重視核心概念生成 關注抽象素養培養

【摘 要】 “隨機事件和樣本空間”兼具知識預備與單元導引的雙重價值.依據大概念教學理論，從內容本質與常見問題分析入手，圍繞“如何獲得研究對象”這一核心任務，進行整體教學設計，讓學生在具體情境中體會“隨機性”，利用集合語言刻畫隨機現象，抽象獲得核心概念，并開展類比、聯想研究事件關系，為概率單元的學習與隨機思想的形成奠定基礎.

【關鍵詞】 核心概念;樣本空間;隨機事件;數學抽象

概率是研究隨機現象規律的數學分支，為人們提供了從不確定角度認識客觀世界的思維模式和解決問題的方法.隨著課程改革的深入推進，概率早已成為中學數學課程的重要組成部分，承擔著培養學生分析隨機現象能力，提升數學抽象、數學建模、邏輯推理以及數學運算等核心素養的育人任務.

“隨機事件和樣本空間”作為概率單元起始課，兼具知識預備與單元導引的雙重價值.一方面，本課時的首要任務是使得學生獲得研究對象——隨機事件.《普通高中數學課程標準（2017年版）》首次引入樣本點和樣本空間，用集合語言刻畫隨機現象，進而抽象出“隨機事件”，這無疑給核心概念的生成帶來了新生機，當然也帶來了教學上的新挑戰.另一方面，本單元是高中課程第一次全面研究不確定現象，從研究內容到研究思想，再到研究路徑都與以往學習存在較大差異.故從單元起始課起，教師就需高處著眼，引導學生了解隨機研究領域，培養隨機思想.然而，我們卻發現在實際教學中這兩方面都還存在著諸多不盡如人意之處，或是教師對于教學內容認識不夠深刻導致教學設計偏差，或是受“一定義三注意”概念教學方式影響認為其并非要害，無需多費心思.針對此內容的研究更不多見，據統計自2017年以來，中國知網收錄的相關文章僅9篇.

近年來，大概念教學理念逐步走入人們的視野.聚焦大概念，撥冗去繁、突出重點，可以較好地聯結學科知識構建與核心素養培養，為解決“隨機事件和樣本空間”的教學問題，統領概率單元概念教學提供了新樣態和新途徑.

基于此，現就本課時的教學思考和相關設計淺談一二.

1 基于大概念理論的教材內容解構與常見問題剖析

章建躍老師曾指出改進教學要從加深理解內容入手.在日常概率教學中，我們發現教師經常因自身專業儲備不足，概率基礎知識理解不深，思想方法把握不準而導致教學趨于淺層，甚至出現偏差.故先進行核心內容和常見問題分析就顯得尤為重要.1.1 幾個概念1.1.1 隨機現象

隨機現象是概率論研究的起點.教材中描述其為“在一定條件下，某種結果可能發生，也可能不發生，事先不能確定出現哪種結果的現象”.第一，隨機現象是一種“現象”，它廣泛存在于生活當中，是事物表現出來的外部形態，以人們感性經驗為基礎的認識.因此對其理解需要大量具體實例的支撐;第二，隨機現象具有“隨機性”，這明確了概率的研究范圍，用辯證唯物主義觀點來看，隨機性是客觀存在的，人們對確定性和隨機性關系的認識推動科學不斷進步，同時也會隨著科學進步而不斷深入，由此可見，確定性只是隨機性的一種特殊狀態.由于考慮到隨機現象的復雜性與學生現階段的認知儲備，高中必修課程中概率的研究對象僅限于結果有限、不可預知、頻率穩定的隨機現象[1].1.1.2 試驗

試驗是概率論的初始型概念，分析隨機現象的數量規律需借助試驗進行，隨機事件的認知更是建立在試驗的認知之上.教材指出“對于某個現象，如果能讓其條件實現1次，那么就是進行了1次試驗.”雖是描述性概念，但仍需究其深意：第一，試驗是可以重復的;第二，所有可能的結果是明確可知的;第三，每個結果的出現都具有隨機性.

1.1.3 樣本點和樣本空間

樣本點和樣本空間是描述試驗結果，測量隨機事件的基礎，構建樣本空間是概率建模過程中關鍵的一步.教材中以具體試驗為例，把“拋擲一顆骰子，結果向上的點數是k”記為ωk（k=1，2，3，4，5，6），指出像ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6這樣不可能再細分的結果稱為樣本點，所有樣本點組成的集合稱為樣本空間.這里明確試驗的每一個可能結果都是樣本點，重點強調“不可能再細分”，這是構建樣本空間的原則.并以具體實例探究建構樣本空間的程序和技巧，如遞進設計拋擲一枚、兩枚乃至三枚硬幣，寫出其各自的樣本空間（圖1）.由此明確樣本點僅由問題背景決定.

