“同構(gòu)法”巧解不等式恒成立問(wèn)題

湖北省黃石市第一中學(xué) 楊瑞強(qiáng) 435000

若F(x)≥0 能 等價(jià) 變形 為f[g(x)] ≥f[h(x)] ，然后利用f(x)的單調(diào)性（如遞增），再轉(zhuǎn)化為g(x)≥h(x).在遇到“指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)”同時(shí)出現(xiàn)的試題時(shí)，我們可考慮采用“同構(gòu)”的方法變形轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，從而達(dá)到化難為易，刪繁就簡(jiǎn)的功效.

1 積型aea ≤b ln b 同構(gòu)

三種同構(gòu)途徑：①同左aea≤(lnb)elnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex；②同右ealnea≤blnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx；③取對(duì)數(shù)a+lna≤lnb+ln(lnb)，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+lnx.

3 和差型ea±a ≤b±ln b 同構(gòu)

兩種同構(gòu)途徑：①同左ea±a≤elnb±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex±x；②同右ea±lnea≤b±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x±lnx.

例3 已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna，若f(x)≥1，求a的取值范圍.

練習(xí):1.已知函數(shù)f(x)=aeax+1-lnx+1，且對(duì)任意x＞1，f(x)＞0 恒成立，則a的取值范圍是（ ）.

2.若關(guān)于x的不等式ex-alnx≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)____.

3. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x＞0 ，不等式2ae2xlnx+lna≥0 恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.

（答案：1.A；2.[0,e]；3.a≥）

同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)是高中數(shù)學(xué)解題的一種常見(jiàn)方法，在解題實(shí)踐中，若能通過(guò)觀察、分析、整理等手段，看清題中函數(shù)結(jié)構(gòu)的共性或等式（不等式）兩側(cè)同構(gòu)，則可輕松構(gòu)造函數(shù)，巧妙利用函數(shù)單調(diào)性解題.而對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)、系數(shù)升指數(shù)等，有時(shí)也需要對(duì)兩邊同時(shí)加、乘某式，把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù).為了實(shí)現(xiàn)不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的，常用變形的方法有：x=elnx=ln ex、ln x 等.