2021年高考全國卷數學圓錐曲線試題統計與分析

甘肅省秦安縣第二中學 羅文軍 741600

圓錐曲線是高中數學主干知識，是高考考查的主干內容，本文對2021 年高考數學全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷中的圓錐曲線試題進行統計和命題規律分析，對部分試題進行賞析，并提出2022高考圓錐曲線試題備考策略.

1 2021 年高考全國卷數學圓錐曲線試題特征統計

2021年高考全國卷數學圓錐曲線試題特征統計

__類別 題型 題號 分值 考查的知識內容 考查的關鍵能力 考查的學科素養試卷考查的核心素養___全國Ⅱ卷理科選擇題_填空______題11 13______________________________邏輯思維能力、運算求解能力____運算求解能力____理性思維、數學探索____理性思維____數學運算、邏輯推理數學運算解答題21 55_____________________________________________________________________________________1邏輯思維能力、運算求解能力、數學建模能力理性思維、數學探索、數學文化數學運算、邏輯推理、數學建模全國Ⅱ卷文科選擇題_填空______題11 14______解答題20 2 5 5______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1 5新高考Ⅰ卷單項選__擇題填空題14解答題單項選__擇題填空題21 2 5 5 1 3新高考Ⅱ卷13邏輯思維能力、運算求解能力____運算求解能力____邏輯思維能力、運算求解能力邏輯思維能力、運算求解能力____邏輯思維能力、運算求解能力____邏輯思維能力、運算求解能力運算求解能力邏輯思維能力、運算求解能力____理性思維、數學探索理性思維理性思維、數學探索理性思維、數學探索理性思維、數學探索____理性思維、數學探索理性思維理性思維、數學探索解答題20 2 5 5 1 2橢圓的定義和幾何性質、最值問題______________________________________________雙曲線的幾何性質___________________________________________拋物線的定義和幾何性質、圓的幾何性質、弦長公式、導數的幾何意義、圓錐曲__________________________________________________________________________________________________________________________線的最值橢圓的定義和幾何性質、最值問題____________________________________雙曲線的幾何性質_________________________________拋物線的方程和圓錐曲線最值問題、向量橢圓的定義、最值問題、基本不等式____________________________________拋物線的幾何性質雙曲線的定義和方程、圓錐曲線的定值問題拋物線的定義和標準方程雙曲線的離心率和漸近線____________________________________________橢圓的標準方程和幾何性質、橢圓的弦長公式、直線與圓相切、充分必要條件邏輯思維能力、運算求解能力理性思維、數學探索數學運算、邏輯推理__數學運算__數學運算、邏輯推理數學運算、邏輯推理__數學運算、邏輯推理__數學運算、邏輯推理數學運算數學運算、邏輯推理__數學運算、邏輯推理、直觀想象

2 2021 年高考全國卷圓錐曲線試題命題規律分析

從上表可以看出，圓錐曲線的題型都是兩道小題一道大題的形式，分值分布都為22 分.從考查的知識點來看，小題主要考查圓錐曲線的定義和幾何性質，大題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系、圓錐曲線的最值和定值問題，考查的都是高中數學圓錐曲線部分的必備知識，體現了《中國高考評價體系》中要求的高考試題命制的基礎性；部分圓錐曲線解答題和函數與導數、圓、充分必要條件等知識交匯考查，創新了高考數學圓錐曲線試題的結構，體現了高考試題注重在知識交匯處命題的特點，體現了《中國高考評價體系》中要求的高考試題命制的綜合性和創新性.從考查的關鍵能力來看，主要考查邏輯思維能力和運算求解能力.從考查的高考學科素養來看，主要考查理性思維和數學探索的學科素養.從考查的核心素養來看，主要考查了數學運算和邏輯推理的核心素養.特別地，將圓錐曲線知識與其他高中數學基礎知識綜合在一起考查，增加了試題的難度，考查了考生靈活運用和整合高中數學知識的能力.從圓錐曲線在解答題中呈現的順序來看，普遍在20 題或者21 題，屬于解答題中靠后的位置，這些圓錐曲線解答題第二問普遍難度較大，具有很好的區分度和選拔功能.結合具體試卷，我們會發現全國Ⅰ卷理科與文科圓錐曲線填空題相同，理科和文科圓錐曲線解答題相同.全國Ⅱ卷理科和文科沒有相同的圓錐曲線試題.

