科學處理教材實施深度教學
——以冀教版《14.3實數（第1課時）》教學為例

劉 璐，戈硯輝

（1.石家莊市教育科學研究所，河北 石家莊 050000；2.石家莊第二外國語學校，河北 石家莊 050000）

當前教育界開展的“雙減”行動引發了全社會的關注，如何做好“雙減”，真正為學生減輕課業負擔，是每一位教師都要認真思考的問題。減輕學生作業負擔的同時還要保證教學質量，這就要求教師要從提升課堂教學效率入手，開展深度教學，激發學生主動學習的內驅力。

“深度教學”是教師在深刻理解和把握學科本質的基礎上，通過讓學生深度參與教學活動，來提升學生技能、培養學生思維、發展學生素養、實現深度學習的一種教學形態。深度教學需要教師深刻把握數學學科本質，通過教材處理，將靜態的課本內容改造為飽含教學意圖的教學材料，使之更具體，更有操作性和活動性。這樣的教學才能強化內容所反映的數學思想方法，顯化“事實—方法—方法論—數學學科本質觀”的數學育人過程。

在日常的教學視導中，發現一線教師在教學中往往更關注教材呈現的內容，對教材的設計意圖缺乏深入研究，這樣易導致對教材的理解浮于表面，設計的教學活動也就不易激發學生的深度學習。基于此，我們開展了深度教學背景下提高初中數學教師教材處理能力的實踐研究，引導教師從教學內容入手，重點研究教材編排設計意圖，關注學生已學知識與未學新知之間的聯系；研究不同學習內容應采用的學習方式方法，并據此設計出符合學生認知和學情的數學教學活動，以提升課堂教學效率。下面，以“實數”這節課為例進行說明。

一、教材內容及分析

（一）教材內容

本節內容選自冀教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊“14.3 實數（第1 課時）”。之前，學生剛剛學習了“平方根”“算術平方根”和“立方根”。本節課需要通過對實際問題進行探究，進一步認識數的擴充的必要性，通過感知無理數的“無限”和“不循環”，經歷無理數概念的發現過程，進而了解無理數及實數的概念，并能夠對實數進行簡單分類。

（二）教材內容分析

本節是在數的開方的基礎上引進無理數的概念，并將數從有理數的范圍擴充到實數范圍的。從有理數到實數，這是數的范圍的一次重要擴充，對今后學習數學有重要意義。從本章開始，將在實數范圍內研究問題。本章內容在中學數學中占有重要地位，它不僅是后面學習二次根式、一元二次方程以及勾股定理、解直角三角形的基礎，也為高中數學的不等式、函數以及解析幾何等知識的學習做好準備，同時，本章的知識內容和學習方法在日常生活、科學研究中也有著廣泛應用。因此有必要讓學生充分體會無理數的發現過程，感受引入新數的必要性，體會數的擴充是客觀世界的現實需要，也是數學發展的內在需要。

二、教學過程簡述與設計意圖

活動1：回顧聯想——揭示數學內在矛盾是推動數學發展的動力

回顧一下，前面我們學習了哪些運算類型？他們之間是什么關系？

設計意圖：通過回顧已學運算類型，觀察運算過程，學生了解到，為了解決不能整除的問題，引入了分數；為了解決不夠減的問題，引入了負數；每當已學過的數不夠表達運算結果時，都導致了數系的擴充。那么，當某些數開方開不盡時，又會導致什么樣的新數出現呢？這樣的思考，帶給學生一種探究的使命感，探究的興趣油然而生。

活動2：探究發現——感受無理數在現實世界的客觀存在

（2）你能借助下面的紙片（腰長為2 分米的等腰直角三角形），通過剪拼，獲得長度為（單位：分米）的線段嗎？

設計意圖：活動2 通過引導學生猜想，創設學生熟悉直觀的材料，進行動手實踐，切身感受的客觀存在，為學習實數概念做出現實意義方面的鋪墊。同時，借助線段長短表示無理數大小，也為后續學習用數軸上的點表示無理數奠定基礎，發展學生基本活動經驗。

（1）它屬于有理數嗎？

（2）它到底有多大呢？

設計意圖：

活動4：

（1）無限不循環小數和有理數之間的區別是什么？

（2）無限不循環小數屬于有理數嗎？請舉例說明。

設計意圖：如果說前面是對的個例研究，到此則上升到對一類數的研究。本環節屬于概念的同化學習，需要借助舊知識來學習新概念。發掘新知識生成的自然生長點，需要將有理數轉化成有限小數和無限循環小數，通過對比發現無理數與有理數之間的本質區別，從而實現對無理數的定義。

活動5：（1）你還能舉出一些無理數嗎？

（2）通過舉例，無理數有哪些常見形式呢？

（3）你能對以上所舉數的例子進行分類嗎，請試著用圖示的方法把他們之間的關系表示出來!

