讓類比聯想成為數學解題的催化劑

【摘 要】 本文以一道清華大學中學生標準學術能力測試題為例，從5個視角運用類比聯想，用9種突破方法解答問題，進而體會在解決一些數學問題時，合理地運用“類比聯想”可成為問題解決的“催化劑”.【關鍵詞】 類比聯想;數學解題;催化劑

類比聯想法是指由某一事物的觸發而引起和該事物在性質上或形態上相似事物的聯想.在數學學習中，類比聯想是一種重要的思維活動，它不僅能夠幫助我們猜測和發現結論，而且能為我們提供解題思路和方向.這正象著名數學家歐拉所說“類比是偉大的引路人”.在數學解題教學中，以類比聯想進行組織教學，不僅可以復習已有的知識，而且還在獲得新知的過程中加深對已有知識的理解，引起聯想，促進記憶，啟發思維，有助于培養學生的邏輯思維能力和探索發現能力.因此，在數學解題教學中，應重視類比聯想的教學，讓類比聯想成為數學解題的催化劑.本文以清華大學中學生標準學術能力（THUSSAT） 2021年11月新高考診斷性測試第8題的解法為例來說明類比聯想在數學解題中的“催化劑”作用.

1 試題呈現

已知x，y滿足x2+y2=4y-3，則3x+yx2+y2的最大值為（? ）.

A.1? B.2? C.3 ??D.5

2 試題簡析

該題看似無從著手，難以找到解答的思路和方向，但若仔細分析已知條件或所求結論中式子的結構特征，類比聯想有關的數學定義、公式、模型等，可幫助我們迅速找到解決問題的突破口.

3 解法探究

類比聯想1 將目標式平方（3x+y）2x2+y2=3x2+23xy+y2x2+y2，由結構特征類比聯想“齊二次分式”Ax2+Bxy+Cy2Dx2+Exy+Fy2，分子、分母同時除以x2，轉化為關于λ=yx的一元函數問題求解.

解析 設z=3x+yx2+y2，

當x=0時，z=1;

當x≠0時，則z2=（3x+y）2x2+y2=3x2+23xy+y2x2+y2=3+23yx+yx21+yx2.

令λ=yx，則z2=3+23λ+λ21+λ2.

下面首先求λ的范圍，可有幾何法和判別式法兩種;然后用導數法和函數單調性法兩種求z2的最值.這樣求λ范圍的方法與求z2最值的方法兩兩搭配，可有下面四種突破方法.

解法1 由x2+y2=4y-3，得x2+（y-2）2=1，其圖形是以（0，2）為圓心，1為半徑的圓，而λ=yx表示圓上的點與坐標原點連線的斜率.

設過原點的直線方程為y=λx，即λx-y=0，若直線與圓相切，則|-2|λ2+1=1，解得λ=±3.故λ≤-3或λ≥3.

由z2=3+23λ+λ21+λ2，構造函數f（λ）=

3+23λ+λ21+λ2=1+2+23λ1+λ2（λ≤-3或λ≥3）.

所以f′（λ）=23（1+λ2）-（2+23λ）·2λ（1+λ2）2=-23λ2-4λ+23（1+λ2）2=-2（3λ-1）（λ+3）（1+λ2）2，

當λ≤-3時，f′（λ）≤0，當λ≥3時，f′（λ）<0，所以f（λ）在（-∞，-3]和[3，+∞）上均為減函數.

又f（-3）=0，f（3）=3，且λ→-∞時，f（λ）→1，λ→+∞時，f（λ）→1，故當λ=3時，f（λ）取得最大值3，所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.

解法2 聯立方程，得y=λx，x2+y2=4y-3，消去y整理得（1+λ2）x2-4λx+3=0.由Δ=（-4λ）2-4（1+λ2）×3≥0，解得λ≤-3或λ≥3.

以下同解法1.

解法3 由解法1，得λ≤-3或λ≥3.

由z2=3+23λ+λ21+λ2，構造函數f（λ）=3+23λ+λ21+λ2=1+211+λ2+3λ1+λ2=1+211+λ2+31λ+λ（λ≤-3或λ≥3）.

