捕捉結構特征 探究解題路徑

黑龍江省雞西市第一中學數(shù)學教研室 王榮峰 158100

所謂題目的“結構特征”是指那些能夠揭示題目的條件和結論間內(nèi)在聯(lián)系的結構特點，通過對這些結構特征進行分析、加工和轉(zhuǎn)化往往可以探究到問題解決的突破口，本文僅就捕捉到結構特征后常見的解題路徑加以盤點，以期能對大家有所啟發(fā).

1 類比公式

例1 已知f(x)，g(x)均是定義在R 上的函數(shù)，且滿足f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)，若f(-2)=f(1)≠0，則g( )1 +g(-1)的值為（）.

A.1 B.-1 C.2 D.-2

分析: 公式f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)在結構上與兩角差的正弦公式十分相似,因此我們猜測函數(shù)f(x)可能也為奇函數(shù).

解: 事實上f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)=-f(x-y) ，從而可知f(x) 必為奇函數(shù)，故f(1 ) =f(-2)=f(-1-1)=f(-1)g(1)-g( -1)f(1 )=-f(1 )[g(1)+g(-1)] ,∴g(1)+g(-1)=-1.選B.

點評:破解該題的關鍵是通過類比猜測到f(x)可能為奇函數(shù)，類比屬于合情推理，是重要的解題思想和方法，它能為我們提供解題的思路和方向.

2 倒序相加

A.2019 B.2020 C.2021 D.2022

分析: 由M式的結構可挖掘到f(x)+f(1-x)可能為定值，這一隱含條件是采用倒序相加法妙解該題的前提.

點評:倒敘相加法源自教材中等差數(shù)列的求和，通過倒敘相加可以避開對M式中項的個數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)的討論，進而優(yōu)化解題過程.

3 分離常數(shù)

4 乘對偶式

分析:通過乘對偶式可達到分子有理化的目的，分子有理化后再去判斷函數(shù)的單調(diào)性是最常見的思維路徑.

5 構造向量

例5 已知數(shù)列{an} 是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a+a≤0，則S4的最大值為（ ）.

分析: 能將S4用a1,a7來表示是實現(xiàn)構造向量破解該題的關鍵，當然該題也可借助數(shù)形結合等其它方法來求解.

6 建坐標系

分析: 向量具有幾何與代數(shù)雙重性質(zhì)，而坐標法是解決向量題最有效的策略，由條件⊥自然聯(lián)想到可建立坐標系來破解該題.

圖1

點評:該題屬于難題，但通過合理建立直角坐標系，再借助解析幾何和不等式的知識找到了問題解決的突破口，實現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化.

7 特值分析

例7 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（a,b,c∈R,a≠0）滿 足2a+3b+6c=0,則f(x)在區(qū)間上（）.

A.一定沒有零點 B.必有唯一的零點

C.必有兩個零點 D.可能有兩個零點

分析: 在等式2a+3b+6c=0 中，字母a和b的系數(shù)比是2:3 ，而在解析式f(x)=ax2+bx+c中字母a和b的系數(shù)之比是x，借助這一信息可想到代入特值x=切入.

點評: 能由2a+3b+6c=0 中字母a和b的系數(shù)比是2:3 ，進而聯(lián)想到代入特值x=進行分析，再借助根的分布原理來判斷，需要具備較高的數(shù)學素養(yǎng).

8 構造函數(shù)

例8 設a=2 ln 1.01,b=ln 1.02,c=-1，則( ).

A.a＜b＜cB.b＜c＜a

C.b＜a＜cD.c＜a＜b

分析：觀察b=ln(1 +0.02 ),c=-1會聯(lián)想到構造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-+1，再由a=2ln(1+0.01)，c=-1可聯(lián)想到構造函數(shù)g(x)=2ln(1+x)-+1，于是便可找到問題解決的切入點.解: 首先構造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-+1，則b-c=f(0.02)，易求得

點評: 該題為2021 高考全國理科乙卷選擇題的壓軸題，有著很好的區(qū)分度.通過觀察a,b,c的結構特征進而能想到構造函數(shù)f(x)和g(x)需要一定的解題積累和良好的數(shù)學素養(yǎng).

通過挖掘題目的結構特征還可以探究出很多解題路徑，限于篇幅，這里不再一一列舉.只有平時勤于積累，善于總結，養(yǎng)成解題后反思的好習慣,才能在遇到具體問題時，快速、準確地捕捉到題目的關鍵結構特征，進而尋找到有效的解題路徑.