中國大陸中強地震復發間隔的概率分布研究＊

鄧世廣

（中國地震臺網中心，北京 100045）

引言

地震復發間隔的概率分布是計算地震危險性概率的重要基礎，利用概率分布函數F(t)能夠計算未來一段時間 ?T內發生地震的條件概率Pc[1-5]：

式中，Te是上次地震以來的離逝時間，?T為預測時段。對于某一震源區或發震斷裂段，如果有足夠豐富的歷史地震數據，我們能夠建立適用的F(t)來計算發生地震的概率[3]。然而，由于我們累積的歷史地震資料有限，對于單一斷裂段而言，地震復發事件較少，通過較少的樣本難以建立可靠的概率分布函數[6]。Nishenko 和Buland[1]使用歸一化值作為統計樣本建立了一種通用的地震復發間隔分布模型。其中Ti,k是第k斷裂段的第i次復發間隔，是該段落總共n次復發間隔的中位數。由于采用了歸一化值而不是復發間隔T作為統計樣本，該模型能夠消除不同斷裂段復發間隔的絕對差別，使得能將不同斷裂段的資料用于建立統一分布，解決了對單個斷裂段建模的樣本不足的問題。他們對環太平洋板塊邊界上的特征地震資料進行了統計分析，認為對數正態分布相比高斯分布和韋布爾分布能夠更好地擬合歸一化的地震復發間隔數據，并給出了最佳擬合的對數正態分布參數μ=?0.01，σ=0.215，該方法也成為了美國加州概率工作組對圣安德烈斯斷層系開展地震危險性概率預測工作的基礎。聞學澤[7-8]利用該模型對我國個別斷裂帶的地震潛勢進行了估算。然而，中國大陸的地震活動屬于板內環境，大陸板內無論在構造活動速率、地殼結構還是介質物性等方面均與板緣有著明顯差別[2]。張培震和毛鳳英[9]根據我國大陸活動斷裂的古地震資料，采用同樣的方法建立了通用復發間隔分布，在不考慮古地震測齡數據誤差的情況下，歸一化復發間隔數據樣本較好地服從參數μ=?0.12，σ=0.50的對數正態分布。甘衛軍等[10]以中國大陸大地震原地復發資料（古地震及歷史地震）為基礎，同時考慮了古地震測齡數據的誤差，確定了板內大地震的歸一化復發間隔數據樣本較好地服從參數μ=?0.025，σ=0.262的對數正態分布，該結果表明板內大地震在重復行為上具有與板緣特征地震相類似的分布特征，但板內大地震的復發間隔相對離散。

多位地震學者對我國大陸中強地震進行了統計分析研究，表明中國大陸中強地震的時空分布呈現一定的成組活動特征[11-15]。地震的成組活動特征意味著在活躍期地震活動表現出叢集性，而地震活躍期之間可能存在準周期性。李姜一和周本剛[16]對中國大陸東部102 個中強潛在震源區的5—6 級地震的復發間隔進行了統計分析，采用指數分布能夠較好地擬合具有叢集性特征的地震復發間隔。張秋文等[17]認為大陸板內地震可能是一種準周期的叢集復發行為，地震叢集復發間隔滿足對數正態分布，叢內的地震復發間隔滿足指數分布。但目前還缺少兼顧地震周期性與叢集性特征的地震復發間隔概率分布研究。

為了進一步研究中國大陸中強地震復發間隔的概率分布，本文利用我國歷史地震目錄資料，統計分析中國大陸中強地震歸一化復發間隔分布特征。分析表明中國大陸中強地震活動兼具了周期性和叢集性的特點，因此，采用對數正態分布與指數分布構建混合概率分布模型，通過最小二乘法擬合混合概率分布函數的最優參數。計算結果表明，本文建立的混合概率分布模型能夠更好地符合中國大陸中強地震的歸一化復發間隔數據樣本。

1 數據與方法

1.1 中強地震資料選取與分析

地震資料基于中國地震臺網中心的MS4.7 以上歷史強震目錄，為保證在地震目錄完備的前提下盡可能充分利用歷史地震資料，對地震目錄進行了完備性分析認為，1960年以來地震目錄記錄的5 級以上地震是足夠完備的（圖1）。另外，中強地震與大地震的復發特征可能存在顯著差異，為了避免大地震活動對分析結果的影響，本文僅針對中強地震震級段（MS5.0—6.5）數據進行分析。綜合以上分析，在不考慮遠海及境外地震的情況下，選取1960年1月1 日以來中國大陸地區MS5.0—6.5 淺源地震目錄作為基礎資料開展后續研究。

圖1 中國大陸1960年以來MS4.7 以上地震目錄的完整性分析[18]Fig.1 Completeness analysis of earthquake catalog （MS≥4.7）in mainland China since 1960[18]

