構造函數法在解題中的應用

廣東省中山市桂山中學 余鐵青 528463

以構造法為背景的函數試題在各大主流模擬和高考命題中頻繁出現，試題對于同學們的數學能力要求較高，想要靈活掌握并非易事.本文基于高考真題與模考試題，為大家呈現構造法在解函數試題中的具體運用，以期幫助大家準確認識到構造法解題的便捷高效之處，豐富同學們的解題技巧.

1 高中數學中構造函數法的概念界定

構造函數法是指當解決某些數學問題使用通常方法按照定向思維難以解決時，應根據題設條件和結論的特征、性質，從新的角度，用新的觀點去觀察、分析、理解對象，牢牢抓住反映問題的條件與結論之間的內在聯系，運用問題的數據、外形、坐標等特征，使用題中的已知條件為原材料，運用已知數學關系式和理論為工具，在思維中構造出滿足條件或結論的數學對象，從而使原問題中隱含的關系和性質在新構造的數學對象中清晰地展現出來，并借助該數學對象方便快捷地解決數學問題的方法.本文為力求討論的精確性，僅從實例分析構造法在函數類試題中的運用.

2 實例賞析，感受構造函數法的實戰魅力

例1 （2020 高考全國一卷理12 題）若2a+log2a=4b+2 log4b，則( ).

A.a＞2bB.a＜2bC.a＞b2D.a＜b2

解：因為2a+log2a=4b+2 log4b=22b+log2b；又22b+log2b＜22b+log22b=22b+log2b+1 即2a+log2a＜22b+log22b；構造函數：f(x)=2x+log2x，由指對數函數的單調性可得f(x)在(0,+∞)內單調遞增；且f(a)＜f(2b)，所以a＜2b；故選：B.

評注：該題作為選擇題壓軸題出現，設計十分巧妙，對同學們的思維能力要求較高，如若硬算，將得不償失！正確分析思考應該先結合已知條件的直觀結構特征，嘗試構造出具有明顯單調性的函數，反過來逆向結合指數函數以及對數函數的性質得到2a+log2a＜22b+log22b；再借助于放縮，將不等式左右兩邊進行形式上的統一，最終完成構造.

解：由題意，整理易得：(log2x)6+(log2x)2＞(log2x+2)3+(log2x+2)，觀察結構，容易聯想考慮構造函數：g(x)=x3+x，那么g′(x)=3x2+1＞0，所以g(x)在R 上單調遞增，結合單調性得：(log2x)2＞log2x+2，于是(log2x-2)(log2x+1)＞0 ，進一步得：log2x＜-1或log2x＞2 ，結合對數函數圖像知：x的范圍是∪(4,+∞)，所以答案選B.

評注：該題以函數單調性與解的唯一性為命題背景，引導同學們往該方向知識點進行思考，并通過觀察不等式的形式與結構，容易聯想到構造函數和換元.特別說明：因為本文著重在于說明構造的出發點和連結點，故意弱化了換元的書寫，實際上換元后的書寫會更加簡潔.

評注：該題的切入點在于f′(x)+4x＞0，利用這個既定的函數想方設法構造新的函數.同時，在f( s inx)-cos 2x≥0 對比形式與結構，化成f( s inx)+2 sin2x-1 ≥0，結合換元思想，某種程度上就暗示了，應該構造g(x)=f(x)+2x2-1. 整體試題設計精巧，在考查大家知識的同時，讓大家享受到了構造函數的美，試題中滲透了數學美育，一道看似抽象的試題，經過構造函數變得具體、真切、易操作.

例4 已知定義域為R 的奇函數f(x)滿足f′(x)＞-2，則不等式f(x-1)＜x2(3-2 lnx)+3(1-2x)的解集為_____.

