學生量感不足的表現分析及提升策略

高博豪 吳立寶 郭衎

【摘 要】量感是《義務教育數學課程標準（2022年版）》中數學核心素養的主要表現之一，分布在各個年級教材內容中，整體來看呈現以量感內容為明線，以數學思維為暗線的安排方式。基于學生量感不足的表現，教師應把握量感的內涵與特征，積極采取借用直觀、巧用經驗、精用對照、活用轉換與妙用近似的方式促進學生量感的發展。

【關鍵詞】量感;直觀;活動經驗

【作者簡介】高博豪，天津師范大學教育學部在讀碩士研究生;吳立寶（通訊作者），天津師范大學教育學部教授，博士生導師;郭衎，北京師范大學數學科學學院副教授，博士，博士生導師。

【基金項目】天津市教育科學規劃重點課題“中小學生綜合素質評價研究”（BHE210014）

一、引言

量感是《義務教育數學課程標準（2022年版）》中數學核心素養的主要表現之一，旨在培養學生選用工具進行合理測量，估測目標物理量，理解統一度量單位，以及合理表達與應用量感的能力。數學教材具有可教性與易學性[1]，就量感內容而言是以量感知識為明線，以數學思維為暗線。以量感知識為明線主要體現在兩個方面。從橫向來看，量感的內容在現行人教版小學1～6年級的12本數學教材中均有體現;從縱向來看，量感內容的安排呈現出由淺入深，由簡到繁，由實物到模型的模式。以數學思維為暗線有兩個表現：其一，小學一年級的數學知識以數量感為主，在學生對數量的本能認知基礎上進行理性滲透，并采用類比轉換思想將教材中量感遷移至其他物理維度;其二，各維度量感內容的安排均從學生的感性體驗入手，逐步發展學生理性以及辨析的量感。在培養量感時，有的教師忽視了量感的整體性，將不同維度的量感割裂開來，不利于學生形成系統、理性、辨析的量感。梁培斌認為量感的培養迫切需要從教材的視角進行打量、優化、挖掘、擴展[2]43-45。因此，教師應緊貼教材，根據不同維度量感的共性與特性，結合學生量感的表現，合理制訂量感培養策略，促進學生量感由感性到理性再到辨析的整體發展。

二、學生量感不足的表現

史寧中認為，學生量感最初的來源是對數量以及長度的本能認知[3]。學生在學齡前已經具備對客觀世界的認知能力，并借助于自身語言系統進行表達[4]，表現為學生能用籠統的量感語言表達客觀世界。因此，學生并非沒有量感意識，而是缺乏科學、嚴謹的量感思維與表達能力。在教學實踐中常表現為量感側重失衡、篇幅失衡、生活失衡，即過度關注計算、測量而忽視估測、過程的理解以及現實應用[2]43-45。綜上所述，學生量感不足的表現體現為以下四個方面。

（一）缺乏理性的量感認知能力

學生早期對事物的認知基于純粹的感性經驗，因此，學生并非沒有量感，而是缺乏科學、標準、嚴謹的方法思考量感問題以及表征量感結果。例如學生可以用很快、很大、很重等籠統的感性語言描述速度、體積、重量等物理量，但無法科學表達有多快？有多大？有多重？這種感性認識具有個體差異性與非標準性，難以與他人共享并達成共識，進而解決具體問題。再者，學生缺乏測量意識、方法，例如難以選擇合理的測量工具，對測量結果的認知不清晰等。就估測而言，學生難以量化估測結果。測量是學生產生理性量感的必要步驟，測量能力的缺陷將造成學生理性量感的缺失。

（二）缺乏靈活的量感辨析能力

學生缺乏靈活的量感辨析能力是指學生對客觀規律的認識是主觀的而非客觀的，是主觀認識與客觀規律的矛盾體現，具體表現為以下兩個方面：其一是認為看似無關的物理量就不存在客觀的聯系，例如難以厘清時間、距離、速度的關聯;其二是容易將關聯性強的不同量感相混淆，例如求解表面積與體積時會造成混淆。在量感的現實應用中，學生難以靈活判斷、合理應用眾多物理條件，是阻礙學生量感發展的一大問題。

