圓錐曲線軸定點弦的一組有趣性質

江西省共青城市國科共青城實驗學校 姜坤崇 332020

眾所周知，圓錐曲線都是軸對稱圖形.過圓錐曲線對稱軸上一定點引直線交曲線于兩點，則把以這兩點為端點的線段稱為曲線的軸定點弦.在對圓錐曲線的研究中，筆者發現關于圓錐曲線的軸定點弦有下面的一組有趣性質.

1 橢圓中的兩個結論

圖1

（5）由⑤式知，點N在L上，且由④式及⑥式知N是RS的中點.

由于橢圓在x軸、y軸上均有兩個頂點，兩條對稱軸是對稱的，因此可以把x軸上具有的性質類比到y軸上去.

以下證明可仿照定理1 的證明進行，不再給出.

2 結論在雙曲線和拋物線中的類比引申

雙曲線與橢圓都是有心圓錐曲線，它們常具有共性，當橢圓具有某種性質時，可考慮類比引申到雙曲線中去，經過探究可得如下結論.

證明可仿照定理1 的證明進行，限于篇幅，這里從略.

雖然拋物線只有一個頂點，但如果我們把拋物線看成是長軸長趨向于無窮大的“橢圓”，那么另一個“頂點”沿x軸的正方向趨向無窮遠處，此時定理1 中的EP、EQ均平行于x軸，于是有下面的結論.

定理4 給定拋物線Γ:y2=2px(p＞0),M(m,0)(m≠0)是x軸上的一定點，過M引不與x軸垂直和重合的直線交Γ 于P(xP,yP)、Q(xQ,yQ)兩點，點P、Q在定直線L:x=-m上的射影分別為R(-m,yR)、S(-m,yS)，Γ 在P、Q處的切線分別為l1、l2且交于N(xN,yN)，則(1)yR·yS（或yP·yQ）為定值-2pm; (2)kRM·kSM=;（3）kOP·kOQ為 定 值（O為原點）；（4）kPQ·kMN為定值-;（5）N在L上，且N是RS的中點；（6）直線PS、QR的交點為O.