2021年高考數學全國Ⅰ卷第22題評析

山東省滕州市教育和體育局 張 彬 277599

2021 年高考已硝煙散盡，但是關于2021 年高考數學全國新課標Ⅰ卷的討論卻沒有停息，作為全卷壓軸的導數題更是引人關注，不同的老師有不同的看法.本文擬以此題作為研究對象，首先對問題的解題思路與方法進行分析，然后對問題進行深入探究，指出其命題根源之所在.

1 試題

已知函數f(x)=x(1-lnx).（Ⅰ）討論f(x)的單調性；（Ⅱ）設a，b為兩個不相等的正實數，且blna-alnb=a-b，證 明：2 ＜+＜e.（2021 年高考數學全國新課標1 卷第22題）

2 解法分析

問題（Ⅰ）：由題意可知f′(x)=-lnx，故當x∈(0,1)時，f′(x)＞0 ，f(x)單調遞增，故當x∈(1,+∞)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，對于問題（Ⅰ）我們不再贅述，著重分析問題（Ⅱ）.我們把問題（Ⅱ）分為＞2和＜e兩個問題，分別證明.

解法一：（對稱化構造）

證明：由blna-alnb=a-b，可得(1+lna)=(1+lnb)，設=x1，=x2則f(x1)=f(x2) ，不妨設x1＜x2，又f(0)=0 ，f(e)=0 ，由（Ⅰ）知0 ＜x1＜1 ＜x2＜e.①若x2≥2，x1+x2＞2，即＞2 必成立.②若1 ＜x2＜2，構造g(x)=f(x)-f(2-x)，1 ＜x＜2 則g′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln(2x-x2)＞0 故g(x)在(1,2)上單調遞增，所以g(x)＞g(1)=0，故f(x2)＞f(2-x2)，故f(x1)=f(x2)＞f(2-x2)又0 ＜x1＜1，0 ＜2-x2＜1，而函數f(x)=x(1-lnx)在(0,1)上單調遞增，故x1＞2-x2，即x1+x2＞2，也就是＞2.

注：從前面的解題過程可以看到，我們采用構造函數的方式，證明了x1＞2-x2，從而得到x1+x2＞2 的結論.事實上，我們也可以采用構造函數的方式先證明x2＞2-x1，從而得到x1+x2＞2 的結論.請讀者自證，并體會兩種方式的細微差別.

2.1.2 分析二：從代數層面來看，問題的實質可以認為是在等量條件f(x1)=f(x2)約束下，尋求二元函數G(x1,x2)=x1+x2的最值問題.能否通過減元的方式，將二元函數轉化為一元函數來研究，進而尋求其最值呢？答案是肯定的！

解法二：（比值代換）

解法三：（構造函數）

解法一（對稱化構造）：

解法二：（比值代換）

2.2.3 分析三：微積分中有一種重要思想，以直代曲.分析此函數的圖像（圖1），當x2距離點(e,0) 處較近時x1+x2較大，此時我們可以利用點(e,0)處的切線g(x)=e-x來代替點(e,0)曲線，對x2對應的函數值進行放縮.

圖1

解法三：（切線放縮）

2.2.4 分析四：在處理函數中的不等關系時，我們還常常用到一些函數不等式，如ex≥x+1 ，lnx≤x-1(x＞0) ，x＞sinx(x＞0)等等，借助于這些不等式研究其它函數中的不等關系，常常事半功倍.

解法四：（常用不等式放縮）

3 問題根源

如圖2，二次函數圖像是比較典型的軸對稱，當x1和x2對應的函數值相等時，顯然有x1+x2=2x0（x0是二次函數的一個極值點）.

圖2

但是二次函數僅是我們的研究對象中的一種特殊函數，其圖像是軸對稱圖形.大部分函數不是這個情況.比如本題中涉及到的函數，觀察其圖像（圖3）可以發現：在極值點x0的左側，函數單調遞增，增長速度較快；在極值點x0的右側，函數單調遞減，減少速度較慢；此時必然造成極值點x0處于x1，x2的中點的右側，這種情況，我們稱為：極值點右偏.在這種情況下，顯然x1+x2＞2x0，對于我們研究的函數f(x)=x(1-lnx)來講，極值點x0=1，所以有x1+x2＞2.

圖3

同樣我們可以分析：當x2距離極值點x0=1 較近時，x1距離極值點x0=1 也較近，此時x1+x2的值與2 比較接近；而當x2距離點(e,0)較近時，x1距離點(0,0)較近，此時x1+x2的值與e比較接近.且x2由x0向點(e,0)運動的速度顯然要比x1向點(0,0)動的速度要快，這就不難理解為什么有x1+x2＜e了.基于以上分析，我們認為2 ＜x1+x2＜e，即 2 ＜＜e的 根 源 就 在 于 函 數f(x)=x(1-lnx)在其極值點x0=1 左右兩邊的變化速度不一致造成的.

當然，我們分析的是函數圖像開口向下的情況，此種情況下函數中極值點右偏的情況與左偏類似，不再贅述.函數圖像開口向上的情況下，也存在極值點偏移的情況，也不再一一分析.

4 小結

基于以上分析，筆者認為2021 年高考數學全國新課標1卷第22題，題干部分沒有冗繁的文字描述，十分簡潔，能讓考生把注意力很快集中到數學問題的本質上.

試題的第一問，考查利用導數判斷函數單調性的方法，立足基礎，起點低、入口寬，面向全體學生，注重通性通法和對數學思想的考查，淡化了特殊方法、技巧解題，這對高中數學的教學有積極的導向作用.

試題的第二問，需對條件blna-alnb=a-b進行轉化，發現f()=f()，才可以認清問題的實質是“極值點偏移”問題.在保持高考試題穩定的基礎上，問題的情境有創新.在blna-alnb=a-b條件下，要求考生完成不等式2 ＜＜e的證明，凸顯了本題對考生的數學抽象、邏輯推理，數學建模、數學運算等核心素養的考查，可以使不同層次的學生有不同的表現，很好的體現了高考試題服務選拔的功能.