同時，“描述樣本點”還是培養符號語言的良好載體，如引導學生利用不同語言描述樣本空間（表1），對比優化的同時，尋求化歸統一，為后續學習伯努利試驗做準備[2].

1.1.4 隨機事件

隨機事件作為概率的研究對象，是單元起始課的核心概念，更是整個單元知識體系的基石.與以往舊教材描述性定義不同，新教材定義隨機事件為“樣本空間的子集”，即通過試驗將隨機現象從外部世界抽象出來，并運用集合語言加以刻畫，簡而言之，隨機事件是隨機現象數學化.隨機事件的本質是試驗表現出的一種結果，事件的發生就是當且僅當滿足某種條件的樣本點出現.在此基礎之上，進一步類比特殊集合，了解空集是不可能事件，全集是必然事件，且兩者均是隨機事件的極端情況，這些基本觀念建立后就可以尋覓產生結果的原因了.

1.2 一條主線

大概念教學倡導圍繞位于學科、單元或是課時頂層的關鍵性概念，將具體知識按照一定的邏輯線索，組織層級結構分明的教學.據統計，概率單元起始課時“隨機事件和樣本空間”涵蓋各級概念共計12個，面對這樣繁雜的學習內容，首先需要明確該課時的“大概念”與“大任務”“使學生獲得概率研究對象隨機事件”正是單元起始課的核心.新教材在該問題上進行了重構（如圖2），旨在解決以往隨機事件在抽象生成和深度理解上的困擾，同時該路徑所獲概念更加接近大學公理化定義，為高等數學的學習做了基礎性的鋪墊.

此外，除了“獲得研究對象”這一明線外，本課時還有一條思想暗線，即通過對于“隨機性”從感性到理性的體驗，初步形成“隨機思想”.

1.3 若干問題

基于以上分析，再反觀日常概率單元起始課教學，我們歸納問題如下：

1.3.1 未處理好點

隨機現象積累不足.教學中常因“隨處可見”而忽視引導學生從感性到理性深入感受，這不利于研究動因的形成、研究對象的獲取以及“隨機性”的體會.

試驗重視不足.試驗是開展概率研究的工具，教學中常會引導學生以像“拋一枚硬幣”“擲一顆骰子”等感性、具象地認識“試驗”，但缺乏對這一基礎性概念更深層次的理解.

隨機現象與隨機事件關系理解不深.混淆兩概念是概率教學中的常見難點，由此折射出學生乃至教師對于概念及其關系理解的盲點.

樣本空間構建原則不清.選擇適當集合語言構建樣本空間并不容易，樣本點“不可再分”的原則易說不易做，學生缺乏建構技巧，容易忽視不同結果的順序問題.1.3.2 未勾勒出線

碎片化的概念生成使得學生應接不暇，卻又不明就里.究其原因，多是教學時缺乏邏輯準確、路徑鮮明的主線將諸如隨機現象、樣本點和樣本空間、隨機事件等重要概念串珠成線，織線成網，形成系統的知識結構.

1.3.3 未深究入髓

隨機思想是統領概率單元教學的關鍵，沒有引導深層學習的教學極易造成學習的片面和短視，學生僅停留在機械的模仿與操作層面，無法深入體會概率知識背后所蘊含的邏輯根據、思想方法和價值意義.

2 基于大概念理論的教學設計片段及思考

為了解決以上問題，教師在概率單元起始課教學設計時需站位高遠，以概率核心思想為指導，一以貫之地處理好單元概念教學，尤其重視初始概念教學.2.1 設置情境，體驗隨機現象

活動1：出示一個布袋，里面裝有紅球4個.

問題1-1：（1）同學們，現在閉上眼睛從袋中隨意摸出一球，該球是紅球嗎？

生：一定是.

（2）那會是白球嗎？

生：一定不是.

師：像這種在一定條件下，事先就能斷定發生或不發生某種結果的現象，稱為確定性現象.

教師又將1個白球放入布袋.

（3）現在再從袋中隨意摸出一球，該球一定是紅球嗎？

生：不一定.

追問：什么叫“不一定”？

生：有可能是，也有可能不是.

師：在一定條件下，事先不能確定出現哪種結果，這種現象就是隨機現象.

問題1-2：請觀看短片，你能分析出短片中哪些現象是隨機現象嗎？

互動情境短片：某日，我校籃球隊和兄弟學校比賽.關鍵時刻，小明應當把球傳給位于投籃位置的7號、9號和11號哪位球員（后出示三個球員的投籃命中率，學生幫助選擇）;比賽結束后，大家要買飲料，抽簽決定派12人中的兩個人去對面的超市買飲料（計算機模擬抽簽）;兩人對于選擇A還是B兩種品牌的飲料意見不統一，一時難以抉擇，于是拋硬幣決定，若正面向上就選A，若反面向上就選B（一名同學現場演示）;結賬后，小x從購買的飲料中隨便拿了一瓶，打開瓶蓋，竟發現自己中獎了.