（三）缺乏熟練的量感運算能力

由于估測運算能力不足，使得學生估測結果與真實結果差別較大。出現這樣的問題，原因主要有以下兩個方面：一是學生對量的單位轉換能力較薄弱，尚未形成單位轉化的共性思想，如長度單位換算能力薄弱的學生在面積單位、重量單位的換算中依舊存在問題;二是學生在多條件的應用題中，難以快速、準確識別對當前情境有意義的條件，從而構建求解方法。

（四）缺乏合理的量感應用能力

學生缺乏合理的量感應用能力表現在缺乏量感應用的意識、缺乏量感遷移的能力。客觀來講，教師按照教材教學在重視學生數學能力發展的同時忽略了量感的繼承性與共性，重結果輕過程，重書本輕應用，導致學生缺乏遷移、應用意識，難以將量感知識與實際問題相關聯。客觀實在性是量感的本質，單一模式的書本教學將量感內容局限于用腦算、用筆寫，忽略了《義務教育數學課程標準（2022年版）》中對量感應用意識的要求。

三、學生量感培養的“五用”策略

量感的培養應以課程標準來定向，以教材為依據，以學情為基礎。遵循整體性原則，把握教材中量感內容的共性;遵循發展性原則，助力學生量感動態發展;遵循實用性原則，助力學生量感應用意識的發展;遵循熟練性原則，引導學生以量感為直覺，從而快速、近似、準確地表達結果。借用直觀、巧用經驗、精用參照、活用轉換、妙用近似的方式，著力于學生理性的量感以及辨析的量感形成與發展，如圖1所示。

（一）以借用直觀為策略之“眼”，增強學生量感學習的趣味性

筆者在調研中發現，很多學生在作業中涉及填寫單位時常“語出驚人”;解題過程中結果與單位的搭配“陰差陽錯”等。學生在由情境記憶向語義記憶過渡時出現問題是造成上述情形的原因之一。因此，借用直觀是在量感的直觀性基礎上，借助真實事物或者現代化信息技術將物理量以外界刺激的方式展示，并納入學生原有的認知結構中，助力學生形成量感表象，將量感可視化。以直觀性作為量感培養策略之“眼”，可以有效增強學生的感知能力。直觀可視化教學為運用一系列教學策略呈現出隱藏的教學內容，使其清晰可見，化抽象為直觀，利于學生理解[5]。例如人教版數學二年級“認識長度單位”單元，目標在于培養學生認識厘米、米等長度單位，進而合理表達長度，即長度量感從感性向理性發展。部分學生在本單元學習之后未形成長度量感的體系觀，表現為在長度單位轉換，計算應用等方面存在缺陷。因此，在本單元起始階段，教師將數學元素融入教學情境可以讓教學更具生命力[6]。借用直觀的思想可以細化為以下三個方面。

1.借用直觀提升興趣

現代化信息技術對學生往往具有較大的吸引力，可將學生注意力集中于課堂。就內容而言，展示的內容既有人的身高、貓的身長等常見實物，又有跳蚤、星球的大小等不常見情形。在已知與未知，熟悉與陌生的視覺刺激下，學生將注意力集中于課堂內容，達到借用直觀，提升量感教學趣味性的目的。

2.借用直觀拓展維度

并非所有的物理量都可以用直觀方式展示，例如重量、溫度、磁場、電流等。針對上述物理量，教師可借助“從毫米到光年”“從克到噸”“從絕對零度到10000度”等視頻，借助現代化信息技術為教師在其他維度量感教學提供參考模式，助力學生對不同維度量感共性的歸納。

3.借用直觀形成體系

未形成量感體系觀念是學生單位換算、計算應用薄弱的原因之一。因此，教師借用直觀引導學生形成長度體系觀念尤為重要。現代化信息技術可以不受具體事物大小、輕重、多少以及存在場合等影響，將這些實物根據需要放在同一個平臺上展示，助力學生把握本質，逐步形成量感體系的觀念。

