真題解密同構顯 課本一隅題根隱

巨小鵬 魏寧

【摘 要】 解題目的在于化繁為簡，以此理解數學的本質，同構法在近幾年高考題中不斷顯現，方法讓人耳目一新，做到了解題至簡，也達到了理解函數性質的目的，然而這種方法的題根題源就在課本里.文中就兩個函數高考壓軸題所涉及同構法的例題進行剖析，找出在課本中的題根題源，并對四種類型的同構法進行舉例提升總結，以深刻理解同構法的底層邏輯.

【關鍵詞】 真題;同構;課本;題根題源

高考題源于課本，高于課本，重視課本中的例題、習題、閱讀材料以及旁白思考問題是需要師生共同關注的部分，比如2020年全國2卷理科第4題北京天壇問題，在北師大版必修五第一章第二節例8中可以找到其題根題源，比如高考題中求三角形面積需要用到其坐標公式，在北師大版必修五第二章第一節例3中有所介紹，所以強調重視課本教材是高中教學不可忽視也不可錯失的陣地.同構法在函數、圓錐曲線和數列等模塊中的應用逐漸顯現并被大家接受和認可，文中就同構法解決函數問題在課本中的題根題源做以分析，并對其內在規律總結提升，以期完成對同構法的思維構建.1 平凡見奇生面開——真題呈現

問題1 （2020年山東新高考卷·21）已知f（x）=aex-1-lnx+lna.若f（x）≥1，求a的取值范圍.問題2 （2018年全國新課標Ⅰ卷文科·21）已知函數f（x）=aex-lnx-1.

（1）設x=2是f（x）的極值點.求a，并求f（x）的單調區間;（2）證明：當a≥1e時，f（x）≥0.

2 源頭活水清如許——課本尋根

特級教師萬爾遐說過：“題海戰術人笑癡，別人抓根你抓枝，抓根九九能歸一，抓枝遍野怎收拾？課有本，題有根，題根課根聯考根，講課不把根題展，盲人摸象白費神.”命題時，命題人在千方百計地把這個題根藏起來;解題時恰好相反，解題人則是要千方百計地把這個題根尋找到[1].找到題根題源，就找到問題的底層邏輯，以此展開思維生發生長的繼續探究.題源1 （蘇教版（新版）高中數學必修一第19頁13題）已知兩條直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都過點A（1，2），求過兩點P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直線方程[2].解析 因為兩條直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都過點A（1，2），所以a1+2b1+1=0且a2+2b2+1=0.即（a1，b1），（a2，b2）是方程x+2y+1=0的兩組解，所以過兩點P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直線方程是x+2y+1=0.

評注 題本身不難，重點在由已知得出（a1，b1），（a2，b2）是方程x+2y+1=0的兩組解，對于這種結構相同性問題，構造出新的方程解決問題的方法值得我們去探究.

題源2 （北師大版高中數學必修一第83頁練習2第1題（3））求等式中x的值：10x+lg2=2000[3].

解析 角度1：10x+lg2=10x·10lg2=2·10x=2000，所以10x=1000=103，即x=3.

角度2：2000=2·103=10lg2·103=10lg2+3=10x+lg2，即x=3.

評注 角度1運用指數運算性質化簡，其中用到了對數性質公式，然后將等式兩邊化成以10為底的形式（即結構相同的形式），指數對應相等;角度2運用對數性質公式將2化成10lg2，再運用指數運算性質，將等式兩邊化成都是底數為10的形式，左右結構相同，則數對應相等.兩個角度都用到了一個重要的對數性質公式alogaN=N（a>0，a≠1），然后將等式化成結構相同的形式解決問題.

3 鴛鴦繡出憑君看——同構法問題解答

問題1解析 解法1：f（x）=aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna≥1等價于elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx（x>0），令g（x）=ex+x，上述不等式等價于g（lna+x-1）≥g（lnx），可知g（x）為單調增函數，上式又等價于lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1，令h（x）=lnx-x+1，則h′（x）=1-xx，則函數h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，即h（x）max=h（1）=0，所以lna≥0，即a≥1.

解法2：aex-1-lnx+lna≥1等價于aex-1≥lnexaxaex-1≥xlnexaxex≥exalnexaexlnex≥exalnexa，令g（x）=xlnx（x>1），易知g（x）在（1，+∞）上單調遞增.上式等價于g（ex）≥gexa，則ex≥exa即a≥exex在（0，+∞）上恒成立.令h（x）=exex，則h′（x）=e（1-x）ex，所以h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，所以h（x）max=h（1）=1，即a的取值范圍是[1，+∞）.評注 本題用分類討論也可以完成，利用必要性探路也可以，利用同構等價轉化思想比較簡捷，但是綜合分析能力要求更高一些.

