深度學(xué)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)問題

江蘇省張家港中等專業(yè)學(xué)校 周文國(guó) 215600

一般地，我們把函數(shù)y=f(x)的值為零的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).需要注意的是：（1）函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)自變量取零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值為零.（2）函數(shù)y=f(x) 的零點(diǎn)就是方程f(x)=0 的實(shí)數(shù)根，即為函數(shù)y=f(x)的圖象和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（3）要理解和把握零點(diǎn)存在定理，若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)f(b)＜0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn).因此函數(shù)零點(diǎn)存在性定理要求具備兩個(gè)條件，一是函數(shù)在區(qū)間[a.b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，二是需要注意f(a)f(b)＜0.

對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的常規(guī)題型是能求出函數(shù)的零點(diǎn)以及一元二次方程根的分布，但最典型的問題則為函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定和方程的根與圖象間的關(guān)系.

1 用二分法解方程

例1 函數(shù)y=f(x)為定義在R 上的減函數(shù)，且為奇函數(shù)，解方程f(x3-x-1)+f(x2-1)=0（精確到0.1）.

分析：本題直接求解可能有點(diǎn)難度，但是通過二分法找出函數(shù)g(x)=x3+x2-x-2的零點(diǎn)，則可以很快解決.

解：由題意，y=f(x) 為奇函數(shù)，因此-f(x2-1)=f(1-x2)，原方程可以化為f(x3-x-1)=-f(x2-1)，即f(x3-x-1)=f(1-x2)，又函數(shù)y=f(x)為定義在R 上的減函數(shù)，∴方程可以化為x3-x-1=1-x2，即x3+x2-x-2=0.

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合二分法解方程的近似解，其關(guān)鍵是體會(huì)函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián)系.

2 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定

例2 求函數(shù)f(x)=2x| log0.3x|-1 的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

圖1

3 已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍

若關(guān)于x的方程f(x)=1 存在三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

圖2

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合的方法是解決參數(shù)a的取值范圍的重要節(jié)點(diǎn).

4 函數(shù)零點(diǎn)范圍的確定

例4 已知函數(shù)f(x)=-log2x的零點(diǎn)x0∈(n,n+1)(n∈N*),則n= ____.

解：由題意可知道，要求出函數(shù)f(x)=-log2x的零點(diǎn)即為方程=log2x的根，可設(shè)，可在同一坐標(biāo)系中作出g(x)和h(x)的圖象（如圖3），結(jié)合圖象可清晰知道x0∈(3,4) ，因此驗(yàn)證由x0∈(3,4)，則n=3.

圖3

5 最值問題

例5 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0,1]內(nèi)存在零點(diǎn)，求ab的最大值.

分析：設(shè)一個(gè)零點(diǎn)x0，可將ab轉(zhuǎn)化為x0的一元二次函數(shù)求解.