教學意圖：（1）學生通過無理數概念的舉例，體會無理數存在的廣泛性；（2）通過追問，促進學生對無理數不同形式的思考，舉出多種多樣、形式各異的無理數，避免出現知識結構的缺陷；（3）引導學生以簡要的層次結構來展示概念間的相互聯系，明確不同概念的地位及從屬關系，從而得到有理數和無理數的上位概念——實數。檢查學生本節課學習效果的同時也為下節課實數的分類做鋪墊。

活動6：類比有理數的學習過程，你認為，將要學習實數、無理數的哪些內容？

教學意圖：通過類比有理數的學習，引導學生展望實數、無理數的研究內容，明確本節課所學知識在數學體系中的定位，為后續學習指明方向。

三、分析與思考

本節課，授課教師完全遵循冀教版數學教材所設定的教學順序和敘事邏輯，對教材中每一段甚至每一句話進行仔細推敲，分析其地位、作用，發掘其教學價值。同時，在充分尊重編者意圖的基礎上，對教材進行了如下處理。

（一）從知識到方法

數學知識的發生、發展具有一定的邏輯順序，教師的教學就是要向學生充分展示這一過程，使學生更加系統地認識數學。從這個意義上講，數學教師不僅要教會學生數學知識，更要教會學生數學認知的方法。貫徹落實從事實（知識）到方法，再到方法論的構建，直至形成數學學科本質觀。因此，本節課就不能僅僅局限在記憶并訓練無理數、實數的概念，而應把知識形成的過程置于“數系擴充”的廣闊視域內，理解“數的成長”是運算不斷完善的過程。同時，類比有理數的學習過程，建構對后續章節中無理數、實數的學習內容，對于了解數學認知的方法大有裨益。

（二）變指令為探究

教材作為紙面媒介，在一定程度上保留了數學的“學術形態”，在實際教學中，數學教師要善于將教材中的“學術形態”轉變為課堂中的“教育形態”，應根據學情進行分析、整合，將其重新構建成為豐富、立體、生動、能啟發學生思考的教學資源。在本節課中，教材對活動2 給出了具體的操作步驟，另外關于是什么數的討論，無理數與有理數的區別等內容，教材均以陳述敘事的方式予以清晰呈現。這樣做可以讓學生真正經歷學習、探究的過程，理解思維的初始點、轉折點和落腳點，學生的數學學習能力得以發展。探究，應該是帶著問題，帶著愿望出發，不斷摸索實踐路徑，驗證不同方案，最終達成目標的過程。在這個過程中，學生所獲得的體驗是真實的、可靠的、是主動思考所贏得的成功的喜悅。

（三）由淺層到本質

深刻理解數學知識的本質特點，理清不同概念之間的上、下位關系，是制定有效教學措施的基礎。概念的形成方式主要有兩種：概念形成與概念同化。本節課既有無理數與有理數之間的并列關系，又有上位知識——實數概念的構建。并列概念的學習，必須借助與舊知識（有理數）的對比才能完成，而上下位學習，必須確立不同概念之間的從屬關系。本節課就是以此為依據，進行思維活動的設計，從而展現知識之間的內在聯系，使之結構化，凸顯數學本質。

（四）改抽象為具體

教材的語言，往往是抽象的，是微言大義的。在實際教學中，如果教師不能深入理解數學知識的本質聯系，對教材的特點又沒有充分認識，往往會簡單處理。如本課，課本上實數概念的出現僅僅用了一句話：“我們把有理數和無理數統稱實數”。那么，是不是教師也只用這一句話就完成了教學呢？實際上，遠遠不夠。問題的關鍵是弄清楚什么是“統稱”，它的集合含義是什么？這需要通過實例讓學生真真切切地了解到。如圖，是學生所畫出的實數分類圖示，教師可追問學生，實數范圍內除去有理數和無理數外的空白部分表示什么數呢？借此具體圖形幫助學生理解“統稱”的含義。顯然，在簡單化的處理下，抽象的數學知識，往往會變成學生口中熟讀成誦的咒語，只可惜與真理失之交臂。因此，必須把教材中抽象的話語做具體化（而不是簡單化）處理，使問題的真正難點暴露在學生面前。盡管曲折，但必須經歷。

四、結束語

全面認識教材中教學活動的設置，深刻理解其教育價值和作用，并科學地進行教材處理，是發展學生數學能力的必然選擇和要求。同時，敢于創新優化教材是教師理性精神的體現。只有這樣，才能揭示知識之間的內在聯系，幫助學生理解數學的本質，實現深度教學，只有這樣，才能將數學教育“求真求實”這個活的靈魂教給學生，真正從根本上發展學生數學核心素養。我們也將遵循深度教學的基本理念，努力提升自身的教學素養和教學水平。