非線性分數階耦合泛函微分方程組邊值問題的可解性

喬若楠, 劉錫平, 賈 梅

(上海理工大學理學院，上海 200093)

0 引言

在自然科學和工程技術的許多領域中，很多問題是用微分方程作為數學模型的。有些事物的變化規律不僅與系統當前狀態有關，而且與它的過去和未來的發展狀態有關。因此帶時滯的泛函微分方程邊值問題的理論研究受到廣泛關注[1–9]。隨著科學技術的迅速發展，分數階微分方程在刻畫一些非Newton 力學問題方面顯示了特殊的優勢。人們對分數階微分方程進行了大量的研究[10–19]。近年來，分數階泛函微分方程邊值問題也得到了學者們的重視，并取得了很多研究成果[20–21]。

本文研究一類非線性分數階耦合泛函微分方程組非齊次邊值問題

本文首先建立一個比較定理，然后運用上下解方法和迭代方法分別建立并證明了邊值問題(1)正解的存在性定理和唯一性定理，并確定了正解的取值范圍。最后給出一個例子證明結論的合理性。與現有文獻不同是，本文所研究的方程組不僅在非線性項f和g中含有狀態變量的泛函ut=ut(σ)=u(t+σ), vt=vt(σ)=v(t+σ)，而且是互相耦合，能更精確地描述一些控制過程。在解決方法上難度也更大，處理手法上也更具特色。

1 預備知識

2 解的存在唯一性

令P={(u,v)∈E:u(t)≥0, v(t)≥0, t ∈[?τ,1]}，則P為E上的正規錐。對任意(u1,v1),(u2,v2)∈E,(u1,v1)?(u2,v2)，當且僅當(u2?u1,v2?v1)∈P。于是(E,?)為半序Banach 空間。

定義1 設(u,v)∈E，若(u,v)=(u(t),v(t))滿足(1)中各等式，那么我們稱(u,v)是邊值問題(1)的一個解。若當t ∈[0,1]時，u(t)≥0, v(t)≥0，則稱(u,v)為邊值問題(1)的一個正解。

定義2 設(u0,v0),(x0,y0)∈E。如果

于是，對任意t ∈(0,1)，都有h(t)≥0, l(t)≥0, a1≥0, a2≥0。

由引理2 可得邊值問題

由引理4 可得，當t ∈[?τ,1]時，u(t)≥0, v(t)≥0。

為敘述方便，我們作如下假設：

則(x0,y0)?(x1,y1)?(u1,v1)?(u0,v0)，且(u1,v1)、(x1,y1)分別是邊值問題(1)的上解和下解。

證明 由引理2 可得(u1,v1)、(x1,y1)有定義。由上解的定義及(5)可得，對任意t ∈

由引理3 可得(u?,v?)∈P是邊值問題(1)的正解。類似地，容易證明(x?,y?)∈P是邊值問題(1)的正解。

假設(u,v)是邊值問題(1)在Y中的解，則(x0,y0)?(u,v)?(u0,v0)。假設對任意正整數n都成立(xn,yn)?(u,v)?(un,vn)。與引理6 類似證明可證

由數學歸納法可得，對任意n=0,1,2,···，有(xn,yn)?(u,v)?(un,vn)。

由迭代序列的收斂性可得(x?,y?)?(u,v)?(u?,v?)，所以(x?,y?)是邊值問題(1)在Y中的最小正解，(u?,v?)是邊值問題(1)在Y中的最大正解。

定理2 設0≤r1≤Γ(α),0≤r2≤Γ(β)，邊值問題(1)存在上解(u0,v0)∈P和下解(x0,y0)∈P，且(x0,y0)?(u0,v0)。若存在常數μ滿足

3 例子

滿足條件(S)，由定理1 可得，邊值問題(15)在Y中有正解(u?,v?)、(x?,y?)，且(u?,v?)、(x?,y?)，分別是邊值問題(15)的最大正解和最小正解。

容易驗證對于0≤η<0.617 255，邊值問題(15)滿足定理2 的所有條件，由定理2 可得，邊值問題(15)在Y中有唯一解。