（二）以巧用經驗為策略之“手”，重視學生量感形成的基礎性

在調研中我們發現，很多學生雖然善于用自身經驗解決問題，但缺少關聯意識，如教師問學生：“你的一條胳膊有多長？”很多學生回答不到一米，如若教師問學生一個和胳膊長度相似的物體的長度時，有的學生便回答不出來。人類最初的想象均源于客觀實物[7]。學生量感發展的過程應該與人類對度量單位認知的過程相一致，即以經驗入手，因此，將學生經驗作為量感培養策略之“手”，強調可操作性，可巧妙構建理性量感與感性經驗的聯系。例如人教版數學三年級“測量”單元，教學目標是強調發展學生測量能力、估測能力以及單位轉換能力。教師以學生“身體尺”為起點，在教學中巧妙構建“目標物體—身體比較—結果表征”的問題解決模式。教師引導學生用長度單位來近似表達自身胳膊的長度，形成自身一只胳膊的長度大約是0.8米的判斷，進而引導學生用胳膊去測量目標物體的長度，增強學生關聯意識。“身體尺”的使用不僅依靠教師的講授，更多借助于學生自身的操作經驗與生活感悟，這是十分重要的[8]。巧用經驗的思想可以細化為以下兩個方面。

1.精巧選用度量工具

精巧選用度量工具主要體現在以下兩個方面。一是巧選度量部位。教師引導學生定位所要測量或估測的物理量維度，引導學生選用與目標物體物理量大小相近的身體部位作為參照物，通過大小相近快速表征量感結果，如引導學生測量書桌的長度可以選用自己的胳膊作為度量工具等。二是巧妙構建經驗與數學知識的聯系，例如教師提問學生手掌面大約多大，書本正面是幾個手掌面大小等問題時，此時，教師可給出一張面積是1平方分米的紙片，引導學生將手掌放在紙面上，從而幫助學生構建起手掌面與1平方分米的聯系。

2.靈巧提升應用意識

使用自身身體部位解決問題，可降低難度，增強體驗感。因此，教師應多將量感問題與學生的經驗結合，幫助學生克服畏難情緒，提升量感的應用意識。教師在培養學生量感的過程中，應多利用生活中常見的物體，如教材正面長大約是20厘米，寬大約是15厘米，書桌的高度大約是1米，一層樓的高度大約是3米，便攜式礦泉水瓶的容積大約是500毫升等。教師通過提問學生：“這個物體的重量和什么物體重量類似呢？”引導學生建構未知與已知的聯系，巧妙提升學生量感的應用意識。

（三）以精用參照為策略之“腦”，促進學生量感表征的科學性

筆者在調研中發現，部分學生的量感結果表征也不盡如人意。例如有的學生回答一支筆的長度是15米，天津廣播電視塔的高度是405千米;還有的學生對長方體表面積與體積的概念產生混淆等。運用類比的思想，通過參照物的選擇與對比精準化學生量感。將參照性作為量感培養策略之“腦”。精用參照有以下三個含義：其一，教師引導學生認知度量單位及標準量;其二，引導學生理解單位要參與運算;其三，引導學生養成與同維度標準量精準參照的習慣。例如，（1）在括號中填入合理的單位。天津廣播電視塔的高度是405（ ）。（2）判斷下列各項敘述是否正確。①一本字典的厚度是40厘米;②小明到奶奶家的距離是15千米，她最好走路去奶奶家。對此類問題，學生主要有以下幾種錯誤：（1）對生活不常見的物體估測能力薄弱，如學生感知天津廣播電視塔的高度時無法確認“很高”的范圍，即無法確定選用405分米還是405米。（2）對太大或太小的單位認識不清晰，如1厘米和1毫米對學生而言都比較小，學生認為40厘米與40毫米都很小，難以做出精細判斷;（3）對稍復雜的情境感知能力差，如15千米的距離是否適合走路。究其根本，是學生對度量單位標準量的感知不精以及參照對比意識的使用不精。精用參照的思想可以細化為以下三個方面。

1.精準定位量感維度

仍以上文天津廣播電視塔的高度一題為例。教師首先引導學生精準定位此量感維度是長度，而非面積、重量等。精準定位量感維度助力學生排除無關因素干擾，是借助量感理性解決問題的第一步。教師在教學中應首先明確量感維度，從源頭杜絕單位與實際意義不匹配的錯誤。