學生討論提取現象：（1）小明在三個球員中選擇一位傳球，他選擇了11號;（2）從12人中抽簽決定派兩人去跑腿，抽中小x和小y;（3）拋一枚硬幣，正面向上;（4）小x拿一瓶打開，發現中獎了.

問題1-3：這些隨機現象有什么共同的特點嗎？

師生共同分析：就一次觀測而言，事先預知可能有幾種結果;某種結果可能發生也可能不發生，具有偶然性;根據初中學習和生活經驗可知，若是重復大量的觀測，每個結果出現的可能性大概有一定的規律.

問題1-4：生活中隨機現象隨處可見，你還能舉出幾例嗎？

教師引導學生從游戲（擲骰子、抽撲克牌）、應用（股票投資、基金理財）等方向尋找.并總結：在自然界和人類社會的生產與生活中，存在著大量的隨機現象.雖然其結果具有不確定性，但若是我們能夠了解并掌握內在規律，就可以幫助我們做出更優化的選擇.

設計意圖 隨機現象是概率研究的起因和起點，雖然生活中充斥著大量的隨機現象，但學生很少會有意識地加以思考，概率單元起始課要匯集足夠的數學經驗，讓學生明確即將研究問題的生活來源，故筆者設計“摸球演示”“短片互動”“個人舉例”三步情境引入.“摸球演示”旨在借助初中熟悉模型，引出確定性現象和隨機現象;“短片互動”旨在引導學生通過自身體驗、信息技術輔助等沉浸式體會“隨機性”，又在其中滲透概率內容的特點，如“中獎”案例幫助學生體會概率含義，“傳球”案例則引導學生理解利用概率進行合理決策，再通過選擇的11號并未進球這一結果，說明即便合理決策也未必一定取得好的結果，進而深化“隨機性”的認識;“個人舉例”則是推動學生由習得到生成.

2.2 抽象生成，建構核心概念

師：隨機現象雖然具有“隨機性”，但其內在數量規律往往對于生產生活有很大的價值，因此下面我們開始研究隨機現象的數量規律，這是概率單元的主要學習任務.

問題2：那如何展開隨機現象研究呢？

設計意圖 提出“大任務”推動學生學習，這一目標將成為串起本課時乃至本單元內容的主線.根據學生所提，師生共同找尋研究方向，可以從具體例子開始，可以讓條件重復實現，進行觀測.

教師給出試驗的概念：對于某個現象，如果能讓其條件實現1次，那么就是進行了1次試驗.而試驗的每一種可能的結果都蘊含著某種統計規律.

問題3：試驗具有什么共同的特點嗎？

學生以情境中的摸球、選人、抽簽、拋硬幣、抽獎為例，歸納得出試驗特征：（1）試驗是可以重復的;（2）所有可能的結果是明確可知的;（3）每個結果的出現都是具有隨機性的.

設計意圖 試驗是描述型概念，通過“摸”“選”“抽”“拋”等動作描述，引導學生指向結果分析，為引出樣本空間做鋪墊.

問題4-1：請以“擲一枚骰子，觀察朝上一面”為例，說出其所有可能的結果.

生：1點、2點、3點、4點、5點、6點.

問題4-2：也就是說這些試驗的結果是一些確定的、不同的對象，我們可以將它們集結到一起，能用熟悉的數學語言加以刻畫嗎？

生：可以，所有可能的試驗結果構成一個集合.

師：非常好！我們用集合語言刻畫：{1點、2點、3點、4點、5點、6點}.

教師給出樣本點和樣本空間的概念：我們把“拋擲一顆骰子，結果向上的點數是k”記為ωk（k=1，2，3，4，5，6）.像上述ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6這樣不可能再細分的結果稱為樣本點，所有樣本點組成的集合稱為樣本空間，記為Ω，即Ω={ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6}.

問題4-3：請分析概念中的關鍵詞.

生：不可再分.也就是對于這個試驗來說，樣本點是最小的結果單位了.

師：非常好！這是樣本空間的構建原則，“不可再分”完全由問題的背景決定.

問題4-4：我們試著用文字、用字母表示樣本點，還能再簡單些嗎？

生：Ω={1，2，3，4，5，6}.

設計意圖 引導學生從具體試驗入手，通過知識遷移，以集合語言作為工具刻畫試驗結果，建立了隨機現象的數學模型.強化“樣本點不可再分”這一構建原則，為后續進一步分析復雜樣本空間奠定理論基礎，并且在樣本點的表述上，經歷了從文字到字母，再到數字的抽象過程，體會如何規范且簡潔地書寫樣本空間，提升學生數學表征水平[3].