易知當λ≥3時，1+λ2和1λ+λ均單調遞增，所以11+λ2和3λ1+λ2均單調遞減，所以函數f（λ）在[3，+∞）上單調遞減.當λ≤-3時，由于f（-3）=0，且λ→-∞時，f（λ）→1.

故當λ=3時，f（λ）取得最大值3，所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.

解法4 由解法2，得λ≤-3或λ≥3.

以下同解法3.類比聯想2 由已知方程的變形x2+（y-2）2=1和目標式中x2+y2的結構特征，類比聯想同角三角函數的平方關系sin2θ+cos2θ=1，可以分別利用三角換元，將問題轉化為三角函數問題.

首先從已知條件中的方程出發進行三角換元來突破.

解法5 由x2+y2=4y-3，得x2+（y-2）2=1.

令x=cosθ，y-2=sinθ，即x=cosθ，y=sinθ+2，θ∈[0，2π]，所以z=3x+yx2+y2=3cosθ+sinθ+2cos2θ+sinθ+22=3cosθ+sinθ+24sinθ+5，所以z2=（3cosθ+sinθ+2）24sinθ+5.

令f（θ）=（3cosθ+sinθ+2）24sinθ+5，θ∈[0，2π]，

所以f′（θ）=2（3cosθ+sinθ+2）（-3sinθ+cosθ）（4sinθ+5）-（3cosθ+sinθ+2）2·4cosθ（4sinθ+5）2=

23cosθ+sinθ+2（-43sin2θ+4sinθcosθ-53sinθ+5cosθ-23cos2θ-2sinθcosθ-4cosθ）（4sinθ+5）2=23cosθ+sinθ+2（-23sin2θ+2sinθcosθ-53sinθ+cosθ-23）（4sinθ+5）2=23cosθ+sinθ+2[-32sin2θ+5sinθ+2+cosθ2sinθ+1]（4sinθ+5）2=-23cosθ+sinθ+22sinθ+1（3sinθ-cosθ+23）（4sinθ+5）2.

因為3cosθ+sinθ+2≥0，3sinθ-cosθ+23>0，所以若2sinθ+1≥0，即sinθ≥-12，此時θ∈0，7π6∪11π6，2π，f′（θ）<0，所以f（θ）在0，7π6和11π6，2π上單調遞減.

當2sinθ+1<0，即sinθ<-12，此時θ∈7π6，11π6，f′（θ）>0，所以f（θ）在7π6，11π6上單調遞增;

所以當θ=7π6時，f（θ）有極小值為f7π6=0，當θ=11π6時，f（θ）有極大值為f11π6=3.

又f0=f2π=（3+2）25=7+435∈（0，3）.

故當θ=11π6時，f（θ）取得最大值3，所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.

解法5思路清晰，但運用導數，求導和整理過程運算量較大.下面再從目標式出發進行三角換元來突破.

解法6 設x2+y2=r（r>0），則令x=rcosθ，y=rsinθ，θ∈[0，2π].

所以z=3x+yx2+y2=3rcosθ+rsinθr=3cosθ+sinθ=2sinθ+π3.

將x=rcosθ，y=rsinθ代入已知條件中的方程x2+y2=4y-3，得（rcosθ）2+（rsinθ）2=4（rsinθ）-3，即r2-4rsinθ+3=0，所以sinθ=r2+34r=14r+3r.

由二元均值不等式，得r+3r≥23，當且僅當r=3r，即r=3時取等號，所以sinθ≥234=32.

因為θ∈[0，2π]，所以π3≤θ≤2π3，所以2π3≤θ+π3≤π，所以0≤sinθ+π3≤32，即0≤2sinθ+π3≤3.

所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.類比聯想3 將目標式變形3x+yx2+y2=3×xx2+y2+yx2+y2，由結構特征，類比聯想正弦函數的定義sinθ=yx2+y2和余弦函數的定義cosθ=xx2+y2，從而挖掘問題所隱含的三角特征，利用三角函數知識突破.

解法7 設A（x，y）為圓x2+y2=4y-3，即x2+（y-2）2=1上任一點，O是坐標原點，記∠xOA=θ，則由正弦、余弦的三角函數定義得cosθ=xx2+y2，sinθ=yx2+y2，所以3x+yx2+y2=3×xx2+y2+yx2+y2=3cosθ+sinθ=2sinθ+π3.