2.精細挑選度量單位

確定量感維度后，教師應強調單位標準量的大小感知，如引導學生復習強化1厘米，1分米，1米以及1千米大小的感知。例如估測天津廣播電視塔的高度，教師從學生的錯誤點開始提問，如405分米可以換算為多少米？一層樓的高度是3米左右，那40.5米大概是幾層樓高？那天津廣播電視塔和10層樓差不多高嗎？通過問題逐步引導學生發現用405分米描述天津廣播電視塔高度是不合理的，進而引導學生感知405米的長度，相當于100層樓的高度，即3個高層樓房疊加在一起的高度，可以表示天津廣播電視塔的高度。因此，教師應引導學生借助參照對比的思想，合理化學生量感結果，精細化度量單位的使用。

3.精確進行量感運算

精確進行量感運算有以下兩個方面：一是借助量感的參照性與數字的運算法，將不易直接感知的過大或過小的物體進行合理的感知;二是量綱檢驗，即量感結果的單位要與題目設問的物理意義相匹配。例如教師在引導學生感知1千米的長度時是借助于1米的長度而來，將1000米轉換為10個100米。教師引導學生明確1米的長度并以此感知100米的長度，進而參照100米的長度感知10個100米的長度，即1000米的長度。此方法有助于學生借助參照性精確感知“大”單位千米的意義并形成1千米是多長的量感。再者，學生根據長方體的長、寬、高進行表面積與體積的感知，認識到1立方米與1平方米是無法參照對比大小的，如若求長方體表面積，最終的單位結果應該是面積單位，如10平方米，而不能是10立方米。

（四）以活用轉換為策略之“魂”，培養學生量感辨別的靈活性

在教學中，有的教師在引導學生得到“1小時走過的路程是15千米”的結論時會問學生速度是多少，部分學生會反問：“什么是速度？”這是學生對量感缺乏合理轉換的表現。轉換思想是學生理性量感發展為辨析量感的主要途徑，教師應引導學生通過轉換思想，用聯系的眼光看待問題，即以量感的轉換性作為量感培養策略之“魂”，增強學生量感的靈活性。例如采用排水法求不規則物體體積，關鍵點在于學生理解液體體積不受形狀約束，建構物體體積—水的體積轉化模式。再者，小學教材中速度的描述采用經過多長的路程需要用多久時間的方式，本質上是將動態的速度通過異類量轉換的思想借用路程與時間的關系進行轉換，從而降低學生認知難度，有助于學生形成速度的量感。活用轉換的思想可以細化為以下三個方面。

1.靈活識別轉換情境

靈活識別轉換情境是使用量感轉換性的前提，也是教師在培養學生量感轉換意識第一步。教師在進行轉換思維培養的過程中應以學生熟悉的情境與經驗為起點，通過構建學生經驗與客觀事實的聯系，培養學生靈活轉換的能力。如學生借助生活經驗發現把手放進盛滿水的水池中，水會溢出，且手浸入的體積越大，溢出的水也就越多。教師應將此情境作為教學情境，結合自身語言或引導學生實驗，以啟發誘導的方式幫助學生建立水位上升與溢出的體積之和就是物體浸入水中的體積這個觀念，對學生進行轉換意識的培養。

2.靈活抽象轉換本質

利用量感的轉換性解決問題其本質在于化繁為簡，化難為易，將學生難以理解的量感問題轉換為易于理解的量感問題。以排水法求不規則物體體積為例，其本質在于將不規則的無法計算的體積轉化為能夠計算的體積，教師引導學生思考什么樣的物體形狀容易變但是體積卻能保持不變，引導學生想到水。在這個基礎上，教師繼續引導學生如何將不規則物體的體積轉化為水的體積，使學生自主建構排水法的解決策略，把握轉換本質，簡化問題求得結果。