問題2解析 （1）a=12e2;f（x）的單調遞減區間是（0，2），單調遞增區間是（2，+∞）;（2）當a≥1e時，要證f（x）=aex-lnx-1≥0，需證1eex-lnx-1≥0，需證ex≥elnex，需證xex≥xelnex，需證xex≥elnxelnex或exlnex≥exlnex.可設F（x）=xlnx或F（x）=xex在（0，+∞）上單調遞增.只需要證x≥lnex=lnx+1即可.

評注 此題開始做了一個簡單的放縮，然后變形.放縮在函數和數列中應用比較廣泛，游刃有余地放縮可以達到事半功倍的效果.

從幾個高考例題和題根中可以看出，解題過程中通過引導和同化，以順應學生的思維層次和知識結構，讓學生從觀察到變形，將條件進行等價轉化，化成結構形式相同的方程或者不等式，然后構造出熟悉的方程或者函數問題，從而通過函數的單調性或者其他性質進行解決問題，起到化繁為簡的目的，我們將這種方法稱為“同構法”.

4 悉數金針度與人——函數中應用舉例揭規律

4.1 涉及方程兩根的同構問題

例1 對于定義域為I的函數，如果存在區間[m，n]I，同時滿足下列兩個條件：①f（x）在區間[m，n]上是單調的;②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]，則稱[m，n]是函數y=f（x）的一個“黃金區間”.如果[m，n]是函數y=（a2+a）x-1a2x（a≠0）的一個“黃金區間”，則n-m的最大值為（? ）.

A.33? B.1? C.233? D.2

解析 由題意，f（x）=a+1a-1a2x 在（-∞，0）和（0，+∞）上均是增函數，故f（m）=m，f（n）=n，即m，n為方程a+1a-1a2x=x的兩個同號實數根，因為mn=1a2>0，且m+n=a+1a，所以只需要a<-3或a>1，所以n-m=（m+n）2-4mn=-31a-132+43，則當a=3時，n-m有最大值233.故選C.例2 已知函數f（x）=x+2+k，若存在區間[a，b][-2，+∞），使得函數f（x）在區間[a，b]上的值域為[a+2，b+2]，則實數k的取值范圍為（? ）.

A.（-1，+∞）? B.（-14，0]

C.（-14，+∞）? D.（-1，0]

解析 據函數的單調性可知，f（a）=a+2，f（b）=b+2，即a+2-a+2-k=0，b+2-b+2-k=0，則a+2，b+2是方程x2-x-k=0的兩個不同非負實根，所以Δ=1+4k>0，-k≥0，得-14<k≤0.故選B.

評注 兩個題都涉及同構法的雛形，通過題意得出兩個結構相似的等式，即可看出方程的兩個根，借助韋達定理，根據題意，從而解決問題.4.2 雙變量類型問題

例3 若對于任意的0<x1<x2<a，都有x2lnx1-x1lnx2x1-x2>1，求a的最大值.

解析 原不等式可化為x2lnx1-x1lnx2<x1-x2lnx1x1-lnx2x2<1x2-1x1lnx1+1x1<lnx2+1x2，據此可設函數f（x）=lnx+1x 在定義域（0，a）上單調遞增，其導函數f′（x）=-lnxx2≥0在（0，a）上恒成立，據此可得0<x<1，即實數a的最大值為1.

總結提升 ①已知f（x1）-f（x2）x1-x2>k設x1>x2，則f（x1）-kx1>f（x2）-kx2，即證y=f（x）-kx為增函數.②已知f（x1）-f（x2）x1-x2<kx1x2設x1>x2，則f（x1）-f（x2）<k（x1-x2）x1x2=kx2-kx1，即證y=f（x）+kx為減函數[4].

4.3 指對同構問題

例4 設實數λ>0，若對任意x∈（0，+∞），不等式eλx-lnxλ≥0恒成立，求λ的取值范圍.

解析 因為eλx-lnxλ≥0，所以λeλx≥lnx.解法1：λxeλx≥xlnx=elnxlnx.因為f（x）=xex在（0，+∞）上遞增，則f（λx）≥f（lnx），則λx≥lnx，即λ≥lnxx，又因為g（x）=lnxx在（0，e）上遞增，在（e，+∞）上遞減，即g（x）max=1e，所以λ的取值范圍是1e，+∞.