3 典型試題賞析

例1 （全國Ⅰ卷理科，5）已知F1,F2是雙曲線C 的兩個焦點，P 為C 上一點，且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|，則C 的離心率為（ ）.

分析:根據雙曲線的定義及條件，表示出|PF1|,|PF2|，結合余弦定理可得答案.

解:因為|PF1|=3|PF2|，由雙曲線的定義可 得 |PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a，所 以|PF2|=a，|PF1|=3a；因為∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2×3a·a·cos 60°,

A.1 B.2 C.4 D.8

分析:設P(x0,y0)，由B( 0,b) ，根據兩點間的距離公式表示出|PB|，分類討論求出|PB|的最大值，再構建齊次不等式，求解.

評注：本題體現了圓錐曲線與函數的交匯.以上兩種解法都是代數法求圓錐曲線的范圍問題.解法1 利用了橢圓的幾何性質和二次函數的最值，解法2 利用參數方程法，把問題化歸為不等式恒成立問題，再結合二次函數的值域求解.

例3（全國Ⅱ理科21)已知拋物線C：x2=2py(p＞0) 的 焦 點 為F，且F與 圓M:x2+(y+4)2=1 上點的距離的最小值為4.（1）求p；（2）若點P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點，求△PAB面積的最大值.

分析：（1）根據圓的幾何性質可得出關于p的等式，即可解出p的值；（2）設點A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x0,y0)，利用導數求出直線PA、PB，進一步可求得直線AB的方程，將直線AB的方程與拋物線的方程聯立，求出|AB|以及點P到直線AB的距離，利用三角形的面積公式結合二次函數的基本性質可求得△PAB面積的最大值.

例4 （新高考Ⅰ卷，21）在平面直角坐標系xOy中，已知點F1(-,0)，F2(,0)，點M滿足|MF1|-|MF2|=2 ，記M的軌跡為C（.1）求C的方程；（2）設點T在直線x=上，過T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

評析：第（1）問考查了利用雙曲線的定義求軌跡，第（2）問考查了直線與雙曲線的位置關系，利用韋達定理、弦長公式求解，即使運算能力達不到，按常規套路去做也可以得到一半以上的分數，著力考查了考生利用幾何圖形進行代數運算的能力，考查了綜合思維能力，考查了考生分析問題和解決問題的能力.以上解法1 運算量較大，解法2 運用了參數方程法，運算量較少.本題可以看成源自人教A 版選修4-4 課本《坐標系與參數方程》直線的參數方程第38頁例4.

試題評價：這道試題第（1）問考查了橢圓的幾何性質和待定系數法求橢圓的標準方程，第（2）問將直線、橢圓、圓和充分必要條件有機結合，體現了《中國高考評價體系》中要求的高考數學試題命制的基礎性和綜合性，突出考查了數形結合思想和方程思想，考查了《中國高考評價體系》中要求的邏輯思維能力和運算求解等關鍵能力，著力考查了邏輯推理、數學運算和直觀想象的數學學科核心素養.從試題的設計上來看，試題在考查基礎知識和基本技能的同時，也考查了考生分析問題和解決問題的能力以及綜合思維能力，試題第（2）問解法靈活多樣，有利于不同學習程度的學生作答，具有很好的區分度和選拔功能.

評注：證必要性時，把點M,N,F三點共線轉化為直線MN經過點F，設出直線MN的方程，根據直線與半圓相切則圓心到直線距離等于圓的半徑，解出m2的值，再運用弦長公式，整體代換后可得出弦長|MN|= 3 ；證充分性時，根據直線與半圓相切和弦長公式可解出m的值，得出直線MN經過點F.

4 2022年高考圓錐曲線備考策略

另一面，教師要引導學生做近三年高考真題，把近三年的高考圓錐曲線真題按不同考點：橢圓的定義和標準方程、橢圓的幾何性質、雙曲線的定義和標準方程、雙曲線的幾何性質、拋物線的定義和標準方程、拋物線的幾何性質和直線與圓錐曲線的位置關系分類整理，做成專題供學生練習使用.在圓錐曲線的復習中，也要滲透一定的數學文化，例如黃金分割橢圓和黃金分割雙曲線、阿基米德三角形、蒙日圓、圓錐曲線中的蝴蝶定理和舒騰的橢圓規問題.