依托旋轉(zhuǎn)求變式 強(qiáng)化理解提素養(yǎng)

甘肅隴南市禮縣馬河鄉(xiāng)吳宋學(xué)校 翟耀輝 742224

旋轉(zhuǎn)作為圖形的變化方式之一，在初中數(shù)學(xué)中有重要的應(yīng)用.它讓原本靜態(tài)的數(shù)學(xué)圖形有了動(dòng)態(tài)感，讓學(xué)生從運(yùn)動(dòng)的角度來(lái)認(rèn)識(shí)圖形的性質(zhì)與規(guī)律，從而讓初中平面幾何的學(xué)習(xí)更具有內(nèi)涵與魅力.

1 認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)，強(qiáng)化概念

1.1 旋轉(zhuǎn)的概念

旋轉(zhuǎn)就是將一個(gè)幾何圖形圍繞著某一個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，稱(chēng)為圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)中心.在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中轉(zhuǎn)過(guò)的角度稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)角，圖形上的點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)下到達(dá)另一個(gè)點(diǎn)，則稱(chēng)此兩點(diǎn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn).

從旋轉(zhuǎn)的概念我們不難體會(huì)到，把握好旋轉(zhuǎn)過(guò)程的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，認(rèn)準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的角，是認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)圖形，理解旋轉(zhuǎn)概念的的關(guān)鍵.

1.2 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

從旋轉(zhuǎn)的概念我們發(fā)現(xiàn)，圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的距離是等量的，旋轉(zhuǎn)后形成的圖形與旋轉(zhuǎn)前的圖形能夠完全重合，因而它們?nèi)?從旋轉(zhuǎn)來(lái)理解圖形的性質(zhì)，避免了單調(diào)而生硬的證明，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更加輕松易懂.

2 運(yùn)用旋轉(zhuǎn)，尋求變式

例1 如圖1，正方形ABCD，點(diǎn)E在邊CD上，繞點(diǎn)A把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABF，將EF連接，EF垂直AG，如 果BG=3 ，CG=2 ，求CE的長(zhǎng)為多少？

圖1

本題以正方形為背景，通過(guò)旋轉(zhuǎn)設(shè)置問(wèn)題情境，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握與運(yùn)用.正方形是初中平面幾何中最為重要的圖形之一，它融矩形與菱形為一體，內(nèi)涵豐富，性質(zhì)多樣，同時(shí)又可以看作是兩個(gè)全等的直角三角形拼接而成，因而在以正方形為背景的問(wèn)題解決中，其運(yùn)算就可以借助勾股定理而成為解題的突破口.

例2 如圖2,正方形ABCD，AB=6,∠EAF=45°，AE與BC相交于E點(diǎn)，AF與CD相交于F點(diǎn)，連接EF，把△ADF順時(shí)針繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°到△ABG的位置.如果DF=3，求BE的長(zhǎng)是多少？

圖2

本題可以看作是例1 的變式，其基本圖形與例1 相似，但是“萬(wàn)變不離其宗”，勾股定理的運(yùn)用完成了本題的求解.

例3 如圖3，正方形ABCD的邊上兩點(diǎn)M，N，當(dāng)∠MAN=45°時(shí).將△ADN順時(shí)針繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°后，到達(dá)△ABE的位置.（1）求證：△AEM≌△ANM.（2）如果BM= 3 ，DN=2 ，那 么 正 方 形ABCD的邊長(zhǎng)為多少？

圖3

分析與解答（1）證明：因?yàn)椤鰽DN≌△ADE，所以∠DAN=∠BAE，DN=BE，又因 為∠DAB=90°，∠MAN= 45°，所 以∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°，于是∠MAN=∠MAE，得到△AEM≌△ANM.

（2）解：令CD=BC=x，則CM=x-3 ，CN=x-2，因?yàn)椤鰽EM≌△ANM，所以EM=MN，又因?yàn)锽E=DN，所以MN=BM+DN=5，同時(shí)∠C=90°，故MN2=CM2+CN2，所以(x-2)2+(x-3)2=25 ，解得x=6 或x=-1（舍棄），即正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6.

本題利用了例1及其變式例2的基本圖形，通過(guò)增加設(shè)問(wèn)的方式，滲透了學(xué)生對(duì)正方形與旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的運(yùn)用，較之前兩道題目，難度稍大，運(yùn)算量稍多，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之運(yùn)算能力的考查.

