透視三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想

樊慧卿

（甘肅省隴南市成縣一中，甘肅 隴南 742500）

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，它蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程，對它的靈活運(yùn)用，是數(shù)學(xué)能力的集中體現(xiàn).三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法主要有：

一、數(shù)形結(jié)合思想

由數(shù)到形，以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，具有可以使問題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，有利于加深同學(xué)們對知識(shí)的識(shí)記和理解；在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合有利于分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，拓寬思路，迅速找到解題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力.

例：求函數(shù)的定義域.

解：要使函數(shù)有意義，

需滿足

如下圖所示，對于(I)，

即終邊落在圖中弧II表示的范圍內(nèi).其交集即圖中陰影部分.

二、分類討論思想

分類是根據(jù)對象的本質(zhì)屬性的異同將其劃分為不同種類，即根據(jù)對象的共性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類.分類討論是數(shù)學(xué)解題的重要手段，如果對學(xué)過的知識(shí)恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，就可以使大量紛繁的知識(shí)具有條理性.

三、函數(shù)思想

函數(shù)思想就是在解決問題的過程中，把變量之間的關(guān)系抽象成函數(shù)關(guān)系，把具體問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對函數(shù)相應(yīng)問題的解決，達(dá)到解決具體問題的目的.

由此聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)

顯然有f(x)≥0，其判別式，即得

四、方程思想

從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，把變量之間的聯(lián)系用方程來反映，然后通過解方程或?qū)Ψ匠踢M(jìn)行討論，使問題得到解決.

五、化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想是指將待求問題轉(zhuǎn)化歸納為已經(jīng)學(xué)過的或容易解決的問題的一種思想方法，三角中諸多復(fù)雜問題都可以通過轉(zhuǎn)化與化歸得到解決.

點(diǎn)評：遇到反三角運(yùn)算常常需要根據(jù)反三角函數(shù)定義轉(zhuǎn)化為熟悉的三角運(yùn)算，使問題迎刃而解.

六、整體思想

整體思想就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用"集成"的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理.

點(diǎn)評：在求函數(shù)的定義域，周期、單調(diào)區(qū)間時(shí)，都用到了整體還原的方法.