問題5-1：拋擲一顆骰子，結果向上的點數為偶數.你能用集合將其表示出來并解釋嗎？

生：{2，4，6}.當拋擲一顆骰子，向上的點數是偶數時，{2，4，6}中的一個樣本點發生;反過來，{2，4，6}中的一個樣本點發生，則拋擲一顆骰子，向上的點數是偶數.

問題5-2：這個集合與樣本空間有什么關系？

生：是樣本空間的子集.

師：是的.我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，也稱為事件.事件一般用A，B，C……等大寫英文字母來表示.

“拋擲一顆骰子，結果向上的點數為偶數”記為事件A，值得注意的是一個事件的完整表述分為兩個部分，前一部分是試驗的條件，后一部分為試驗的結果.這里事件A={2，4，6}，即當一個試驗的結果是A的一個元素時，事件A就發生了.問題5-3：針對這一試驗，你還能提出哪些事件？并試著用集合表示該事件嗎？

學生討論，給出多個事件，如表2.

問題5-4：請大家觀察，同學們寫出的隨機事件中哪些比較特殊？為什么？

生1：事件E和事件F比較特殊.事件E包含了所有的樣本點，事件F沒有一個樣本點.

生2：事件B也比較特殊，它只包含一個樣本點.

追問：能從集合的角度認識它們嗎？

生：分別是全集、空集以及含有一個元素的集合.

師：很重要的發現.Ω（全集）稱為必然事件，（空集）稱為不可能事件.它們是隨機事件的極端情況，本身并不具有隨機性.

當一個事件僅包含單一樣本點時，稱為基本事件.

設計意圖 隨機事件是本課時的核心概念，也是概率單元的線索，其生成是單元起始課的重點也是難點.筆者通過設計問題串，用集合語言刻畫隨機現象，推動隨機現象數學化，最后，放手讓學生自由提出“拋擲骰子”試驗的隨機事件，這是從“學”到“用”的升華，并在應用中引導學生類比集合發現并定義隨機事件的特殊情形.至此，核心概念建構完成，并在建構中培養學生數學抽象素養.

2.3 知識遷移，探尋事件關系

問題6-1：請大家觀察事件A和事件B，你能用集合語言分析A，B兩者之間的關系嗎？

生：B A.就是若B發生，A一定發生.

師：非常好！我們發現B A，即“事件B發生必導致事件A發生”.這時，稱B是A的子事件.

追問：同學們列舉的這些事件中還存在著這樣的關系嗎？

學生一一找出.

問題6-2：剛才的問題給了我們一個思路：可以類比集合的關系和運算研究事件的關系與運算，對嗎？請大家仔細研究，嘗試還有什么發現？

生1：我發現D=G∪H，也就是“事件G與H至少有一個發生就是D發生”.

師：我們稱D是G與H的并，也稱D是G與H的和，并記作D=G+H.

生2：我發現G=A∩D，也就是“事件A與D同時發生就是G發生”.

師：我們稱G是A與D的交，也稱G是A與D的積，并記作G=AD.

設計意圖 事件的關系和運算是集合語言刻畫隨機事件的后續生成.針對樣本點、樣本空間、隨機事件及其關系，引導學生類比遷移，通過集合的“子”“交”“并”，自行研究事件的關系與運算.如此設計，學生一方面厘清知識間的聯系，更重要的是學會了提出問題，探索研究問題的路徑.

2.4 串珠成線，形成完整知識鏈條

問題7：同學們，今天我們一起走進了概率世界，在這里我們更加深刻地認識了隨機現象，并完成了隨機現象數學化這一抽象生成，你能用導圖的形式概括回顧今天的學習嗎？

設計意圖 圍繞隨機事件這一核心概念的生成，引導學生高處站位，以整體目光審視本課時內容，撥冗去繁，抽出主線，如此設計可以更好地促進學生自主審視學習內容，梳理研究路徑，為后續學習奠定基礎.

參考文獻

[1] 張靈，徐章韜.微言要義之隨機現象與隨機事件[J].數學通報，2017，56（09）：15-17.

[2] 程海奎，章建躍.用樣本空間刻畫隨機現象定義隨機事件的概率發展學生的隨機觀念[J].數學通報，2021，60（05）：1-9.

[3] 邱瑤.“樣本點、樣本空間和隨機事件的表達”教學設計[J].中國數學教育，2021（08）：50-54.

作者簡介 孔繁晶（1984—），女，江蘇徐州人，講師;曾獲市級優質課一等獎，教師基本功比賽一等獎;研究方向為中學數學教育與研究;10余篇論文發表，其中1篇論文被人大復印報刊資料《高中數學教與學》全文轉載.