3.靈活歸納轉換模式

靈活歸納轉換模式可以概括為：若情境中已知與求解的量感不屬于同一維度，則采用異類量轉換的模式，如題目問的是速度，題設中給出的是路程與時間，并沒有描述快慢這樣的題設，此時教師應引導學生從速度的概念入手，即單位時間內物體通過的距離。同時，教師應鼓勵學生嘗試將不同物理量進行組合，并在客觀規律中檢驗其量感結果。若情境中的物理量是較為熟悉但難以求出時，應采用同類量轉換的方式，例如學生無法求不規則物體的體積，那么教師應該引導學生思考如何將不規則的物體轉化為等量體積的規則物體進行求解。

（五）以妙用近似為策略之“心”，降低學生量感使用的難度

用量感的近似性求解問題是一種補償性措施，即通過合理的近似處理降低題目的難度以及解決問題的成本，損失一部分精確性從而提升問題解決的實效性[9]。因此，有時量感結果的表征并不嚴謹，只要適合當下問題解決即可。量感近似性使用的關鍵在于引導學生理解近似的度，避免過猶不及。以用尺子測量物體長度為例。如圖2所示，學生需要精確到毫米并在毫米的下一位根據量感的近似性進行估讀，此時估讀的結果合理即可。另外，教師還可以引導學生通過日常生活中的非標準度量單位進行量感結果的近似表征，如用“一拃”（手掌張開拇指尖到食指尖的距離，對于學生而言大約是16厘米）來快速近似表達目標物體的長度。妙用近似的思想可以細化為以下兩個方面。

1.巧妙分析近似范圍

近似范圍的確定對量感結果的準確性至關重要。如圖2所示，學生發現目標物體長度測量結果不在刻度線上，此時無法進行準確的讀數。在此情境中，教師應提問學生：“物體的長度比多少長，又比多少短呢？”引導學生將關注點集中到近似處理的方向，并感受近似的范圍，即最后量感的輸出結果應該在3.1～3.2cm之間，超出這個范圍就是錯誤的。接下來，教師繼續發問：“那么這個物體在3.1～3.2cm之間的長度部分到這個格子的一半了嗎？四分之一呢？”教師此時關注如何引導學生借助二分法的思想使用量感的近似性進行合理估計，如果正好在格子一半的位置，那么下一位估讀為5，即3.15cm，如果在四分之一的位置，那么近似估讀為3.12cm或3.13cm，在四分之三的位置估讀為3.17cm或3.18cm。

2.巧妙采取近似措施

了解量感的近似性包括過程近似及結果近似，因此，教師應引導學生合理選擇近似方式，降低表征與解決問題的難度。若量感結果輸出無法準確表示或太過復雜，教師應引導學生應用量感的結果近似進行結果表征，如用3.2cm左右這樣的語言表達量感的結果。若問題不是依靠單一操作步驟可以解決，且其中包括對結果影響不大，重要性不高，運算復雜或無法運算的部分，此時教師應引導學生采用量感的過程近似，忽略煩瑣而非重要的部分，降低問題解決的難度。如估測一個礦泉水瓶子的容積，考慮到瓶蓋部分對整體容器容積的影響不足十分之一，那么此時可以忽略瓶蓋部分的影響將容器看作標準圓柱體，從而降低問題解決的難度，提高問題解決的效率，在近似準確的條件下解決問題。

四、結語

學生量感的培養并非一蹴而就，教師對策略的選擇應該緊緊圍繞教材，注意量感的整體性與不同維度量感的差異性。總體來看，量感培養的“五用”策略并非要完全體現在某一課時或單元中，而應該放眼于義務教育階段學生量感統籌培養的過程中，借助“五用”策略將學生的量感向理性化、辨析化的方向培養。義務教育階段量感內容的安排逐步從具體實物向抽象圖形過渡，小學階段更多指向對具體情境的測量與估測，而初中階段更強調對抽象圖形的感知與估測，例如八年級學生剛開始接觸全等三角形的概念時，往往從視覺上借助于量感判斷兩個三角形是否對應的邊與角均相等，或是用尺子與量角器對兩個三角形進行測量，從而進行初步的判斷，這種初步的判斷對學生在兩個三角形全等的嚴謹論證方面提供了認知的支撐點。由此可見，量感培養策略的制訂應在“五用”策略的基礎上，結合學生的認知發展與學情進行合理地演繹，更有針對性地促進學生量感的發展。

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（責任編輯：陸順演）