為了消除余震對地震復發間隔的影響，采用擴散鏈法對選取地震目錄內的余震進行刪除[19]。為了檢驗余震刪除效果，對我國大陸1960年以來的MS5.0以上地震目錄刪除余震前后的累積頻次曲線進行對比分析（圖2）。可以看到受余震活動影響，刪除余震前的累積頻次曲線（實線）在強震發生后存在突然增長的現象；而刪除余震后的累積頻次曲線（虛線）隨時間的變化保持了平穩的增長，這表明余震得到了較好的去除。

圖2 刪除余震前后的累積頻次曲線對比Fig.2 Cumulative frequency curve before and after declustering

與大地震資料相比，中強地震資料相對更加豐富，減少了計算過程對古地震資料的依賴，因此，能夠避免古地震測齡數據誤差對分布參數估算的影響。另外，中強地震所屬的發震斷裂往往不夠明確，而大地震大多發生在明確的主要斷裂帶，因此，以斷裂段為基礎得到的歸一化值作為統計量對于中強地震并不適用。針對中強地震的這一特點，我們將地震復發間隔的統計范圍規定在一定區域內，具體做法是將全國按經緯度劃分為0.3°×0.3°的網格，每個格點統計其周邊80km 范圍內的地震作為該點的統計樣本，這樣基于網格劃分為基礎得到的歸一化值作為統計量，其中是第k個格點80km 范圍內共n次歷史地震復發間隔的算術平均值，Ti,k是在該范圍內觀測到的具體復發間隔。需要說明的是，以這種方式統計得到的地震復發間隔不是傳統意義上的原地復發，可理解為區域范圍內的地震復發，本文關于中強地震復發間隔的討論也均指區域復發。通過這種統計方式，使相鄰統計格點的統計范圍在空間上存在一定的重疊和差異，增加了區域地震復發間隔數據統計的更多可能性，這對于難以明確發震斷裂歸屬的中強地震來說是有益的。將更多的區域地震復發間隔數據納入統計可有效增加統計樣本數量，并提高概率密度函數參數擬合結果的可靠性。

從中國大陸中強地震區域復發間隔的統計分析結果（圖3）能夠看到，歸一化區域復發間隔Ti,k/Tk的統計峰值在0 附近，表明地震活動具有較強的叢集性，另外，在1 附近統計值略有升高，表明地震活動同時具有一定的周期性。甘衛軍等[10]統計的中國大陸歷史大地震歸一化復發間隔分布結果（圖4）顯示，樣本數據主要集中在1 附近，地震活動與板緣特征地震相類似，能夠用對數正態分布對數據進行較好的擬合。中國大陸的中強地震與大地震活動特點表現出顯著的差異性，表明中強地震的歸一化區域復發間隔并不完全符合對數正態分布，而是表現出了同時具有周期性和叢集性的特征，因此，嘗試采用混合分布模型對其進行擬合。另外，如果統計樣本符合正態對數分布，采用復發間隔中位數對統計樣本進行歸一化能夠得到更好的擬合結果[1]，但由于我國大陸中強地震的區域復發間隔分布不再滿足對數正態分布，因此，采用復發間隔平均值對統計樣本進行歸一化。

圖3 1960年以來中國大陸中強地震 （MS5.0—6.5） 歸一化區域復發間隔頻率直方圖Fig.3 Normalized frequency histogram of moderate-strong（MS5.0—6.5） earthquake recurrence intervals in mainland China since 1960

圖4 中國大陸歷史大地震歸一化復發間隔頻率直方圖[10]Fig.4 Normalized frequency histogram of large earthquake recurrence intervals in mainland China[10]

1.2 概率分布函數構建

據我國大陸中強地震歸一化區域復發間隔頻率直方圖（圖3），我們能夠認識到我國大陸中強地震的活動特點兼具叢集性和周期性。參考前人對歷史大地震的研究工作，地震活動的周期性可以用對數正態分布合適地表達?；趯桶l間隔統計結果的分析，本研究采用指數分布來描述地震活動的叢集性。為了同時描述地震活動的叢集性和周期性，建立了一種由對數正態分布和指數分布混合的概率密度函數：

1.3 參數擬合

圖3 和圖4 中展示的統計直方圖在細節上的分辨率較低，直接擬合概率密度函數存在困難。為了解決統計樣本不足的問題，對原始觀測數據的累加得到的累積概率密度函數（Cumulative Density Function,CDF）進行估算，能夠獲得更好的擬合結果[1]。

首先我們定義復發間隔數據為Ti,k，i=1，2，···，Nk；k=1，2，···，K，其中，K是劃分的網格的個數，Nk是第k個網格統計范圍內地震復發間隔的個數。所以數據的總數為：

對于第k個網格，復發間隔的均值為：

可以計算對應的累積概率密度函數曲線（圖5）。

圖5 1960年以來中國大陸中強地震（MS5.0—6.5） 歸一化區域復發間隔頻率直方圖及CDF 曲線Fig.5 Normalized frequency histogram and cumulative density function curve of moderate-strong （MS5.0—6.5）earthquake recurrence intervals in mainland China since 1960 and the curve of CDF