解：對已知條件不等式移項，構造函數：g(x)=f(x-1)-x2(3-2 lnx)-3(1-2x)，則g(x)=f(x-1)-3x2+2x2lnx-3+6x，于是等價于求g(x)＜0 的解集，又g′(x)=f′(x-1)+4xlnx-4x+6，再令h(x)=4xlnx-4x+6，則h′(x)=4 lnx，顯然當h′(x)=4 lnx＞0 ?x＞1，當h′(x)=4 lnx＜0 ?0 ＜x＜1，于是知：函數h(x) 在( 0,1) 單調遞減，在(1,+∞) 單調遞增，所以h(x)min=h(1)=2. 又由f′(x)＞-2，那么g′(x)＞0,所以g(x)在(0,+∞)單調遞增，又g(1)=f(0)-3-3+6=f(0)，結合函數f(x)為定義域為R的奇函數，故f(0)=0 ，那么g(1)=0 ，所以g(x)＜0 的解集為(0,1).

評注：該題有兩個思維痛點：（1）為何不像例3 直接從f′(x)＞-2 開始嘗試構造函數？（2）為何不考慮在f(x-1)＜x2(3-2 lnx)+3(1-2x)處換元，進行形式統一？實際上，在構造的過程中筆者是進行過嘗試的，但所得為不等式給解析式的確定帶來了極大的不確定性！另外，驗證發現很難往下運算，最后也無法給出相應常數項，沒辦法得到具體解析式；相較而言，上述例3 的嘗試在后面所給已知條件的變形中得到了良好的驗證，該題的后續條件也無法進行有效驗證.為何不換元主要是要和奇函數的在x=0 處有定義、函數值為0 進行對照統一，也與后面進行的二次假設構造數值統一，這樣整個試題在求解過程中才能順暢高效.通過該題的解析不難發現，準確選擇切入點，合理轉化是解題的關鍵點更是智慧點.

例5 （2020 新高考山東卷理科21 題）已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.（1）當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解：（1）略；

（2）解法1:（分類討論法）當0 ＜a＜1 時，f(1)=a+lna＜1；當a=1時，f(x)=ex-1-lnx,f′(x)=ex-1-，當x∈(0,1) 時，f′(x)＜0 ；當x∈(1,+∞)時，f′(x)＞0.所以當x=1 時，f(x)取得最小值，最小值為f(1)=1 ，從而f(x)≥1. 當a＞1 時，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.綜上所述，a的取值范圍是[1,+∞).

解法2：（同構法）由題意知：aex-1-lnx+lna≥1 即：elna·ex-1-lnx+lna≥1，進一步整理得到：elna+x-1+lna+x-1 ≥x+lnx=elnx+lnx①，注意到結構具有高度對稱性，于是考慮構造函數：g(x)=ex+x②，顯然該函數是在(0,+∞)上是單調遞增的.將②式對比①式，即得：g(lna+x-1)≥g(lnx)，結合單調性立馬可得：lna+x-1 ≥lnx，進一步整理得：lna≥lnx-x+1 ，再 令h(x)=lnx-x+1 ，則h′(x)=(x＞0)，那么函數h(x)在(0,1)單調遞增，在(1,+∞)單調遞減，所以h(x)max=h(1)=0，所以a≥1.

評注：該題難度較大，采用參考答案的思路進行處理，筆者認為有幾處“痛點”需要突破.首先，對a的分類是怎么分析得到的？為何將其分為解答中的三種情況？其次，函數在進行求導運算后，為何對自變量的范圍分成所述兩段？實際上這都依賴于同學們對函數單調性、零點等知識的掌握，如果這些掌握不牢固，再次通過求導的方式進行論證將會耗時耗力；最后，當a＞1 時，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1 ，這 步也是要重新求導才能說明的，或者大家對不等式ex≥x+1 的變形十分熟悉才可以一步到位.這幾個痛點共同構成了這道綜合性導數大題，通過這個也發現基本的放縮和“套路”某種程度上也是不可忽視的，必須要做到熟練掌握，這樣處理也可以說中規中矩.對比解法1，同構法此時就顯得要“優美”得多，重在配方得到所需要得形式，再直接利用所構造函數的單調性直接求得參數范圍，這樣就避開了過多的討論，使得整個解答過程更加順暢，也有效的降低了在進行討論過程中出錯的可能性.