例4 如圖4，點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部，當(dāng)∠AEB=90°時(shí)，把直角△ABE沿著順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)B 旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)△CBE′的位置.延長(zhǎng)線段AE與線段CE′交于F點(diǎn)并連接線段DE.（1）請(qǐng)判斷四邊形BE′FE的形 狀，并 說(shuō) 明 理 由；（2）在 圖5 中，如 果DA=DE，試猜想CF與FE′有何關(guān)系，并進(jìn)行 證 明；（3）在 圖4 中，如 果AB=15 ，CF=3，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DE的長(zhǎng).

圖4

圖5

作為前三道例題的變式，本題在設(shè)問(wèn)方式上較為新穎，第（1）問(wèn)以判斷并說(shuō)明理由的方式呈現(xiàn)，突出了學(xué)生在解答上要體現(xiàn)出數(shù)學(xué)問(wèn)題的邏輯層次感，先判斷后說(shuō)明，說(shuō)明也即是通過(guò)說(shuō)理來(lái)證實(shí)之前對(duì)問(wèn)題的判斷，考查了學(xué)生的數(shù)感與邏輯思維.第（2）問(wèn)如法炮制，讓學(xué)生先猜想后證明，猜想與判斷相似，證明則有說(shuō)理的味道，但是兩者不能等同，證明就是通過(guò)數(shù)學(xué)推理來(lái)說(shuō)明對(duì)線段關(guān)系的猜想結(jié)論的正確性，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)要求更為嚴(yán)謹(jǐn)，尤其體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之邏輯推理能力的考查.第（3）問(wèn)則直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度，無(wú)需證明與推理，解答難度比第（1）（2）問(wèn)較低，體現(xiàn)了在變式問(wèn)題的設(shè)置上的，讓不同水平的學(xué)生都能夠進(jìn)行作答，讓不同層次的學(xué)生都能夠有所收獲的命題理念.

分析與解答：（1）通過(guò)判斷知，四邊形BE′FE是正方形，理由如下：由于把直角△ABE沿順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°后到達(dá)△CBE′的位置，所以∠AEB=∠CE′B=90°，BE=BE′，∠EBE′=90°，又因?yàn)椤螧EF=90°，所以四邊形BE′FE是矩形，同時(shí)又因?yàn)锽E=BE′，故四邊形BE′FE是正方形.

（2）通過(guò)猜想知CF=E′F；如圖6，作DH⊥AE并 交 于 于 點(diǎn)H，因 為DA=DE，DH⊥AE,所以AH=AE，DH⊥AE, 所以∠ADH+∠DAH=90°，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，得到AD=AB,∠DAB=90° ，于 是∠ADH+∠EAB= 90° ，所 以∠ADH=∠EAB∠EAB，又因?yàn)锳D=AB，∠AHD=∠AEB=90°，于是△ADH≌△BAE，所以AH=BE=AE，由于把直角△ABE沿順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°后到達(dá)△CBE′的位置，所以AE=CE′，同時(shí)由于四邊形BE′FE是 正 方 形，所 以BE=E′F，故E′F=CE′，即CF=E′F.

圖6

（3）如圖7，作DH⊥AE并 交 于點(diǎn)H，由于四邊形BE′FE是正方形，所以BE′=E′F=BE，又AB=BC=15 ，CF=3，BC2=E′B2+E′C2，于是225=E′B2+(E′B+3)2，所 以E′B=9=BE，即CE′=CF+E′F=12 . 通 過(guò)（2）的 求 解 可得：BE=AH=9 ，DH=AE=CE′=12 ，所以HE=3，故DE===3.

圖7

3 理解旋轉(zhuǎn)，提升素養(yǎng)

旋轉(zhuǎn)讓靜態(tài)的圖形有了動(dòng)態(tài)感，更能夠考查學(xué)生對(duì)圖形在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的變化規(guī)律的理解與把握.在本文中，四道例題的解決都是以正方形為基本圖形，借助旋轉(zhuǎn)的圖形的性質(zhì)來(lái)完成，在設(shè)問(wèn)方式上，四道例題從求邊、角到三角形的全等，難度層層遞進(jìn)，拾級(jí)而上，體現(xiàn)了通過(guò)變式教學(xué)來(lái)完成對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念的考查特點(diǎn)；在問(wèn)題的解決中，突出了對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力與邏輯推理能力的滲透，以期達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.