對公式（2）f(τ)的積分能夠得到在任意τj處的累積概率值基于最小二乘原理，對于最佳的模型參數應滿足

2 擬合結果分析

基于中國大陸中強地震震級范圍（MS5.0—6.5）的地震歸一化區域復發間隔數據，對公式（2）混合分布模型的概率密度函數的參數進行最小二乘估算，獲得擬合結果（表1 和圖6）。為了對比評價，同時也分別單獨采用對數正態分布和指數分布對歸一化區域地震復發間隔數據進行擬合（表1、圖7 和圖8）。

圖6 混合分布累積概率密度函數擬合結果。黑線為基于數據繪制的累積概率密度函數（CDF） 曲線，綠線為擬合的CDF 曲線，紅線為基于估算得到的參數繪制的概率密度函數（PDF） 曲線，相應的對數正態分布和指數分布函數曲線分別用黑色線段虛線和點虛線表示，藍色柱狀圖為歸一化區域地震復發間隔數據的統計頻率直方圖Fig.6 Cumulative density function fitting result of hybrid distribution model.The solid black line is the estimated cumulative density function （CDF） curve based on recurrence data，the green solid line is the bestfitting CDF curve，the red line is the best-fitting probability density function （PDF） curve，the black dashed and dotted lines show the lognormal and exponential distribution functions，respectively.The blue histogram is the normalized frequency histogram of earthquake recurrence intervals

圖7 對數正態分布累積概率密度函數擬合結果。黑線為基于數據繪制的累積概率密度函數（CDF） 曲線，綠線為擬合的CDF 曲線，紅線為基于估算得到的參數繪制的概率密度函數（PDF） 曲線，藍色柱狀圖為歸一化區域地震復發間隔數據的統計頻率直方圖Fig.7 Cumulative density function fitting result of lognormal distribution.The solid black line is the estimated cumulative density function （CDF） curve based on recurrence data，the green solid line is the best-fitting CDF curve，the red line is the best-fitting probability density function （PDF） curve，the blue histogram is the normalized frequency histogram of earthquake recurrence intervals

圖8 指數分布累積概率密度函數擬合結果。黑線為基于數據繪制的累積概率密度函數（CDF） 曲線，綠線為擬合的CDF 曲線，紅線為基于估算得到的參數繪制的概率密度函數（PDF） 曲線，藍色柱狀圖為歸一化區域地震復發間隔數據的統計頻率直方圖Fig.8 Cumulative density function fitting result of exponential distribution.The solid black line is the estimated cumulative density function （CDF） curve based on recurrence data，the green solid line is the best-fitting CDF curve，the red line is the best-fitting probability density function （PDF） curve，the blue histogram is the normalized frequency histogram of earthquake recurrence intervals

表1 參數估算與擬合誤差結果Table1 Results of estimated parameters and fitting error

為了統一比較誤差結果，我們通過下式計算擬合誤差：

從誤差對比結果（表1）來看，混合概率分布模型的擬合結果能夠更好的擬合數據。說明本研究建立的混合概率分布模型能夠更加符合中國大陸中強地震的活動特點。

3 總結與討論

對中國大陸中強地震歸一化區域復發間隔的統計分析表明，中國大陸中強地震活動兼具周期性與叢集性的特點，采用對數正態分布與指數分布混合的概率分布能夠更好地擬合中國大陸中強地震的歸一化區域復發間隔數據，這也表明該混合概率分布模型更加符合中國大陸中強地震的活動特點。本文提出的混合概率分布模型能夠為我國中強地震危險性概率分析提供計算基礎。

與我國大陸的大地震活動特點相比，我國大陸中強地震活動呈現出更顯著的叢集性特征，造成這種差別的原因可能與地震孕育條件存在較大差異有關。孕育大地震所需累積的能量巨大，通常具有一定規模的大型斷裂帶才具備孕育大地震的條件，而孕育中強地震所需要累積的能量要遠小于大地震。我國大陸的構造格局復雜，能夠孕育中強地震的發震斷層相對更加豐富。當區域的應力應變累積達到一定程度可能引發該區域多次中強地震相繼發生，從而構成一組地震活動，這些地震是同期孕育、成組發生的。因此，我國大陸中強地震的活動不僅具有周期性，還存在明顯的叢集性活動特點。

需要指出的是，本文僅對中國大陸中強地震復發間隔的概率分布開展了初步的研究，提出的混合概率分布模型在地震危險性分析和應用中還存在很多問題。如，基于該模型計算的發震條件概率是否具有時間可預測性、網格中心點位置和統計半徑對歸一化地震復發間隔統計結果的影響以及不同震級檔的地震活動是否符合統一的累積概率密度函數，等等。這些問題還有待進一步的研究與驗證。

致謝

感謝審稿專家提出的寶貴建議。