解法2：xlnx≤λxeλx=eλxlneλx，因為f（x）=xlnx在0，1e上遞減，在1e，+∞上遞增，

當0<x≤1時，x≤eλx（λ>0），顯然成立;當x>1時，eλx>1，f（x）=xlnx在（1，+∞）上遞增，

則f（x）≤f（eλx），x≤eλx兩邊取對數得λ≥lnxx，下同解法1.

解法3：λxeλx≥xlnx兩邊同取對數得：λx+lnλx≥lnx+lnlnx，因為f（x）=x+lnx在（0，+∞）上遞增，由f（λx）≥f（lnx），得λx≥lnx，下同解法1.

總結提升 此題三種同構方式很常見，比較常見的還有指對同構：①積型：aea≤blnbaea≤（lnb）elnb，構造f（x）=xex;aea≤blnbealnea≤blnb，構造f（x）=xlnx;aea≤blnba+lna≤lnb+lnlnb（兩邊取對數），構造f（x）=x+lnx等三種同構方式.②商型：eaa<blnbeaa<elnblnb，構造f（x）=exx;eaa<blnbeaelnea<blnb，構造f（x）=xlnx;eaa<blnba-lna≤lnb-lnlnb（兩邊取對數），構造f（x）=x-lnx等三種同構方式.③和差型：ea±a>b±lnbea±a>elnb±lnb，構造f（x）=ex±x;ea±a<b±lnbea±lnea<

b±lnb，構造f（x）=x±lnx兩種同構方式.4.4 同構放縮問題例5 已知不等式xex-a（x+1）≥lnx對任意正數x成立，求實數a的取值范圍.解析 因為x>0，則x+1>0.原不等式可化為a≤xex-lnxx+1=ex+lnx-lnxx+1，又因為ex+lnx-lnxx+1≥x+lnx+1-lnxx+1=1，當且僅當x=1e時取等號.所以a≤1.即實數a的取值范圍為（-∞，1].

總結提升 在同構變形的過程中，有時需要利用對數不等式或者指數不等式（兩個重要不等式）進行適當的放縮.例如：（1）ex≥x+1（當且僅當x=0時取等號），以此公式展開的變形有：ex-1≥x;ex≥ex;xex=ex+lnx≥x+lnx+1;exx=ex-lnx≥x-lnx+1等等.（2）lnx≤x-1（當且僅當x=1時取等號），以此公式展開的變形有：lnex≤x;lnx≤xe;xex=elnx-x≥lnx-x+1;x2ex=ex+2lnx≥x+2lnx+1;x2ex=ex+2lnx≥e（x+2lnx）;lnx≤ex-2;lnx≥1-1x;xlnx≥x-1等等.需要注意的是取等條件，即使多次放縮，也要使得取等條件相同.

在解題過程中有時需要借助指數或對數性質進行等價轉化，比如xex=ex+lnx;exx=ex-lnx;x+lnx=ln（xex）;x-lnx=lnexx等需要對性質做到爛熟于心.利用同構法解函數問題，以上的練習遠遠不夠，需要足夠的例題以加強訓練，只有在足夠的變式訓練之后，才能在有限的時間內作出判斷，用什么樣的方法最便捷，以此理解構造函數其本質是函數性質在函數形式變化中的不變性和規律性.

參考文獻

[1] 萬爾遐.命題藏根與解題尋根之例說[J].數學愛好者（高考版），2008（12）：9.

[2] 高中數學教材編寫組.普通高中課程標準實驗教科書數學必修第二冊（蘇教版）[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2019.

[3] 高中數學教材編寫組.普通高中課程標準實驗教科書數學必修第一冊（北師大版）[M].北京：北京師范大學出版社，2014.

[4] 巨小鵬.幾道高考題背后的破解秘密——同構[J].數理化解題研究，2022（01）：56-58.

作者簡介 巨小鵬（1983—），男，陜西漢中人，碩士，中學二級教師;多次教學設計大賽獲獎，曾主持并編寫校本教材高中數學“問題式”“探究合作式”導學案必修和選修系列;研究方向為數學教育和課程與教學論;發表教育教學論文多篇.

魏寧（1981—），男，陜西漢中人，中學一級教師;研究方向數學教育教學研究;主持并編寫校本教材多本.