易知，當OA與圓x2+y2=4y-3相切時，θ分別取得最小值為π3，最大值為2π3，所以π3≤θ≤2π3，所以2π3≤θ+π3≤π，所以0≤sinθ+π3≤32，所以0≤2sinθ+π3≤3.

所以3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.類比聯想4 由目標式的變形3x+yx2+y2=3·x+1·yx2+y2的結構特征，類比聯想兩向量夾角的坐標公式：cosθ=x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22，構造向量，利用向量的數量積運算并數形結合突破.

解法8 由3x+yx2+y2=3·x+1·yx2+y2，設OA=（x，y），OB=（3，1），則3x+yx2+y2=3·x+1·yx2+y2=OA·OBOA=|OA|OB|cos∠AOBOA=|OB|cos∠AOB=2cos∠AOB.

如圖1，A（x，y）為圓x2+y2=4y-3上的點，當OA與圓在右側相切時，∠AOB=π6，A32，32，

此時cos∠AOB取得最大值，所以3x+yx2+y2≤2cosπ6=3.

所以3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.類比聯想5 由目標式的變形|3x+y|x2+y2=2×|3x+y|（3）2+12x2+y2的結構特征，類比聯想兩點間的距離公式和點到直線的距離公式，從而挖掘問題中所隱含的幾何特征，利用幾何法突破.

解法9 由|3x+y|x2+y2=2×|3x+y|（3）2+12x2+y2，設A（x，y）為圓x2+y2=4y-3上的點，則x2+y2表示點A與原點O（0，0）之間的距離，|3x+y|（3）2+12表示點A到直線3x+y=0的距離.

如圖2，易知直線3x+y=0與圓x2+y2=4y-3相切，過點A作直線3x+y=0的垂線，垂足為H，則|3x+y|x2+y2=2×|3x+y|（3）2+12x2+y2=2·AHOA=2sin∠AOH，顯然當OA在右側與圓x2+y2=4y-3相切時，sin∠AOH最大，此時易求得∠AOH=π3，所以sin∠AOH的最大值為sinπ3=32，所以3x+yx2+y2的最大值為2×32=3.故選C.4 結語4.1 有些數學問題，貌似無從著手，難以找到解答的思路和方向，但若仔細分析已知條件或所求結論中式子的結構特征，類比聯想相關的數學定義、公式、模型等，挖掘問題所蘊含的數學本質，可幫助我們迅速找到解決問題的突破口，從而快捷地解決問題.上面這道清華大學中學生標準學術能力測試題，就是從5個視角運用類比聯想、9種突破方法解答的.從中我們可以體會到，在解決許多數學問題時，若能合理地運用“類比聯想”，可成為問題解決的“催化劑”.

4.2 若想更好地運用類比聯想解決問題，既要有一雙善于觀察、分析的慧眼，能夠從問題的結構特征中類比聯想相關知識對象和模型，又需要從解題的思想方法、思維策略等層面尋求內在聯系，同時，平時還要注意多儲存、多積累數學知識模型和解題經驗.英國數學家懷特·海德說過：“數學是從模式化的個體作抽象的過程中對模式的研究.”[1]羅增儒教授也說過：“學習數學的過程中，所積累的知識經驗經過加工，會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結構與重要題型——模式，將其有意識地記憶下來.當遇到一個新問題時，我們辨認它屬于哪一類基本模式，聯想起一個已解決問題以此索引，在記憶存儲中抽取相應的方法來解決，這就是模式識別的解題策略.”[1]如果對平時的問題善于總結、積累，那么在以后解題時，就可以迅速將新問題通過類比聯想轉化為已掌握的類型.如上面解答測試題的每一種方法都是建立在以前已有的解題模式、經驗基礎上，產生聯系，運用類比聯想，問題得以突破的.

參考文獻

[1] 尹承利.滲透“直觀想象”素養 求解函數熱點問題＼[J＼].數學通訊（上半月），2019（07），41-43.

作者簡介 張鳳麗（1977—），女，山東泰安人，中學高級教師，現任泰安市岱岳區高中數學教研員;教學教研成績突出，被評為“泰山教壇英才”“泰安市學科帶頭人”，多次獲得市優秀教師、市級優質課一等獎等;主要從事高中數學教育教學等方面的研究;發表多篇論文.