⊥AM，且PM=4.

在Rt△APM中，AP=6，PM=4，

評析本題中，直線AC是運動狀態(tài)的，要直接判斷它與⊙P的位置關系不易，因此考慮化“動”為“靜”，而且為準確定性，又化“形”為“數(shù)”，從而取得“化難為易、化繁為簡”的效果.這類問題的訓練有助于提升學生對動態(tài)問題的分析與解決，使其更深入地理解數(shù)與形、動與靜的關系，對所學知識做到有效的遷移應用.

2.化曲面為平面，巧求最短距離

例7如圖7，已知圓錐底面半徑OA=10 cm，母線SA=40 cm，問：由點A繞側面一周的最短距離是多少？

圖7

分析如何繞圓錐側面一周才能使路線最短，這難以想象，但是如果把圓錐的側面展開，將曲面轉化成平面，由“兩點之間線段最短”則可求出最短距離.

解將圓錐的側面展開可得到如圖8所示的扇形，連接AA′，則AA′為點A繞側面一周的最短長度.

圖8

設圓錐側面展開圖的圓心角度數(shù)為n°，

∵OA=10 cm，∴圓錐底面周長為2π×10=20π(cm)，

∴△AA′S是等腰直角三角形，

評析空間中求最短距離對學生而言是陌生的，是不直觀的，因此，可利用側面展開圖求圓錐側面上兩點間的最短距離，把空間圖形轉化為平面圖形，達到化陌生問題為熟悉問題的目的，這也更符合學生的認知習慣.這類問題的訓練有助于學生對新知識的深入探究和學習.

數(shù)學深度學習的關鍵是讓學生在學習的過程中深化理解知識、發(fā)散思維、優(yōu)化思維、提升思維，促進學生高階思維能力的發(fā)展.任何數(shù)學問題的最終解決都是以數(shù)學思想為指導，以數(shù)學方法為手段，所以，有效地將數(shù)學思想納入基礎知識范疇，適時對數(shù)學思想和方法進行揭示、概括和強化，讓學生從數(shù)學思想的高度把握知識的本質和內在的規(guī)律，逐步體會數(shù)學思想的精神實質，是促進學生深度學習、提高學生思維品質的重要舉措.