基于DIMA平臺的一道高考試題的教學研究

上海市松江二中 衛福山 201600

“DIMA”是“基于現代信息技術的數字化數學活動”的簡稱，即數字化（Digitization）、信息技術（Information technology）、現代（Modern）、數學活動（Mathematics activities）的簡稱.“DIMA 平臺”是指以計算機或計算器為支撐，擁有智能軟件和豐富課件，連接信息網絡的、能夠開展現代信息技術的數字化數學活動的數學教學軟硬件設備系統. 基于DIMA 平臺的高中數學實驗教學，是指在高中數學教學過程中，為了達到數學實驗的目的，根據我國高中數學課程標準和學生認知水平及學生的數學知識基礎，選擇適當的數學內容，創設一定的教學情境，設計一系列問題，經過某種預先的組織，充分地利用DIMA 平臺等實踐手段，增加輔助環節，通過學生自己操作或教師演示，以問題為中心，引導學生進行觀察、發現、討論、分析、歸納、猜想等思考與探究，完成某個數學實驗任務，從而通過讓學生親身經歷數學知識的產生過程，培養學生的數學思維能力、創新能力和探究能力，提高學生數學核心素養的一種數學教學活動.

筆者最近在教學中遇到一道高考試題，正常講解學生比較難以理解，基于DIMA 平臺利用幾何畫板演示后，學生便能正確而清楚地理解，學生在教師的啟發引導下，又對此題作進一步的深入研究，收獲很大.

問 題1 （2009 上 海 理14）將 函 數y=-2(x∈[0 ，6])的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉角θ(0 ≤θ≤α)，得到曲線C.若對于每一個旋轉角θ，曲線C都是一個函數的圖像，則α的最大值為_______.

分析：本題有兩個難點需要突破，其一，函數y=-2(x∈[0 ，6])的圖像怎么畫？其二，“對于每一個旋轉角θ，曲線C都是一個函數的圖像”這個條件如何理解？對第一個難點很容易突破，基礎稍好的同學容易發現如下的變形：將y=-2(x∈[0 ，6])移項平方變形得(x-3)2+(y+2)2=13 (x∈[0 ，6])，結合關于解析幾何中圓的基礎知識易得以上函數的圖像是以(3,-2)為圓心， 13 為半徑的一段圓弧（x軸上方部分），如圖1 所示. 因此本題是一道函數與解析幾何綜合性問題. 對第二個難點，雖然作為一個函數的圖像利用函數的定義知對每一個x，總是存在唯一的y與之對應，也即垂直于x軸的直線與曲線C最多只有一個交點.但問題是曲線C是由函數的圖像經過旋轉而得到，這種動態變化特別要尋找旋轉的臨界位置（即α的最大值）讓很多學生感到無從下手.

圖1

如何突破第二個難點呢？

思路1：筆者在課堂上嘗試在DIMA 平臺下利用畫板軟件中圖形旋轉的動態演示，看上去一目了然.

如圖2所示，函數y=-2(x∈[0 ，6])的圖像即圖2 中的曲線0，讓它逆時針旋轉到曲線1、2 時顯然是函數的圖像，而旋轉到曲線3 時就不是函數的圖像（曲線3 與y軸有兩個交點，即x=0 時函數值有兩個）. 因此通過這種幾何畫板動畫演示學生不難發現只要曲線0 在逆時針旋轉時，圖像不越過y軸，所得的曲線還是函數的圖像. 因此，臨界位置應該是與y軸相切的位置. 如何求臨界位置時最大的旋轉角α呢？可以采用逆向思維，即圖2 中曲線0 逆時針旋轉最大角α時即與y軸相切，這相當于讓y軸順時針方向旋轉角α時與曲線0 相切，即研究過原點的直線與函數y=-2(x∈[0 ，6]) 相切，設直線方程序為y=kx，結合直線與相切的基礎知識易得于是切線y=kx的傾斜角為

圖2

思路2：運動方向的相對性

函 數y=-2(x∈[ ]0，6) 的圖像在逆時針方向旋轉的過程中始終應該是函數的圖像，通過思路1 的幾何畫板動畫演示我們可以發現曲線C與y軸始終只有一個交點（有兩個交點時就不是函數的圖像，如圖2 的曲線3）.結合運動的相對性，即讓y軸按順時針方向旋轉如圖3 所示的直線l相切位置時符合要求，于是可以求出

圖3

思路3：旋轉變換

問題1 關于函數圖像的旋轉問題將函數的概念與解析幾何中曲線的運動變化聯系起來，非常有新意.值得一提的是2018 上海高考又出現了與之類似的題目.

問題2（2018上海高考）設D是含數1的有限實數集，f(x)是定義在D上的函數，若f(x)的圖像繞原點逆時針旋轉后與原圖像重合，則在以下各項中，f(1)的可能取值只能是（ ）.

分析與解：本題較問題1感覺更加開放，但作為數學選擇題只有一個正確答案的前提下又有點匪夷所思，難道f(1)只能取某一個固定的值？而題目中的f(x)也沒有確定.題目中關鍵的一句話“若f(x)的圖像繞原點逆時針旋轉后與原圖像重合”理解很重要.既然點(1,f(1))在函數的圖像上，依次旋轉，記=r,tanα=，則根據三角比 的 定 義 有(1,f(1))=r(cosα,sinα) ，于 是都 在 函 數 的 圖 像 上，由 于 cosα與cos(α+·n)可能相等，即這樣的點的橫坐標相等，一旦縱坐標不相等，就不符合函數的定義.因此不難得出f(1)的值只要使得點P(1,f(1))與原點組成的射線OA在逆時針旋轉的過程中存在關于x軸對稱的情況出現時，就肯定不能作為函數的圖像了. 因此選（B）.

利用幾何畫板動畫演示只要給定f(1)的值，讓點P(1,f(1))不斷逆時針旋轉，觀察P(1,f(1))旋轉后是否有關于x軸對稱的點出現即可.

關于曲線與函數的旋轉，有一道類似的問題，即

分析與解：我們比較熟悉的反比例函數y=即是雙曲線，其實就是坐標系旋轉變換的典型例子（坐標系逆時針旋轉45°即將y=化為雙曲線x2-y2=1，反之類似）. 本題就是將雙曲線旋轉（逆時針或順時針）成函數（反比例函數y=）的問題.利用幾何畫板旋轉變換，讓雙曲線-y2=1 繞坐標原點O旋轉起來，觀察旋轉到何時就是函數（垂直于x軸的直線與曲線至多一個交點），函數的性質一目了然.

通過問題1、2、3，在解析幾何或函數中有關圖形的旋轉問題中，在DIMA 平臺下利用幾何畫板等數學軟件，有助于學生更清晰看清問題的本質，教師要在直觀觀察的背后引導學生進行嚴格的推論與計算，這里坐標系的平移變換將是非常好的拓展內容.